爱华网直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角
二. 本周教学重、难点：
1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。
【典型例题】
[例1] 如图所示，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。
（1）求二面角的大小；
（2）M为棱上的一点，当的值为多少时，能使平面EFB1？请给出证明。
解：（1）在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC
∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
是二面角的平面角
∴ 二面角的正切值为
∴ 二面角的大小为
（2）当时能使平面EFB1
证明如下：面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M
∵ ∴
而 ∴
∴ ，因此 同理，
∴ 平面EFB1
[例2] 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。
证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA，又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在中， ∴ PA=AD
又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴
∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC
又 ∴ MN⊥平面PCD
[例3] 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=，AD=BC=，，，将其沿对角线BD折成直二面角。
（1）证明AB⊥平面BCD；
（2）证明平面ACD⊥平面ABD；
（3）求二面角的大小。
解析：（1）证明：在中，由余弦定理，得
∴
∴
又 ∵ 二面角为直二面角，平面ABD，DB=平面平面BDC
∴ AB⊥平面BDC
（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB平面ABD
∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD
又 ∵ DC平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD
（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得
连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴ 是二面角的平面角
在中，
∴ 即二面角的大小为
[例4] 如图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点，求：
（1）AE与CF所成的角；
（2）CF与平面BCD所成的角。
解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK
∵ F是AD的中点
∴ AE//FK 则为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）
设正四面体棱长为，则可得
在中，
∴在中，
∴ ，即异面直线AE和CF所成角为
（2）在正四面体ABCD中，∵ 各棱长都相等，E是BC的中点
∴ BC⊥AE，BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD，交线为DE
过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD
过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH
∴ 为CF与面BCD所成的角
∵ ∴
故CF与面BCD所成的角为
[例5] 在三棱锥中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=，。
（1）求证：SC⊥平面BDE；
（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。
解：（1）证明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD平面ABC
∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴
∵ ∴ SB=BC ∵ E为SC的中点 ∴ BF⊥SC
又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE
（2）由（1）的结论及平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE平面SAC，∴ BD⊥CD、BD⊥DE
∴ 为平面BDE与平面BDC所成的二面角的平面角
由AB⊥BC，得
在中，
∴ ∴
[例6] 如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为，PB与平面ABD成角。
（1）求CD的长；
（2）求PB与CD所成的角；
（3）求二面角的余弦值。
解：（1）∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC
∴ BC⊥平面PDC ∴ 为PB与平面PCD所成的角，即
同理，即为PB与平面ABD所成的角
∴ 在中，∵ PB=2 ∴ BC=PC=
在中， ∴ PD=1，BD=
在中， ∴ CD=1
（2）∵ AB//CD ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，即为PB与AB所成的角。
∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴ PA⊥AB
在中，AB=CD=1，PB=2 ∴
（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF
∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD
CF为平面PBD的斜线，由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF
∵ 为二面角的平面角
在中，，DC=1，BD=
∴ CE=
在中， ∴
∴
∴ 二面角的余弦值为
[例7] 在长方体中，，点E在棱AB上移动。
（1）证明；
（2）AE等于何值时，二面角的大小为？
解：（1）证明：∵ AD=AA1 ∴ 四边形ADD1A1为正方形
故 又 为长方体
∴ AB⊥平面AA1D1D 又平面AA1D1D ∴ AB⊥A1D
又平面 平面
∴ 平面AD1B，又 平面 ∴
（2）过D作DH⊥CE于H，连结D1H
由于D1D⊥平面ABCD，EC平面ABCD ∴
故平面，又 平面，则
∴ 为二面角的平面角
设，则 在中，∵ ∴ DH=1
∵ 在中，
∴ 在中，，在中，
在中，
∴
∴ AE时，二面角的大小为
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 在正方形中，E、F分别是、的中点，如图所示，现沿着AE、AF、EF把这个正方形折成四面体，若三点重合，重合后的点记为B，那么四面体AEFB中必有（ ）
A. AB⊥平面EFB B. AD⊥平面EFB
C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF
2. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH为（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定
3. 已知直线与平面满足，那么必定有（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图P是二面角棱上的一点，分别在平面上引射线PM、PN，如果，，那么二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正三棱柱中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
二. 解答题：
1. 在四面体中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B—AP—C的大小。
2. 如图甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=，A是PD的中点，沿AB把平面PAB折起到乙图平面PAB的位置，使二面角成角，设E、F分别为AB、PD的中点。
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求二面角的大小。
3. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。
（1）求证：；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
【试题答案】
一.
1. A
解析：由⊥面BEF
2. C
解析：根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四边形EFGH为矩形。
3. A
解析：由已知，又，故选A。
4. C
解析：如图，为侧棱与底面所成的角，∵ ，PA=1，∴
5. A
解析：如图，折成三棱锥后，A、B、C重合于B，∵ BE//IH，∴ 为BG与IH所成的角为
6. C
解析：过C作平面PAB的垂线，则垂足O在的平分线上，作OB⊥PB，OA⊥PA，由三垂线定理得CB⊥PB，CA⊥PA。
设PC=，则PA=PB= 在中，
∴
7. D
解析：不妨设PM=PN=，∵
∴ ∴ E、F两点重合为C ∵
MN=，且
∴ ，即二面角的平面角为
8. D
解析：本题考查直线与平面所成的角，如图，E、O为B、D在平面A1C上的射影，则即为所求。易知=
，AD=，则
二.
1. 解析：过点B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连结BF
∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA
∴ 就是二面角的平面角
设PC=1，则AB=BC=CA=PC=1 ∴ E为AC的中点
∴
∴ ，即
∴ 所求二面角的大小为
2. 解析：（1）证明：取PC的中点，连结FG、EG，则FG//CD，且
∵ AE//CD，且 ∴
从而四边形AEGF为平行四边形 ∴ AF//EG ∵ 平面PEC
∴ AF//平面PEC
（2）∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD
∵ PA=AD， ∴ ∴ PA⊥平面ABCD
∴ PA⊥BC ∵ BC⊥AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB
∴ 为二面角的平面角
在中， ∴
∴ 二面角大小为
3. 解析：（1）证法一：如图，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC
∵ SD⊥底面ABCD
∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC
证法二：如图所示
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC
又 ∴ 平面SDC 又 SC平面SDC ∴ BC⊥SC
（2）方法一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
∴ 可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体，如图所示，面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角
∵ SC⊥BC，BC//A1S ∴ SC⊥A1S，又 SD⊥A1S
∴ 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得SD=1
∴ ，即面ASD与面BSC所成的二面角为
方法二：如图所示，过点S作直线，∴ 在面ASD上
∵ 底面ABCD为正方形 ∴ ∴ 在面BSC上
∴ 为面ASD与面BSC的交线 ∵ SD⊥AD，BC⊥SC
∴ ∴ 为面ASD与面BSC所成二面角的平面角（以下同方法一）
（3）如图所示，取AB中点P，连结MP、DP
在中，由中位线定理得MP//SB ∴ 是异面直线DM与SB所成的角
∵ 又
∴ 在中，有 ∴
∴ 异面直线DM与SB所成的角为
