爱华网放缩法证明与数列和有关的不等式
一．先求和后放缩
例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?
11
，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn? anan?12
解：（1）由已知得4Sn?(an?1)2，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)2，作差得：
22
4an?an?2an?an?1?2an?1，所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正
数数列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得
a1?1，所以an?2n?1
（2）bn?
11111
??(?)，所以 anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
Bn?
111111111(1?????)??? 23352n?12n?122(2n?1)2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件
an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
2
?an?2Sn. 例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an
an2?an?12
(1) 求证：Sn?；
4
(2)
??????
解：（1）在条件中，令n?1，得a12?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1 ，又由条
22?an?2Sn有an件an?1?an?1?2Sn?1，上述两式相减，注意到an?1?Sn?1?Sn得
(an?1?an)(an?1?an?1)?0 ?an?0?an?1?an?0 ∴an?1?an?1
所以， an?1?1?(n?1)?n，Sn?
n(n?1)
2
2
2
n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1
???所以Sn? 2224
（2）因为n?n(n?1)?n?1，所以
n2
?
n(n?1)n?1
?，所以 22
S1?S2??Sn?n2?3n22
Sn?1?12
1?22?3n(n?1)23n?1
???? ?????222222
??
；S1?S2??Sn?
12
?
22
???
n2
?
n(n?1)22
?
Sn2
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n?(?a)n?(a?1)?an；
（2）等比数列{an}中，a1??，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设
a1
bn?n，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．
31?an
2
1
2
解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，a2n?(?a)n?an(an?1)?(a?1)?an． 当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
a2n?(?a)n?an(an?1)?(a2?1)?an?(a?1)(a?1)?an?(a?1)?an．
（2）∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?
1
∴an?(?)n． bn?
2
a91
??． a82
1
n11?(?)n
2
?
11
． ?
4n?(?2)n3?2n
11(1?2)
1111?1(1?1)?1． ∴Bn?b1?b2??bn???????
13?23?22333?2n32n1?2
3．放缩后为差比数列，再求和
n
例4．已知数列{an}满足：a1?1，an?1?(1?n)an(n?1,2,3?)．求证：
2
an?1?an?3?
n?1
2n?1
n
)an，所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，所以an?0，n
2
证明：因为an?1?(1?即an?1?an?
n
即an?1?an．所以数列{an}为递增数列，所以an?a1?1， an?0，n
2nn12n?1
即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．
22222
12n?1112n?1
令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，两式相减得：
2222222
11111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1， 22222222
n?1
故得an?1?an?3?n?1．
2
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数
称为该排列的逆序数. 记排列(n?1)n(n?1)?321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1?1，排列321的逆序数a3?6． （1）求a4、a5，并写出an的表达式； （2）令bn?
ana
?n?1，证明2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,…. an?1an
解（1）由已知得a4?10,a5?15，an?n?(n?1)???2?1?
n(n?1)
. 2
（2）因为bn?
anann?2nn?2
?n?1???2??2,n?1,2,?， an?1ann?2nn?2n
所以b1?b2???bn?2n.
nn?222??2??,n?1,2,?， n?2nnn?2
111111
所以b1?b2???bn?2n?2[(?)?(?)???(?)]
1324nn?2
22
=2n?3???2n?3.
n?1n?2
又因为bn?
综上，2n?b1?b2??bn?2n?3,n?1,2,?. 注：常用放缩的结论：（1）
1111111
???2???(k?2) kk?1k(k?1)kk(k?1)k?1k
（2）．2(
1k
?
1k?1
)?
2k?k?1
?
1k
?
2k?k?1
?2(
1k?1
?
1k
)(k?2)
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论
n2?3n22
、
n(n?1)22
为等差数列求和结果的类型，则
111
把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论(1?n)?为等比
332
数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的
n?1
结论3?n?1为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即
2
22
可；如例5要证明的结论2n?3?为裂项相消求和结果的类型，则把?
n?1n?2
通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．
