爱华网两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，余弦和正切
二. 重点、难点：
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数的化简、求值和恒等式的证明。
2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
【典型例题】
[例1]（1）已知，，其中，，求的值；（2）已知都是锐角，且，，求。
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵ ∴
又 ∵
∴
又 ∵ 在之间，余弦值为的角只有，∴
[例2] 已知锐角中，。
（1）求证：；
（2）设，求AB边上的高。
解：（1）证明：∵
∴
∴
（2）∵
∴ 即
将代入上式并整理得
解得，舍去负值，得
∴
设AB边上的高为CD
则
由AB=3，得
∴ AB边上的高等于
[例3] 已知，求的值。
解：∵ ∴
又 ∵ ∴
∴
∵
∴ 原式
[例4] 已知三点A（）、B（）、C（）。若向量
（为常数且），求的最大值、最小值及相应的值。
解：由已知
移项得
两式平方，整理有
∴
∵
∴ 当时，有最大值
又 ∵ ，故有最小值为，此时
解得或
综上所述，当时，有最大值，当或时，有最小值。
[例5] 已知，。
（1）求及；
（2）若的最小值是，求的值。
解：（1）
（∵ ）
（2）
∵ ∴
① 当时，，矛盾
② 当时，，由，得
③ 当，时，，由，得，矛盾。
综上，为所求
[例6] 设，，，与的夹角为，与的夹角为2，，求的值。
解：根据题意，
而 ∴
同理，
，而，
∴
将代入，得
∴
[例7] 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中。
（1）将十字形的面积表示为函数；
（2）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）设S为十字形的面积，
则
（2）方法一：
其中
当，即时，S最大
所以当时，S最大，S的最大值为
方法二：因为
所以
令，即
可解得
所以当时，S最大，S的最大值为
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 的值是（ ）
A. B. C. D. 1
3. 要使有意义，则应有（ ）
A. B.
C. 或 D.
4. 等于（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知，当时，可化简为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
二. 解析题：
1. 已知，。
（1）求的值；
（2）求满足的锐角
2. 如图所示，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
3. 已知为锐角，且，，试求的值。
【试题答案】
一.
1. D
解析：设，两式相加得
由，得，两式相减，得，由，得 ∴
2. B
解析：原式
3. D
解析：
由
4. B
解析：
5. B
解析：
∴
∵ 在第一或第三象限，则在第一或第二象限
又 ∵
∴ 在第二象限，故
6. B
解析：由，得
又 ∴
∴ ∴
，A=B，同理B=C ∴ 是等边三角形
7. D
解：
∵
∴
∴ ，
∴ 原式
8. B
解析：
二.
1. 解析：（1）因为，所以
所以
由
所以
（2）因为
所以 所以
因为为锐角，所以
2. 解析：如图所示，令，则，则矩形ABCD的面积为
其中“”中等号成立的充要条件是，即
于是时，S为最大
不难得到，这时A、D两点与O的距离都是
3. 解析：由题意知
∵ ∴ ∴ ，
（1）÷（2），，即
又 ∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
