爱华网24．如图1，三个质点a、b、c质量分别为、、（>>,>>）。在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比,则它们的周期之比=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
图1
【答案】1：8,14
【解析】根据，得,所以，
在b运动一周的过程中，a运动8周，a、b、c共线了几次，3种解法如下。
解法1：物理情境分析法
在a运动第1周的时间内，b运动了周，如图2，从b到b1位置，圆心角为450，a与b共线2次，1次是a在bc的延长线上，另1次是a在bc之间。
图2
在a运动第2周的时间内，从b1到b2位置，a与b共线1次，这1次是a在bc的延长线上；在a运动第2周到第5周的时间内，b运动了周，到B5位置，a每周与b共线2次；在a运动第6周的时间内，b运动了周，如图2，也是共线1次，这1次是a在bc之间；在a运动第6周到第8周的时间内，b运动了周，到b8位置即初始位置，a每周与b共线2次。所以从图1所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了14次。
解法2：单位圆与简谐振动法
图3
如图3所示，设质点b从b0位置开始以的角速度沿单位圆做匀速圆周运动，那么，它在任意时刻（圆心角为）在bc直径上的投影为，是简谐运动的方程，设a也在这个单位圆上做匀速圆周运动，它的周期是b的，而初相是（我用量角器量了原图即图1中初始位置ca与cb夹角为550），则与a对应的简谐运动的方程是=，设b的周期为T=8,则a的周期为T’=1,所以，，用Excel作出两个图象，如图4：
图4
从图4可以看出，a与b的交点有14个，即从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了14次。
解法3：公式计算法
设从图1所示位置开始，在时间t内a转过的角度为,则；在时间t内b转过的角度为,则。因为，不妨设,则,所以有，，转换为角度为，，要求从图示位置开始，则从图示位置开始计时，因为沿逆时针方向a在b前（笔者按原图用量角器量的），所以应该是+，求在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次，即，将+和代入并整理得：，并且。
为保险起见，我逐次计算，
n=1,,
n=2,,
在a运动的第1周，a、b、c共线了2次；
n=3,,
在a运动的第2周，a、b、c共线了1次；
n=4,,
n=5,,
在a运动的第3周，a、b、c共线了2次；
n=6,,
n=7,,
在a运动的第4周，a、b、c共线了2次；
n=8,,
n=9,,
在a运动的第5周，a、b、c共线了2次；
n=10,,
在a运动的第6周，a、b、c共线了1次；
n=11,,
n=12,,
在a运动的第7周，a、b、c共线了2次；
n=13,,
n=14,,
在a运动的第8周，a、b、c共线了2次；
n=15,,不再计算。
综上，从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了14次。
本题考查万有引力和圆周运动。难度：难。
难在以前的题目从a、b共线开始（见下文），本题开始时刻a、b不共线，要花不少工夫。
进一步研究，a、b、c共线次数是否与初始位置有关，有什么关系？
之前，我们看到过这样的题，初始位置a、b、c在一条线上，如图5：
图5
则根据，将和代入并整理得：，并且。所以，不变。a、b、c共线的时间（时刻）分别是：，，，，，，，，，，，，，。其中在a运动的第1周，a、b、c共线1次（初始位置不计），在a运动的第5周，a、b、c共线1次，其余各周皆2次。所以，从图6所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了14次。
再假设，初始位置a在b后550（逆时针方向），如图6所示，
图6
根据，将-和代入并整理得：，并且。
为保险起见，我逐次计算，
n=0，,
n=1,,
在a运动的第1周，a、b、c共线了2次；
n=2,,
n=3,,
在a运动的第2周，a、b、c共线了2次；
n=4,,
在a运动的第3周，a、b、c共线了1次；
n=5,,
n=6,,
在a运动的第4周，a、b、c共线了2次；
n=7,,
n=8,,
在a运动的第5周，a、b、c共线了2次；
n=9,,
n=10,,
在a运动的第6周，a、b、c共线了2次；
n=11,,
在a运动的第7周，a、b、c共线了1次；
n=12,,
n=13,,
在a运动的第8周，a、b、c共线了2次；
n=14,，不再计算。
综上，从图6所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了14次。
由此可见，a、b、c共线次数与初始位置无关，但在哪两周共线1次，与初始位置有关。
再进一步研究，设轨道半径之比,则它们的周期之比=______；从图1所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
【解析】根据，得,所以。
为方便起见，我们假设初始位置不是如图1而是如图5，即a、b、c在一条直线上。设，则，如果则，代入，并整理得：，b运动1周，即。所以次。a、b、c共线的时间（时刻）分别是（n=1,2,3,……,52）：，，,……,27。其中在a运动的第1周，a、b、c共线1次（初始位置不计），因为当n=1时，，在第1周；n=2时，，已在第2周。在a运动的第14周，a、b、c共线1次，因为当n=25时，，在第13周；n=26时，，在第14周，当n=27时，，已是在第15。其余各周皆2次。所以，从图5所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了52次。因为共线次数与初始位置无关，所以从图1所示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了52次。
由此可见，如果，则在b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为。这是我们得到的又一个规律。
