数学难题 天才设的数学难题向你挑战！（二）

天才设的数学难题向你挑战！（二）

目录

第一章 设题与解答第二部分

21、死亡与绝望的隧道(题)
22、死亡与绝望的隧道(答)
23、熵(题)
24、熵(答)
25、Zyph星球(题)
26、Zyph星球(答)
27、欧罗巴的水母(题)
28、欧罗巴的水母(答)
29、伽马策略(题)
30、伽马策略(答)
31、金星数字(题)
32、金星数字(答)
33、失踪的风景(题)
34、失踪的风景(答)
35、大巫小巫策略(题)
36、大巫小巫策略(答)
37、炙热的岩浆(题)
38、炙热的岩浆(答)
39、机器哨兵(题)
40、机器哨兵(答) 

 
 后记
 
        克利福德·皮科夫，耶鲁大学博士，已经出版了20余部著作，广受好评内容涉及计算机余创造力、艺术、数学、宇宙黑洞、人类行为与智慧、时间旅行、外形生命、以及科幻小说。皮科夫还是一位多产的发明家，拥有几十项专利。
 
 
推荐阅读书目

“你的头脑怎么样？”说了一通废话，他抓住老朋友那柔软而圆润的手。

“很好，”稻草人回答道。“奥兹博士，我确信你给了我世界上最好的脑子，当所有的别的大脑都在沉睡的时候，我日夜用它们思考。”

——《绿野仙踪》

奥兹博士把多萝茜和普莱克斯先生放在一个地下迷宫里面。多萝茜的目光游移在他们走味的水晶盒子之间，她注意到那些流动的和谐的 和那些水晶表面的那些柔和的紫色条纹。一种清凉的平静赶掠过心头，她，那一刻，那种被奥兹博士诱拐的记忆似乎消失了。

“这里有三个隧道出口，”奥兹博士说，“在每一个出口的尽头是三个托托的克隆”他交给多萝茜一张卡片，那上面有隧道的布局图。

多萝茜所处的位置相当于图上标出的“开始”的地方，从她现在的位置不能看到三个托托的克隆，但他仔细地听着奥兹博士的讲解。

奥兹博士继续说道：“这三个隧道中有两个的表面覆盖了有毒物质，要是你从那里经过，你就会被那些粘性的东西裹住，最后会死掉的。只有一个隧道是通向自由的。

多萝茜考虑了几秒钟， 他带着恐惧和发抖的声音说道“，好的，我的答案没有任何理由，不过，我选择一号隧道。它是最合适的。”

奥兹博士很清楚每一个隧道所要到达的地方，他伸出光滑的触角，慢慢地指向三号隧道，坦白地告诉她那是一个粘人的隧道。

“多萝茜，我给你一个改变主意的机会，你现在可以选择二号来代替你刚才的选择，要是你愿意的话。你可以这么认为，无论何时，当我考人类的时候，我总是指向一个有粘人的道路的隧道。你现在难道不想改变主意，放弃选择一号隧道，而选择二号隧道吗？”

难度系数： ! ! !

 
22、死亡与绝望的隧道(答)

由于奥兹博士总会指出一条会粘住人的隧道，如果多萝茜改变最初的选择，选2号隧道的话，她走出迷宫的机会就会大大增加。如果你不相信，编写一套计算机模拟程序来试试看。此外，你还可以设想一下，假如有100条隧道，奥兹博士指出了其中98条会粘住人的隧道，你还会不会改变最初的选择呢？（这段分析中使用了哪些假设条件？）

 
23、熵(题)

现在有一个人会问：“在一个物理讲座中数学能干什么？”我们可能有这样几个理由：首先，当然，数学是一个重要的工具，只要给出一个公式，我们在两分钟内就能解决问题。另外，在理论物理中，我们发现所有的定理都用数学形式书写，因为这样既简洁又美观。因此，总的来说，为了了解大自然，我们必须对数学有更深的掌握。不过，真正的理由是物体是有趣的，尽管我们人类把大自然切割成不同的样子，我们在不同的部门有不同的事业，这些独立的部分是人为的，我们应该用我们的智慧使我们所处的任何地方都充满快乐。

