爱华网映射；函数
二. 本周教学重、难点：
1. 了解映射的概念，理解函数的概念。
2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
3. 理解函数值域的概念，掌握函数值域的几种求解方法。
【典型例题】
[例1] 设，，
（1）从M到N的映射的个数为 ；
（2）从M到N的映射满足，这样的映射的个数为 。
解：
（1）由分步计数原理和映射的概念，知这样的映射有个。
（2）若，则或；
若，则 若，则
故共有4个不同映射
[例2] 函数，若，则的所有可能值为（ ）
A. 1 B. C. D. 1，
解：，即
当时， ∴
当时，
∴ ∴ 只能取0，此时
∵ ∴
[例3] 规定为不超过的最大整数，例如，对实数，令，，进一步令
（1）若，分别求和；
（2）若同时满足，求的取值范围。
解析：
（1）当时， ∴ ，且
（2）由=1，得
于是 ∴
解得
[例4] 求函数的定义域
解析：由，得
借助于数轴，得函数的定义域为
[例5] 求下列函数的定义域
（1）已知的定义域为，求的定义域
解：∵ 的定义域为 ∴ ∴
∴ 的定义域为
（2）已知的定义域为[3，5]，求的定义域
解：∵ 的定义域为[3，5] ∴
∴ 的定义域为
（3）已知的定义域为，求的定义域
解：∵ 的定义域为 ∴
∴ ∴ 的定义域为 ∴
∴ 由（1）知或
由（2）知或 ∴ 或
∴ 的定义域为
[例6] 求下列函数的值域；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解：
（1）方法一： ∵ ∴
∴ ，即
方法二：由 得
∵ ∴ ，解得
（2）方法一：设，得
∴
∴
方法二：∵ ∴ ∴ 定义域为
∵ 函数在上均单调递增
∴ ∴
（3）方法一：当时，，当且仅当时，取等号；
当时，=，当且仅当时，取等号
综上，所求函数的值域为
方法二：先证此函数的单调性
任取且
∵
∴ 当或时，递增
当或时，递减
故时，
时，
∴ 所求函数的值域为
（4）方法一：利用函数的有界性
将原函数化为
令且
∴
平方得 ∴
∴ 原函数的值域为
方法二：数形结合法或图象法
原函数式可化为
此式可以看作点（2，0）和（）连线的斜率，而点（）的轨迹方程为，如图所示，在坐标系中作出圆和点（2，0）
由图可看出，当过（2，0）的直线与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，由直线与圆的位置关系知识可设直线方程为，即
易得
∴ 原函数的值域为
[例7] 已知椭圆C：（），、是椭圆的左、右焦点，A为椭圆的右顶点，的最大值的取值范围是，其中，P为椭圆上任意一点，求椭圆的离心率的取值范围。
解：设P 点坐标为
由题意知 故①
又P点在椭圆上
∴ ∴
代入①式得
又 ∵ ∴
即的最大值为
又，解得
[例8] 已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值。
解：
（1）由已知得，B（0，）
则 于是 ∴
（2）由得
即 解之，得
由于，则，其中等号当且仅当，即时成立
∴ 的最小值是
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 设集合A={1，2，3}，集合B={}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数共有（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
2. 设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
3. 已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则的解析式是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则等于（ ）
A. B. 1 C. 3 D.
6. 函数的值域为R，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数满足，则的最小值是（ ）
A. B. 6 C. D. 18
8. 已知，则其反函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
二. 解析题：
1. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
2. 函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，均有成立。当时，
（1）当时，求的表达式；
（2）若的最大值为，解关于的不等式
3. 已知，函数
（1）当时，求使成立的的集合；
（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。
4. 已知是正常数，
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数，的最小值，并指出取最小值时的值。
【试题答案】
一.
1. B
解析：由一一映射的定义知，共有个。
2. C
解析：由题意知：对A、B选项中，若，则，对选项D中，故选C。
3. B
解析：排除法，时，定义域为R，排除A、D；时，，定义域为，不为R，排除C。
4. C
解析：设，则 ∴
∴
5. C
解析：∵ ∴
∴
6. C
解析：的值域为R，即的值域，故的最小值，即
7. D
解析：数形结合知表示原点与直线上任意一点距离的平方，故其最小值为。
8. C
解析：由互为反函数的性质，知的定义域即为的值域，由指数函数的单调性易知的值域为
二.
1. 解析：（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价恰降为51元。
由题意，得，得。
故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰为51元。
（2）由题意知，当时，
当时，
当时， ∴ 函数的表达式是
（3）由（2）知当销售商一次订购500个零件和1000个零件时销售单价分别为元和51元，故其利润分别是元和
元。
2. 解析：
（1）当时，
当时，，
当时，，
故当时，的表达式为
（2）∵ 是以2为周期的周期函数，且为偶函数
∴ 的最大值就是当时的最大值
∵ ∴ 在[0，1]上是减函数
∴ ∴
当时，由，得或
得
∵ 是以2为周期的周期函数
∴ 的解集为
3. 方法点拨：去绝对值号，将化为基本初等函数后，再求解。
解析：
（1）由题意
当时，
∴ 或；当时，
∴ 综上，所求解集为
（2）设此最小值为
① 当时，在区间上，
∵ ，
则是区间[1，2]上的增函数 ∴
② 当时，在区间上，
由，知
③ 当时，在区间上，
；若时，在区间（1，2）内
从而为区间[1，2]上的增函数 ∴
若时，则 当时，
∴ 在上函数递增 当时，
∴ 在上函数递减 因此当时，或
当时，，故
当时，，故
综上所述，所求函数的最小值
4. 解析：
（1）证明：应用二元均值不等式，得
故
当且仅当，即时上式取等号
（2）由（1）
当且仅当，即时上式取最小值，即
