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摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词：函数极限
引言
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
主要内容
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:
x2?3x?2lim?1 x?2x?2
证: 由
x2?3x?2x2?4x?4
??
x?2x?2
?
?x?2?2
x?2
?x?2
???0
取?
??
则当0?x?2?? 时,就有
x2?3x?2
x?2
?1?? 由函数极限???定义有: limx2?3x?2x?2x?2
?1 2、利用极限的四则运算性质
若 xlim
?xf(x)?A lim0
x?x
g(x)?B 0
(I)xlim?x?f(x)?g(x)?? xlimf(x)?limg(x)?A?B
?x
x?x0
(II)xlim?x?f(x)?g(x)??0
xlim?xf(x)?lim0
x?x
g(x)?A?B 0
(III)若 B≠0 则：
f(x)limx?xf(x)
0A
xlim?x?? 0g(x)limx?xg(x)B
IV）xlim
?xc?f(x)?c?lim0
x?x
f(x)?cA （c为常数） 0
上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立
（
x2?3x?5
例：求 lim x?2x?4
解: limx2?3x?522?3?2?5x?2x?4
=2?4?5
2 3、约去零因式（此法适用于x?x0时,00
型例: 求x3?x2?16x?20
xlim??2x3?7x2?16x?12
解:原式=3
?3x2?10x?(2x2?6x?20)
xlim???2
x
x
3
?5x2?6x?
?(2x2?10x?12)
(x?2)(x2?3x?10)
xlim??2(x?2)(x2?5x?6)
=(x2?3x?10)
(x?5)(x?2)xlim??2(x2?5x?6)
=xlim??2(x?2)(x?3) =?5
xlim
x??2
x?3
??7 4、通分法（适用于???型）
例: 求 lim(41
x?2
4?x2?2?x
) 解: 原式=lim
4?(2?x)
x?2
(2?x)?(2?x)
=lim(2?x)
x?2
(2?x)(2?x)
=
=limx?2
11
? 2?x4
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足：
（I）xlim?x
f(x)?0 0
(II) g(x)?M (M为正整数)
则：xlim?x
g(x)f(x)?0 0
例: 求 limx?0
x?sin1x
解: 由 limx?0
x?0 而 sin1
x
?1
故 原式 =limx?0
x?sin1
x
?0
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：limf(x)?? 则 lim
1
f(x)
?0 (II) 若:
limf(x)?0
且 f(x)≠0 lim
1
f(x)
?? 例: 求下列极限 ① lim
1x??
x?5 ②lim1
x?1x?1
则