——理查德·费曼，《费曼物理讲座》

多萝茜和奥兹博士在距离神秘测试大厅几英里远的地方。他们的汽船在一座巨大的建筑上空通过，那时多萝茜曾经见过的最大的建筑物。它看起来象一个方尖碑状物，它大约有一英里高，直径为 30 英尺。与之毗连的堪萨斯平原则象被一些巨大的坑割成了一条条伤疤，这显然是矿物开采带来的结果。环绕着这个琥珀色的建筑物的是某种看起来象被金属笼子围住的高高的熔炉。

“奥兹博士，你这是在毁坏堪萨斯的环境！”

“别担心， 这里有许许多多的草原。堪萨斯受一点污染不要紧的，还有许多地方是不受然后影响的。”

奥兹博士带多萝茜来到一个玻璃房子里。“今天的题就在这里。这儿有 16 个小的克隆的和 3 个大的克隆在房间里蹦蹦跳跳着。如果联系数学和物理知识，让他们任意跳动，那么在一段时间后那 3 个大的普莱克斯 s 将在哪儿？”

多萝茜看了看玻璃房子，说：“你能给我一些更详细的的信息吗？”

奥兹博士的眼珠子转了转，说：“当然，我一向都会给你详细的信息的。”

（图下方的文字：跳动的普莱克斯，在一段时间后那它们在哪儿？）

难度系数： ! ! ! !

 
24、熵(答)

如果将这个实验的对象换成几个大球和众多小球，研究人员会发现，大球最终会聚积在一起。较大的质点集中起来，或是运动到角落里，可以为小质点让出更多的运动空间，从而加剧系统的整体混乱。小质点会变得更加无序。试想，不想跳舞的人们聚积在墙边，为狂热的舞者让出更大的舞池。由于每个质点都对整体的熵产生相同的作用，众多小球体造成的熵的增加幅度超过了大球体造成的熵的减少幅度。用直径仅为几微米的球体在水中进行的实验已经证实了这一点。比如，让一些球体漂浮在溶液中，然而再加入新的球体，原有的球体就会在玻璃壁上形成水晶状排列。较大的球体尽量贴近玻璃壁，以便为较小的球体腾出空间。因此，多萝茜会将看到个头较大的三个普莱克斯先生在聚积在墙边。

人们通常认为随机系统中的无次序会愈演愈烈。比如，将100个蓝色弹子和100个红色弹子放进一个口袋，然后长时间晃动口袋，让弹子随机混合。但有时，熵可以发挥组织的力量。在一定条件下，弹子最终将分开。系统中某一部分的熵增加，会迫使另一部分形成更为严整的次序。戴维·科斯腾鲍姆在曾撰文指出，熵的这种序列效应对于科学的各个领域都具有重大影响（见《连接不同学科的熵》，《科学》，第279期（1998），第1849页）。

 
25、Zyph星球(题)

一个数理上的事实是若我手中的鹅卵石掉落将改变宇宙的重心。

——托马斯·卡莱尔，《旧衣新裁》，第三章

“多萝茜，在我们生活的世界上，也就是这个我们称为 Zyph 的星球上，生长着一种结有叫做 Zyph 果子的树。每个树枝上结 5 个圆形的果子。每个果子按照象限划分为 4 部分。”奥兹博士指着画着结有圆形果子的树的黑白图片对多萝茜说道。这些果子使多萝茜想起了那些粘有小污点的玻璃窗，因为官衔正好透过果子中的白色部分照射进来。（图 48.1 ）

“我这里有一棵长着 5 个枝条的 Zyph 树。其中一个枝条并不是这个树上的。它是被某个坏蛋接在树上的，这是一个讨厌的骗局，是一个恶作剧。你能说出哪个枝条不是这棵树上的吗？为什么？你要想找到答案，唯一的办法就是将这些果子叠加起来哦。”

Zyph 树（ 布赖恩·曼斯菲尔德绘制）

难度系数： !

