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解析开拓
analytic continuation
把解析函数的定义域扩大的过程。[kg1]设[kg2]和[kg2]为分别定义于平面域[kg1]和[kg1]的解析函数，如果，且|=,则称为的解析开拓。通常有两种解析开拓的方法,一是利用施瓦兹对称原理,一是利用幂级数展开式。对于一个解析函数来说，它的定义域可能完全不能开拓，这时称定义域具有自然边界，有例子说明这点。另一情况是，定义域逐次开拓后已不是平面域，而是覆盖在平面上的多叶域，函数本身是多值函数。据此，K.(T.W.)外尔斯特拉斯用幂级数解析开拓，引入完全解析函数与黎曼曲面的概念。
施瓦兹对称原理是把解析函数定义域作对称扩大的解析开拓法,其基本原理是：设[kg1]的定义域[kg1]在上半平面内，且以实轴上线段为部分边界，在[kg1]+上有定义且连续，在内解析,在上取值平面上实轴的值。[kg1]关于实轴的对称域定义为{:[kg1][kg1]}，则[kg1]可解析开拓为域[kg1]+[kg1]+的解析函数,当[kg1]+时,()=(),当[kg1][kg1]时,[373-01]。如果把原理中的上半平面改为圆,实轴上的[kg1]改为圆周上的弧,改为关于圆周对称的域，利用线性分式变换，可以证这一原理仍成立。
此外，[kg2]在[kg1][kg1]上可以改为取值平面上某圆周上的值。更一般的情况，如果的定义域[kg1][kg1]的边界有一段解析弧，[kg1]在[kg1]+上连续，在[kg1]内解析,在上[kg1]取值在值平面的圆弧或解析弧上,则可证明，可越过进行解析开拓,使开拓后的域包含 在内部。对称开拓法一般应用于多边形域，模函数的构造就是典型的例子。
完全解析函数是外尔斯特拉斯引入的解析函数的概念，它是幂级数定义的解析函数元素经所有可能的解析开拓而成的整体。
函数元素是指具有非零半径的收敛圆的幂级数[373-2][373-02]，称为元素的中心。()是收敛圆内的解析函数。用有序对(,)表示这样的元素。函数(,)称为(,)的直接开拓,[kg1]如果在(,)的收敛圆内，在的邻域内()=()。在平面上给定一弧()，0≤≤1，的起点(0)= ,终点(1)=。元素(,)称为(,)沿弧的解析开拓，如果对每一个,0≤≤1，存在惟一的函数元素((),),使得对每个固定的，0≤≤1，当充分接近时，总是[373-11]的直接开拓，另外=，=[kg1]函数元素沿弧的解析开拓总是惟一的。给定一个函数元素，沿所有可能的平面上弧的解析开拓得到的函数元素的全体,用表示之,称之为完全解析函数。是一个函数元素集,它是一个解析函数,它局部地等于其中每一个函数元素,它是一个多值函数。的定义域一般已不是平面域。这个定义域局部地看是其中函数元素的收敛圆，它是这些收敛圆按对应元素的解析开拓连接而成的，覆盖在平面上的多叶域。按现代黎曼曲面定义，选取收敛圆作为局部参数邻域，作为局部参数，的定义域是一个黎曼曲面,是其上的单值解析函数。通常研究多值解析函数时，要分出它的单值分支。对此要用到所谓单值性定理，其具体的形式是：如果一个函数元素在一个单连通域内，沿所有的弧可以解析开拓，则开拓后得到一个惟一的单值解析函数，它在这单连通域内每点上的值等于函数元素的值。对于来说，应用单值性定理,找出适当的单连通域,便分出对应于其上的单值分支。完全解析函数最简单的例子是[373-03],它的定义域是覆盖在除去0点的平面上的两叶域。按单值性定理,在割去正实轴的平面上，它有两个单值分支，它的定义域即黎曼曲面是由这两叶割裂平面按两个单值分支的解析开拓连接得到。这里[373-03] 的定义域不包含0点与∞点， 因此还要引入解析构形的概念。首先要扩充函数元素的概念。考虑形如[373-04]的级数，式中是正整数，是整数[373-05]。这级数在一个叶圆上收敛，它是一个解析函数。当=1时它就是前面的函数元素，称为正则函数元素，其中0时称为极函数元素；当1时称为代数函数元素,中心称为分支点,它的阶为-1。对于扩
充后的函数元素，同样可以定义直接开拓，及沿平面弧的解析开拓。极元素及代数函数的直接开拓是正则元素。对于扩大的函数元素类，给定一个函数元素，沿平面上所有弧的解析开拓得到函数元素的全体，记之为，称为解析构形。是一个解析函数，它的值局部地由函数元素的值确定。它的定义域是正则元素的收敛圆及代数函数的[kg1][kg2]叶圆经解析开拓连接而成,它是一个黎曼曲面,在这里对于代数函数元素，取对应的[kg1]叶圆作为局部参数邻域，=[kg1]+作为参数映射，作为局部参数。是这黎曼曲面上的单值解析函数。从这一过程中可知，一个完全解析函数附加上所有极元素和代数函数元素后就成为解析构形。上面提到的[373-03],加上0 点及∞点的对应代数函数元素就是一个解析构形的最简单例子，这时它的黎曼曲面成为闭曲面。解析构形的概念大大拓广了解析函数的概念，例如，它使我们能够定义代数函数及代数体函数。它使得一切解析函数都存在反函数，这些函数都是解析构形。
吕以辇
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