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拓扑群
topological group
又名连续群,是具有拓扑空间结构的群。设是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间×到拓扑空间[kg2]上的映射∶(,)→·及从到上的映射:→ 都是连续映射，则称为拓扑群。如果作为拓扑空间是局部紧(或紧连通单连通)的,则称为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如,维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域上所有阶非奇异方阵所成的乘法群(,),再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群(,)是一个紧连通拓扑群。
从拓扑群到拓扑群内的映射:→,[kg2]如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么称为从拓扑群到拓扑群 的同态，简称同态。如果同态是双射, 而且逆映射也是连续的，那么称为拓扑群到拓扑群上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。
在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。
拓扑群的结构是比较均匀的，一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设为群,[666-m][xin]为的某些子集构成的集合。如果 [666-m][xin]适合下列五个条件：①[688-03]，其中为的单位元素；②对、[kg2][kg2][666-m][xin],存在 [kg2][kg2][666-m][xin]使 ∩;③对每个 [kg2][kg2][666-m][xin],存在[kg2][kg2][666-m][xin]使(;④对每个[kg2][kg2][666-m][xin]及[kg2][kg2]，存在[kg2][kg2][666-m][xin]使；⑤对每个[kg2][kg2][666-m][xin]及[kg2][kg2],存在[kg2][kg2][666-m][xin]使(,那么在中可以引进惟一的拓扑,以{｜[kg2][kg2][666-m][xin],[kg2][kg2]},为拓扑空间的完全邻域组，使成为拓扑群，亦即拓扑群的拓扑结构完全决定于单位的完全邻域组[666-m][xin],只要拓扑群中有一点是闭集,那么每一点都是闭集,从而是豪斯多夫空间，并且这样的拓扑群的拓扑空间是正则的。连通拓扑群作为抽象群都可以由它的单位的一个邻域来生成。
如果拓扑群的子集是群的子群,那么加上由的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称为拓扑群的拓扑子群；如果 又是 的闭（开）子集，那么 称为 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群 的子群 的闭包 也是拓扑子群。拓扑群 的中心与换位子群都是 的闭正规子群。给出拓扑群 的子群,就可以有左陪集的集合/ ={丨[kg2][kg2]},有从 到/上的自然映射∶→/,()=,对[kg2][kg2],/上使连续的最强拓扑，使/成拓扑空间，称为关于子群 的左陪集空间。同样有右陪集空间。于是, /是豪斯多夫空间当且仅当是闭子群。/是离散的,当且仅当是开子群。如果是拓扑群 的正规子群，那么商群/再加上上述陪集空间拓扑，使/成拓扑群，称为拓扑群按正规子群所做得的商群。这时，从拓扑群到拓扑群/的自然映射 是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本定理的同态定理：如果是从拓扑群到拓扑群上的开同态映射，为的核,那么是的闭正规子群，而且由导出/到上的映射是拓扑群间的同构映射。
在研究拓扑群的结构及讨论拓扑群上函数的性质时，一个非常重要的有力工具是,在局部紧拓扑群上可以建立起不变测度与不变积分，即 有一个适当广的可测子集类（博雷尔子集类）,在这个类集上可以有一个测度，使得对中的任一元素，可测集的测度()与集合的测度()相等这种测度称为局部紧群上的哈尔测度。它是A.哈尔于1933年首先建立起来的理论 可以证明, 除了一个常数因子外，局部紧群上的哈尔
测度是惟一确定的。紧子集上的哈尔测度是有限的，因此, 在紧群上哈尔测度总可以标准化为()=1有了测度就可以在局部紧拓扑群上建立起不变积分的理论。1934年J.冯·诺伊曼用比A.哈尔简单得多的方法，在紧群上直接建立起不变积分的理论早在1927年,F.彼得与(C.H.)H.外尔已经在讨论紧李群的线性表示时用到了不变积分。
拓扑群的表示理论也是研究拓扑群的一个重要方面。从拓扑群到所有阶非奇异方阵所成的拓扑群(,)中的同态,称为的一个线性表示。与有限群的线性表示理论相似，紧拓扑群的线性表示也具有完全可约性、正交性、完备性。所谓完全可约性，是指紧拓扑群的任一线性表示都是不可约表示的直和。所谓正交性，是指紧群 的任意两个维数各为与的不等价的不可约表示
与,:→()=(()),[kg2][kg2],,=1,2,…,;:→()＝(())，[kg2][kg2]，，＝1,2,…, ，有关系式[689-01][689-02]，当≠或≠时;式中积分是群上的不变积分, ()、[689-00]()分别是()、[689-0]()的共轭。
所谓完备性,是指如果[651-110]表示紧群的所有不可约表示中所出现的连续函数()全体，那么上任一连续函数都可用[651-110]中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得－外尔定理。
在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集，则称为局部欧氏群。许多数学家在研究希尔伯特第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。.C.庞特里亚金于1934年解决了交换群的情况，冯·诺伊曼解决了紧群的情况，D.蒙哥马利和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群，从而肯定了D.希尔伯特的猜测。
拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系，在物理学中有大量的应用。
参考书目
..邦德列雅金著，曹锡华译：《连续群》，科学出版社,北京,1957。(. . , , , , 1954.
曹锡华
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