26、Zyph星球(答)

最上面的一根枝条不是长在树上的（见图 F48.1 ）。如果你把每根枝条上的果实重叠起来，回发现果实中那些黑色的扇形组成了一个完整的黑色的圆。但最上面那根枝条上的果实却组不成一个黑色的圆，左下方的扇形还是白色的。（“明亮的光线透过果实上白色的部分照射下来”，这句话是一个提示，当然，你也可以开动脑筋，找出其他解题方法）。

F48.1 Zyph答案（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）

 
27、欧罗巴的水母(题)

白色女王问道：“你会做加法吗？一加一，加一，加一，加一，加一，加一，加一，加一，加一是多少？”

“我不知道，”爱丽丝答道，“我根本没法记住你都说了些什么。”

——刘易斯·卡罗尔，《镜中世界》

多萝茜和奥兹博士站在一个容积大约为一万加仑的水池面前。那里面有一些奇怪的，看起来酷似水母的生物在嬉戏、玩耍。它们的那些透明的触角随着它们的身体飘荡在这波光闪闪的古老的海水之中。这些水母似乎用那些镶嵌在水池壁上的珊瑚制造了一个迷宫。（图 49.1 ）

“多萝茜，在木星的一个叫做欧罗巴的卫星上，在那儿的海洋里漂浮着一些美丽的水母。他们居住在一些结构复杂的迷宫般的城堡中。我们已经弄到了一些这种水母的样本，而且把它们放在了这个水池中。你的任务就是游过这个迷宫，收集所有的水母，然后离开。”

多萝茜点了点头，她看见迷宫中的水母排成了一条线。

“水母很狡猾，它们有很多敏感的细胞。你必须十分小心谨慎。你必须找到一条穿过迷宫的路，这条路既要途径所有的水母，又不能走任何重复的道路，而且，还不能出现相同的交叉点。因为，如果你从正面接近水母的话，它们会看见你，所以，你必须从背面接近以便捉住它们。”

多萝茜点了点头，戴上了水中呼吸器。

“多萝茜，你告诉我，你可以找到几条不同的路线呢？”

图中的文字：欧罗巴水母 （布赖恩·曼斯菲尔德绘制。）

难度系数： ! !

 
28、欧罗巴的水母(答)

图 F49.1 给出了一种答案。你还能找出别的答案吗？

欧罗巴水母 （布赖恩·曼斯菲尔德绘制。）

 
29、伽马策略(题)

玛·哈尔继续说道：“你应该说出你的意思。”

爱丽丝马上答道：“我说过了。至少我表达出了我要说的话的意思。 你知道，那是一样的。”

哈特说道：“一点艘不一样。你的意思好象是在说‘我看到了我所说的东西’与‘我吃我看到的东西’是一样的。”

——刘易斯·卡罗尔，《爱丽丝漫游奇境》

多萝茜和奥兹博士正处在一个直径为二十英尺的玻璃球中。这个玻璃球是浮于140号高速公路的人行道上空约五英尺的地方，他们在里面观望着撒林和埃尔斯沃思。多萝茜向奥兹博士来挑战来猜硬币的日期。所谓的硬币是指奥兹博士从他哪个闪闪发光的、装着近来新收集的硬币的小袋子中随机踌躇的一个美圆硬币。

“奥兹博士，我把这个谜题叫做‘伽马策略’。”

“为什么这样叫它呢？”

“因为伽马是一个希腊字母，而我认为我这样叫它会比我仅仅叫它一个猜谜游戏给你留下更为深刻的印象。”

“继续说。”

“我们将要来猜硬币的日期，我赌我猜的答案将比你的答案更接近真实值。你只有一次猜的机会，而我有两次。但为了补偿我的那一点微弱的优势，我不仅会让你先猜，而且我将以我所有的财富及我的生命为赌注。不过，要是我赢了，你必须让我回到埃米阿姨和亨利叔叔那里渡一周的假。”

“好的，听起来很公平嘛。只有当我们把自己猜的答案都说出来后，我才会把硬币拿出来看。”

多萝茜应该用什么样的策略来显著提高她的胜算的？

难度系数：!

