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赋值
valuation
实数（或复数）绝对值在任意域上的推广。赋值这个概念最初是由J.屈尔沙克于1913年提出的。设 是定义在任意域上的一个取非负实数值的函数,并满足以下三个条件：①()=0，当且仅当=0，并对某个[kg2][kg2] 有()≠1；②()=()()；③(+)≤()+(),J.屈尔沙克把这样的称为上的一个赋值。按照通行的叫法，后改称之为的绝对值。不久以后,A.奥斯特罗夫斯基引进了另一种绝对值，它满足上述的①和②,以及④[229-2]，并把这种称为非阿基米德绝对值,而把满足①、②、③而不满足④的那些称为阿基米德绝对值。实数域或复数域的通常绝对值就是它们的阿基米德绝对值。有绝对值的域，记作(,)。
完全域 借助于的绝对值，可以把分析学上的一些概念移植于。设｛｝是的一个序列。若对于每个实数>0，总有一个自然数0，使得当,≥0时，恒有(－)，则称{}是(,)的一个柯西序列。若对于序列｛｝，有[kg2][kg2]，使得当≥0时恒有 (-)则称{}是收敛的,而称为它的极限。若(,)中每个柯西序列都是收敛的,则称关于是完全的,或者说(,)是完全域(complete field)。实数域或复数域关于通常的绝对值是完全的，而K.亨泽尔的进数域则是一个非阿基米德绝对值的完全域。对这两种域作统一的处理，正是发展赋值理论的一个主要出发点。
F上所有形如[229-4]的级数，称为上关于文字的形式幂级数。按照通常的加、乘运算，它们组成一个域,称为上的形式幂级数域，记作 (())。令[230-1]，以及(0)=0，于是得到一个完全域((()),)。
当是阿基米德绝对值时,有著名的奥斯特洛夫斯基定理：若关于阿基米德绝对值是完全的,则连续同构于 或。
赋值和赋值环 非阿基米德绝对值这个概念还可以作如下的推广。设 是一个有序交换群，其运算为乘法，单位元素为1。设0是一个符号,它与的元素，满足0＝0＝00＝0，以及0。若: →[kg1]∪{0}是个满映射,满足:①()=0当且仅当=0；②()=()()；③[230-2],则称是的一个赋值.或者说是有赋值的赋值域,记作(,)。称为的值群。当是正实数乘法群时，就是前面所说的非阿基米德绝对值。在赋值域(,)中,子集[230-3]成一个环,称为 的赋值环。的子环 A成为某个赋值的赋值环，当且仅当对于的每个元素，必有[kg2][kg2]或者([kg2][kg2]。
从域的一个子环 到某个域 的一个同态映射,如果满足：①对于[kg2][kg2]-,有([kg2][kg2]以及(=0；②把的单位元素映射到的单位元素,那么称为的一个位。域的每个位，显然给出一个赋值环；反之，从域的赋值环也不难作出域的一个位。因此，赋值、赋值环和位这三个概念密切相关。位还是代数几何中的一个重要概念，早在R.戴德金和H.韦伯的经典著作中就有了它的雏型。赋值自W.克鲁尔于20世纪30年代初提出以后，赋值理论广泛应用于代数数论、类域论以及代数几何等方面；到了60年代，它又与泛函分析有着日益增长的关联。
赋值的阶 设是赋值的值群，Δ是的一个子群。若对于Δ的每个元素，中所有满足(的元素也属于Δ,则Δ称为的一个孤立子群。｛1｝和都可以作为的孤立子群。以下设≠｛1｝。由于是有序的,中所有的孤立子群按包含关系成一个全序的集。除 本身外的所有孤立子群，按包含关系所成全序集的序型定义为的阶。若的值群的阶是,就称是阶赋值。因此，所谓一阶赋值,就是指值群只有｛1｝为其真孤立子群的赋值。有序交换群的阶为1,当且仅当它保序同构于某个由实数所成的乘法群。这个事实表明，一阶赋值正是前面所定义的非阿基米德绝对值。
离散赋值 当一阶赋值的值群为无限循环群时,则称为离散赋值。例如，关于有理数域。设 是一个素数，那么每个有理数≠0都可惟一地写成[230-5]的形式，其中、是与互素的整数,()[kg2][kg2]规定[230-4]，以及(0)=0。不难验知,满足赋值的条件，而且是一个离散赋值，称之为的进赋值。
赋值的开拓
设(,)是一个赋值域,是的一个扩域,若有一个赋值，使得对每个[kg2][kg2],都有()=()，则称为在上的开拓。关于赋值开拓有存在性定理：的赋值在的任何一个扩域上都至少有一个开拓。
拓扑域 如果域有一个拓扑,使得的四则运算关于是连续的,那么称为关于的拓扑域,记作(,)。库尔雪克意义下的赋值域，是拓扑域的最早例子。
赋值理论也可以从拓扑代数的角度来研究，是基于下述事实。对于有绝对值 的域 ，所有形如｛[kg2][kg2]｜()｝的子集构成零元素的一个基本邻域族，从而生成的一个域拓扑。在是的赋值时,情形也相同。对拓扑域作系统的研究始于20世纪30年代初期D.von 丹齐克的工作。
局部紧域 任何拓扑域(,)只能是连通的,或者完全不连通的。如果是的一个局部紧拓扑,那么(,)称为局部紧域。离散拓扑也是一种局部紧拓扑。仅就非平凡的和非离散的情形而论，局部紧域有一些显著的性质。首先，每个局部紧域 (,)都有一个绝对值，使得由所生成的拓扑与相同。其次,还有定理:设(,)是一个局部紧域如果它是连通的,那么它连续同构于或（关于通常绝对值的拓扑）；如果它是完全不连通的，那么它就连续同构于 p进数域的一个有限扩域，或者某个有限域上的形式幂级数域 K(())的有限扩域。
参考书目
O.Zariski and P.Samuel,Commutative Alebra,Vol.2,Springer-Verlag,New York,1960.
O. Endler, Valuation Theory，Springer-Verlag, Berlin,1972.
戴执中
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