爱华网等比数列、数列求和
二. 重点、难点：
1. 理解等比数列的有关概念；掌握等比数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。
2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的方法，求数列的前项和。
【典型例题】
[例1] 在等比数列中，，，求和。
解：因是等比数列，故，结合，可知是方程的两根，解方程，得
故，或
当时，，得
又因为，，故
当，时，得
又因为
综上所述，，公比或
[例2] 已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中，，求
解：设的首项为 ∵ 成等比数列
∴ 得，
∵ ，又
∴
∴
[例3] 设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出，的前10项的和。
解：由为等差数列，为等比数列
∴ ，
由已知，得
∴ ∵ ∴ ∴
由知的公差为
由知
或 ∴ 或
[例4] 设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？（，）
解：方法一：设公比为，项数为，，依题意有
化简得解得
设数列前项和为，则
可见，当时，最大
而，
故的前5项和最大
方法二：接前，于是
∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列，令，得
∴
由于 ∴ 的前5项和最大
[例5] 求数列的前项和：，…
解：设
当时，
当时，
[例6] 在数列中，，又，求数列的前项的和。
解：∵
∴
∴ 数列的前项和
[例7]求
的值。
解：设
①
将①式右边反序得
②
又 ∵
①+②得
∴
[例8] 已知数列满足
，是首项为1，公比为的等比数列。
（1）求的表达式；
（2）如果，求的前项和
解：
（1），当时，
∴
因而
（2）
∴
令①
则②
①－②得
故 又1+3+5+…+
∴
[例9] 已知数列的前项和为，且满足（），。
（1）求证：是等差数列；
（2）求的表达式；
（3）若时，求证：
解：
（1）证明：∵ ∴
（） ∴
又 ∴ 是以2为首项，2为公差的等差数列
（2）由（1）
∴
当时，[或时，]
当时，
∴
（3）证明：由（2）知，
∴
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（ ）
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
2. 若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
3. 已知数列满足，（），则当时，等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在数列中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 化简（）的结果是（ ）
A. B. C. D.
6. 数列的前项和为，则等于（ ）
A. 1003 B. C. 2006 D.
7. 等于（ ）
A.
B.
C.
D. 或
8. 某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二. 解答题：
1. 等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项之和为，且=80，，求：
（1）前100项之和；
（2）通项公式。
2. 已知数列1，，，…，（），求数列的前项和。
3. 已知
（1）当时，求数列的前项和；
（2）求
4. 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：
【试题答案】
一.
1. C
解析：∵ ， ∴ 或（舍）
而
2. A
解析：由等比数列通项公式和前项和公式得
又，
则， 即
3. C
解析：由已知且
得到，，，
由此猜想出
4. D
解析：由，得（），当时，不适合，所以
5. B
解析：∵
∴
6. A
解析：（共1003个）=1003
7. D
解析：原式
8. B
解析：设平均增长率为，则第三年产量为，所以应该有
即 ∴
从而
二.
1. 解：设公比为 ∵
∴ ，则最大项是（∵ ） ①
又②
③
由①②③解得，则
（1）前100项之和
（2）通项公式为
2. 解：由题意可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，设①
②（设置错位）
①－②得（错位相减）
当时，利用等比数列的求和公式，得
∴
当时，
3. 解析：
（1）当时，，这时数列的前项和
+…+ ①
①式两边同乘以，得 ②
①式减去②式，得
若，
若
（2）由（1），当时，
则
当时，
此时，
若，
若，
4. 解析：∵
∴
∴
又 ∴