 
30、伽马策略(答)

我们假设奥兹博士猜的是1997年。于是，多萝茜的猜测必须在1997年前后，即1996年和1998年。她获胜的机会很大。和你的朋友们打个赌，看看他们目瞪口呆的样子。你差不多总能赢。下一次玩transatuaumancy的时候，再来做做这道题。（如果你不明白这个字的意思，请看看我写的《梦想未来》。）

如果你猜两次，而你的朋友只能猜一次，你要用什么办法才能说服他们同意和你打这个赌呢？

 
31、金星数字(题)

数学作为一门科学，第一个提到的人是一个希腊人，证明了关于“任何”与没有特殊的定义的事情的“一些”的命题。

——阿尔弗德·诺思·怀特赫德，《教育的目的》

今天多萝茜和奥兹博士在金星上探险。多萝茜通过宇宙服的头盔看着奥兹博士，她又一次被他的巨大的眼睛的光滑所震惊了。有时候他们似乎看进了对方的灵魂。

一个长有触角的外星人来到他们身边。在多萝茜的宇宙服的讲话器外，她听到了外星人的带有浓厚鼻音的声音。

“你知道，你闷的太阳最终会变成一个红色的举人，它会令地球毁灭。不过，我们通过先进的技术可以阻止这一切发生。你就必须证明你你的物种是值得我们这么做的。”

多萝茜倒退了一步，确信外星人不会听到他的话了，才对奥兹博士说：“这个家伙也是你的一个同事吗？”

奥兹博士点了点头。

另外一个外星人指着一个水晶一样闪闪发亮的灌木丛，他递给多落拨西一支遥感钢笔。“我要考考你。请你在圆圈里填上数字，要求是每一个位于根部的圆圈里的数字要等于它的枝条上的所有的数字的总和。例如，从最底部的根部开始的四个枝杈上所有的圆圈上数字的总和须等于 102。”外星人停了停，继续说到；“我已经填了三个数字了。你在填的时候，要先从1到12的数字中选择一个填，而且每个数字只能填一次。等你填完那些数字时，剩下的圆圈中你爱填什么数字就填什么数字。”（图100.1）

多萝茜点点头，与此同时，奥兹博士在来回度步。他缓缓地凝视着那被晚霞染得一片橙黄色的峡谷及那连绵的山脉。

外星人走到多萝茜跟前说：“要是你在 24小时内解决了这个问题，我们会把地球从最后的毁灭中解救出来的。”

难度系数： ! !

 
32、金星数字(答)

图 F100.1 给出了一个答案，你还能找出其他大答案吗？

F100.1 金星数字答案（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）

 
33、失踪的风景(题)

宇宙是有规划的，这无庸置疑。问题是这会总规划是外界强加的呢，还是支配宇宙的物理定律所固定的呢？接下来的问题当然就是：是谁或者什么东西制造了这些物理定律？

——拉尔夫·埃斯特林，《质疑一切的人》

多萝茜和奥兹继续他们横穿中西部的行程，他们从堪萨斯州到俄克拉何马州，再到阿肯色州。最近，他们的行李不多；只有牙刷，几件用有自我清洁功能的材料做成的外衣，还有几套内衣。奥兹博士考多萝茜时仅仅需要折叠屏幕就可以了。折叠屏幕还可以把他们和随时变化的美国联系在一起。美国现在是有人类与担轮幼虫共同居住了。

“多萝茜，这是你的下一道题。”他让她看屏幕上的一副风景画。是哪一张风景画不见了？

（图下面的文字： 风景画片断）

难度系数： ! ! !

 
34、失踪的风景(答)

空缺的符号是（）。原因如下：从右上角开始，按顺时针方向，以下几幅图案组成的序列重复出现：

你看出来了吗？这道题说起来容易，可做起来难。让你的朋友试试看，保证没有人能答得出，即便你拿出 10 块钱赏金也没用。寻找答案的方法是数一数每幅图案反复出现的次数，如果大部分图案都出现了三次或四次，一副图案只出现过两次，那么这幅图案就很值得注意。

 
35、大巫小巫策略(题)

科幻小说与科学本身一样，是一个组织严密的系统。现代社会中，许多科幻小说在阐释宇宙奥秘方面已经取代了宗教的作用。

我们是从哪里拉的？我们为什么在这儿？我们还要到哪里去？——这些本来都是宗教的问题，现在却成了科幻小说中的问题。所以说，宗教科幻小说是一个自相矛盾的东西，而关于宗教的科幻小说却是老生常谈。

