爱华网1.(2012·安徽省皖南八校联考)若动点P到定点F(1，－1)的距离与到直线l：x－1＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(D )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：因为定点F(1，－1)在直线l：x－1＝0上，所以轨迹为过F(1，－1)与直线l垂直的一条直线，故选D.
2.(2012·山西省太原五中高三9月)实数变量m，n满足m2＋n2＝1，则坐标(m＋n，mn)表示的点的轨迹是(D )
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线的一部分
解析：设x＝m＋n，y＝mn，
则x2＝(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝1＋2y，
且由于m，n的取值都有限制，
因此变量x的取值也有限制，
所以点(m＋n，n)的轨迹为抛物线的一部分，故选D.
3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是(B )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由条件知|PA|＝|PQ|，
则|PO|＋|PQ|＝|PO|＋|PA|＝R(R＞|OQ|)，
所以点P的轨迹是椭圆，故选B.
4.(2012·甘肃省天水市预测)已知点A(－1,0)和圆x2＋y2＝2上一动点P，动点M满足2＝，则点M的轨迹方程是(C )
A．(x－3)2＋y2＝1B．(x－)2＋y2＝1
C．(x－)2＋y2＝D．x2＋(y－)2＝
解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，
由2＝，则2(－1－x,0－y)＝(x0＋1，y0－0)，
即(－2－2x，－2y)＝(x0＋1，y0)，
所以.
又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
所以x＋y＝2，即(－2x－3)2＋(－2y)2＝2，
化简得(x－)2＋y2＝，故选C.
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0 .
解析：设C(x，y)，
则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．
因为＝λ1＋λ2，所以.
又λ1＋λ2＝1，所以x＋2y－5＝0.
6.(2013·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是x2＋3y2＝1(x>0，y>0).
解析：设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，
由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即a＝x>0，b＝3y>0.
因为点Q与点P关于y轴对称，所以点Q(－x，y)，
故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
即ax＋by＝1.
将a＝x，b＝3y代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
7.(2013·广东高州市模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1 .
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则，即，
代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
8.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知得，解得，所以b2＝7，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．
由已知得＝e2.
而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①
由点P在椭圆C上得y＝，代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
9.(2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)、C2(0，2)，由题意得CC1＝CC2，
可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，
即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.
(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，
而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.
1.抛物线y＝4x2的准线方程为( D )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－ D．y＝－
2.正三角形一个顶点是抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有(C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(C )
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝x
解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为E，D，如图．
因为|BC|＝2|BF|，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.
又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，
即F为AC的中点，所以p＝|EA|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
4.(2013·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为y2＝8x .
解析：由条件知－＝－2，所以p＝4，
故抛物线的方程为y2＝8x.
5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线x2＝ay过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离为.
解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x2＝4y.
由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离：
yA＋＝＋1＝.
6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为y2＝±8x .
解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
7.(2012·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝.
解析：过N作NQ⊥准线于Q，则|NQ|＝|NF|.
因为|NF|＝|MN|，
所以|NQ|＝|MN|，
所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，
所以∠NMF＝∠QNM＝.
8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．
解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px，
因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1，
所以抛物线C的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标为(，0)，
又直线OA的斜率为1，
所以与直线OA垂直的直线的斜率为－1.
所以过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．
解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)证明：设圆心C的坐标为(，y0)，半径为r.
因为圆C在y轴上截得的弦长为4，
所以r2＝4＋()2，
故圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝4＋()2，
整理得(1－)y－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①
对于任意的y0∈R，方程①均成立．
故有，解得.
所以圆C过定点(2,0)．
1.(2013·山东省高考冲刺预测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(B )
A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
解析：m∥l1且n∥l2，m，n?α，l1，l2为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l1，l2为β内两条相交直线，则不一定有m∥l1且n∥l2，故选B.
2.已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：
①α内有无穷多条直线均与平面β平行；
②平面α，β均与平面γ平行；
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；
④平面α，β与直线l所成的角相等．
其中能推出α∥β的是( B )
A．① B．②
C．①和③ D．③和④
解析：①中也存在α，β相交的可能，故不正确；②符合平面平行的传递性，故正确；③中平面α，β，γ可能两两相交，故不正确；④中平面α，β也可能相交，故选B.
3.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是(C )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n
D．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
解析：A中m，n还可能相交、异面，假命题；B中直线n可能在α内，不正确；D中，若m，n都与α，β的交线l平行，满足条件，但α，β可相交，不正确，故选C.
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(A )
A．有无数条 B．有2条
C．有1条 D．不存在
解析：延长D1F交DC的延长线于G，连接EG交BC于H，其反向延长线交DA于R，连接FH，D1R，则平面D1GR即为D1EF平面，由平面ADD1A1与平面BCC1B1平行的性质知FH∥D1R，因为在平面ADD1A1内无数条与D1R平行的直线，所以这无数条直线与平面D1EF都平行，故选A.
5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交.(写出一种可能的情形即可)
解析：可将三个平面视为三条直线，考虑三条直线分平面为几部分来考虑．
6.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m?α，n∥α，则m∥n；
②m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中正确命题的序号有 ④ .
7.考察下列三个命题，请在“________”处添加一个条件，构成真命题(其中l，m为直线，α、β为平面)，则：
①?l∥α；②?l∥α；③?α∥β.
解析：①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l在平面外，均添加l?α；③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a∩b＝A.
8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
证明：如图所示，连接AC.
设AC交BD于O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．
又因为M是PC的中点，所以MO∥PA.
又因为MO?平面BDM，PA?平面BDM，
所以PA∥平面BDM，
平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.
9.(原创)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE?平面EMF，MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又MN?平面MNG，BD?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