——詹姆斯·冈恩，《新编科幻小说百科全书》

多萝茜与奥兹博士和普莱克斯先生在一起。他们左边都是些点着荧光灯的人造荧光树脂恒温箱，每个里面都躺着一个大概一两英尺的小动物，或许是胎儿——活着的，会呼吸的东西，眼睛还是禁闭着的。他们的胳膊又细又长，脑袋毛绒绒的，大得和身体不相称——让多萝茜想到了人类的畸形婴儿。他们怎么会在这里？这是不是他们走想向熟的第一步？

“多萝茜，这些外星人正在思考一道很难的题。你看，是这样的。”

奥兹博士把多萝茜放进了一个大罐子里，里面有两条可怕的、身子不停地扭动的怪物，它们叫大巫和小巫。

（左图下面的文字：大巫；右图下面的文字：小巫）

“多萝茜，我将在一个不透明的瓶子里放进一条大巫和一条小巫。你不许看，从瓶子里取出一条来。假如你取得的是大巫，你的小狗托托就会被放置在一种休克状态，并且让你三十年见不到它。如果你取出的是小巫，那么你就自由了。这些怪物动作快极了。千万别掉在地上，否则它马上就钻得没影儿了，你也别想再看见它，抓住它了。”

“奥兹博士，为什么要让我面对如此残忍的选择？我知道你想考我，但这也未免太荒唐了。”

“你竟敢向伟大的奥兹博士提这样的问题？”奥兹博士一弯腰，抓起两条怪物塞进瓶子里，但多萝茜看清了，他放进去的是两条大巫，他骗人。多萝茜想大叫“骗子！”但这会使奥兹博士在诚实的普莱克斯面前丢尽面子。要是惹垴了奥兹博士，托托可就危险了。既然多萝茜知道瓶子里装的是两条大巫，她还能用什么样的办法来救托托呢？

难度系数： !

 
36、大巫小巫策略(答)

多萝茜应该从瓶子里随便抓一个出来，然后假装被咬到，立刻把那东西扔到地上，它会马上溜得无影无踪。这时，多萝茜就可以对奥兹博士说：“真抱歉，不过没关系，我们看看瓶子里还有什么，不就知道我刚才抓住的是什么了吗？如果留在瓶子里的是小巫，那么我刚才抓住的一定是大巫。”

 
37、炙热的岩浆(题)

鉴定人报告： “这是一份新颖、真实的材料。但不幸的是，真实的部分不新颖，新颖的部分不真实。”

——无名氏，《回到数学界》

“多萝茜，把手伸进岩浆是件危险的事，当你收回手时，你只有50%的存活希望。”

“听起来真令人恶心。”

“不，我们仅仅在做一个想象中的试验而已。假设是这样的。亨利叔叔，艾玛婶婶和多萝茜依次把手伸进演讲。例如：亨利叔叔把手伸进岩浆里，再收回来；然后是埃姆婶婶；最后是多萝茜。第一个活下来的人边是胜出者。一旦有人胜出，或是多萝茜把手伸进岩浆，游戏宣告结束。也就是说，每个人成功与失败只有一次机会。请问他们各自有多大的机率胜出？”

“你是只令人恶心的虫子！”

“我或许是恶心，但通过思考我问你的每一个问题，你的大脑变得越来越聪明了。现在告诉我答案吧！”

难度系数：!

 
38、炙热的岩浆(答)

请原谅奥兹博士出了这么可怕的一道难题。亨利叔叔、埃姆婶婶和多萝茜的“获胜”几率分别是1/2，1/4，和1/8。把赌注押在亨利叔叔身上吧！

亨利叔叔第一个出场，于是他的机会是埃姆婶婶的两倍；埃姆婶婶第二个出场，她的机会是多萝茜的两倍。因此，他们三个的获胜机会之比为4︰2︰1。具体地讲，要让埃姆婶婶胜出，条件是亨利叔叔必须死掉（1/2），而且埃姆婶婶还必须活下来（1/2），复合概率为1/4。要让多萝茜胜出，条件是亨利叔叔和埃姆婶婶都必须死掉（机会各为1/2），而且多萝茜必须活下来（1/2），由此得到的复合概率为1/8。多萝茜胜出的几率同没有最终获胜者的机会同样多。你明白为什么吗？第19题《神秘的射电枪》也涉及到概率问题，只不过更加复杂些。

如果你想做难一点的题目，来试试这个：假如亨利叔叔、埃姆婶婶和多萝茜一直玩下去，直到有人死掉，那么三人的获胜机会各是多少？（在这道可怕的题目中，获胜者是第一个死者。）假如多萝茜和亨利叔叔两个按固定顺序一直玩下去，直到有人“胜出”，他们两人的获胜机会各是多少？怎样证明你的答案？

这道邪恶题目的答案如下：

亨利叔叔：57.14％＝50+50/8+50/82+50/83+50/84+50/85……

埃姆婶婶：28.57％＝25+25/8+25/82+25/83+25/84+25/85……

多萝茜  ：14.28％＝12.5+12.5/8+12.5/82+12.5/83+12.5/84+12.5/85……

比如，亨利叔叔第一次出场时就获胜的机会是50％，此后每一轮，他的累积几率会减少八分之一。注意，亨利叔叔第一个出场，随后是埃姆婶婶和多萝茜，埃姆婶婶的累积几率只有亨利叔叔的二分之一，多萝茜的累积几率则是埃姆婶婶的二分之一。随着游戏的发展，三人的累积几率之和接近100％。

 
39、机器哨兵(题)

我认为这个故事具有教育意义，也就是说，在一个公式中美观性比它的实用性更重要。如果斯科罗丁格尔对他的工作作品更加自信一些，他就会早几个月将它出版，并且他能出版更精确的公式。似乎如果一个人以一种得到美观性的观点来创造一个公式，如果他真正具备良好的洞察力，他就一定会有巨大进步。如果在一个人的工作和经验的结果中没有一种竞争后的统一，那他就不应该让自己太丧失勇气。因为差异性可能对那些也许不重要的小部分东西有用，而且会理论的进一步发展变得更加清晰。

——鲍尔·安德林·毛里斯·迪亚克，《科学的美国》

多萝茜和奥兹博士在堪萨斯州威池塔市外的麦克康奈尔空军基地和波音军用飞机公司旅游。他们的右边是一些简易机场，可它们似乎是杂乱无章地建立在各处。

“奥兹博士，飞机真的会在这些跑道上着陆吗？”

“不，这是我给威池塔的人出的一道谜题。来，看这儿，看这个地图。” 奥兹博士设计了一个包含几种跑道的图表。（图 96.1 ）

（ 200 页图下面的文字：图 96.1 机器人在哪些交叉点停留？ ）

“设想把机器人放在什么位置时，他们只通过转动他们的圆柱形头部上的眼睛时就能观察到所有的跑道？最少要放几个机器人？要是你愿意，你可以把他们放在机场周围的白色道路上，但这些不是跑道，而且，机器人不必观察这所有白色的矩形的道路。”

难度系数： ! !

 
40、机器哨兵(答) 

图 F96.1 给出了一种答案，你还能找出其他答案吗？注意，在这个答案里，机器人不会阻碍彼此的视线，而且它们相互之间也看不见。要让机器人彼此看不见对方，你在跑道的交叉点上最多能放置多少个机器人？如果在跑道交叉点上安排 4 个机器人，你要怎么安排它们的位置，才能让每个机器人负责观察的跑道数目降低到最少？

你的下一项任务是利用最少的机器人来设计一个覆盖所有跑道的监控系统，而且每个机器人都要在至少一个同类的视线之内。这样便形成了一个监控“环”，类似于计算机网络中用于发现错误的符号监测环。

图下方说明：F96.1 布置在交叉点上的机器人（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）

 
 后记
 
        克利福德·皮科夫，耶鲁大学博士，已经出版了20余部著作，广受好评内容涉及计算机余创造力、艺术、数学、宇宙黑洞、人类行为与智慧、时间旅行、外形生命、以及科幻小说。皮科夫还是一位多产的发明家，拥有几十项专利。
 
 
推荐阅读书目：

鲍勃·布里尔（1995），《装饰后的利萨如图形》，刊登在《图案之书：不规则图形、艺术与自然》，克利福德·皮科夫编辑，里弗埃奇，纽约，世界科学出版社。

克里斯·考德维尔，《原乘素数和阶乘素数》

http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/PrimorialFacotrial.html

帕特里克·德·吉斯特，《数字世界》

http://www.ping.be/~ping6758/

http://www.worldofnumbers.com/index.html

斯特芬尼·杜玛斯和伊万·多蒂尔，《探索外星智慧》

http://www3.sympatico.ca/stephane_dumas/CETI/

安吉拉·邓恩（1980），《数学谜题》，纽约，多佛出版社

弗兰克·A.法里斯（1996），《三轮连动——神奇的对称》，《数学杂志》，第69（3）期（六月），第185至198页。

马丁·加德纳（1995），《马丁·加德纳德新数学娱乐》，华盛顿特区，美国数学学会。

罗斯·洪斯贝格（1985），《数学瑰宝》（III），纽约，美国数学学会。

洛基·约根森，《数论中的有形结构》

http://www.cecm.sfu.ca/~loki/

戴维·科斯腾鲍姆（1998），《连接不同学科的熵》，《科学》279：1849。

马克·迈尔森（1996），《Xx轴》，《数学杂志》，第69（3）期（六月）

第198至199页。

艾福斯·彼得森（2000），《分割的力量》，《科学新闻》，第157（25）期，6月17日出版，第396页至397页。

克利福德·皮科夫（1992），《计算机与想象力》，纽约，威利出版社。

克利福德·皮科夫（1992），《头脑迷宫》，纽约，威利出版社。

克利福德·皮科夫（1995），《开启无限的钥匙》，纽约，威利出版社。

克利福德·皮科夫（2000），《神奇的数字》，纽约，牛津大学出版社。

克利福德·皮科夫（2001），《外星人智商测试》，纽约，多佛出版社。

克利福德·皮科夫（2002），《开动脑筋的日历》，罗那特帕克，加利福尼亚，石榴树出版社。

比约恩·波南和迈克尔·鲁宾斯坦（1998），《正多边形对角线相交点的数量》，《抽象数学》杂志，第11（1）期，第135至156页。

罗伯特·S.塞里（1999至2000），《质数贫乏方程：i = x2– x +c, c为奇数》，《趣味数学》杂志，第30（1）期，第36至40页。

《随机变量的预期值》，动脑股份有限公司。

http://library.thinkquest.org/10030/5rvevoar.htm

《访谈：伊万·多蒂尔博士谈天体生物学》，动脑股份有限公司。

http://library.thinkquest.org/C003763/index.php?page=interview01

查尔斯·特里格（1985），《数学快速问答》，纽约，多佛出版社。

 
封底

克利福德·皮科夫，耶鲁大学博士，已经出版了20余部著作，广受好评内容涉及计算机余创造力、艺术、数学、宇宙黑洞、人类行为与智慧、时间旅行、外形生命、以及科幻小说。皮科夫还是一位多产的发明家，拥有几十项专利。此外，他还担任数本期刊的编辑，创作漂亮的谜题日历，并为儿童及成人读物编写谜语。《洛杉矶时报》不久前写道：“皮科夫几乎每年推出一本新作，他的书拓展了计算机、艺术和思想的疆域。”《在线》杂志的评论是：“布克明斯特·富勒是旧时代的伟大思想者，亚瑟·C.克拉克是新时代的伟大思想者，而克利福德·皮科夫则是后来者居上。”皮科夫创作的电脑绘画被众多流行杂志用作封面，并在电视节目众播出。

   
各界人士对克利福德·皮科夫的评介：

“他的书可以拓宽读者的头脑，我想没有人会对他的书无动于衷。”

——亚瑟A.克拉克

“二分移萨克·阿西莫，一分马丁·加德纳，一分卡尔·萨根，加起来便是克利福德·皮科夫，当今最妙趣横生、最引人深思的作家。”

——麦克尔·谢尔莫，《怀疑论者》主编

“克利福德·皮科夫，一架永不停息的思想机器，当今世界最具创造力、最具独创性的思想者。”

——《趣味数学杂志》

“快跑，用你最快的速度冲进最近的一家书店去买这本书。”

——BYTE网站

“皮科夫启迪勒新一代的达芬奇，鼓励他们去建造未知的飞行器，创作新的蒙娜丽莎。”

——《基督教科学箴言报》

“皮科夫是20世界的列文胡克。”

——OMINI网站

“与我们其他人相比，皮科夫生活的世界似乎不止是三维的。”

——伊恩·斯图亚特，《上帝玩骰子吗？》的作者 

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