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二. 教学重、难点：
1. 函数在一点处连续
2. 函数在开区间，闭区间上连续
3. 连续函数的性质
（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。
（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。
【典型例题】
[例1] 求下列极限
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
[例2] 求下列各数列的极限
（1）
（2）
（3）
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
[例3] 已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。
（1）求的通项公式及前项和；
（2）求的值。
解：
（1）由已知得 ∴ 是公比为的等比数列，则
（2）
① 当时，原式
② 当时，原式
③ 当时，原式
[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。
（1）在处；
（2），在处。
解：
（1），但
故函数在处不连续
（2）函数在处有定义，但
，即
故不存在，所以函数在点处不连续。
[例5] 已知函数，试求：
（1）的定义域，并画出的图象；
（2）求，，；
（3）在哪些点处不连续。
解：
（1）当，即时，
当时，不存在
当时，
当时，即或时，
∴
∴ 定义域为（）（），图象如图所示
（2）
∴ 不存在
（3）在及处不连续 ∵ 在处无意义
时，
即不存在 ∴ 在及处不连续
[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。
证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。
时，
∴ 在（0，1）内至少有一个，使
即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。
[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？
解：（且）
任取，则
∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义
∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续
[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。
解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义， 必有，因为，
，所以，所以，若不连续，则且。
[例9] 设
（1）若在处的极限存在，求的值；
（2）若在处连续，求的值。
解：
（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即
（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且
，由（1）知，且，又，所以。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 不存在 C. =1 D. =
2. 的值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 7 D. 0
3. 的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
4. 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若在上处处连续，则常数等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
7. 在点处连续是在点处连续的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 的不连续点是（ ）
A. 无不连续点 B. C. D.
二. 解答题：
1. 求下列极限：
（1） （2） （3）
2. 为常数，1，求。
3. 已知
（1）在处是否连续？说明理由；
（2）讨论在和上的连续性。
【试题答案】
一.
1. B 2. C 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D
二.
1. 解：
（1）
（2）
① 当时， ∴
② 当时， ∴
③ 当时，
（3）
2. 解：∵
∴ ∴ ，
3. 解：
（1）∵ ，则 ∴
∵ ，且 ∴
∵
∴ 不存在 ∴ 在处不连续
（2）∵ ∴ 在上是不连续函数
∵ ∴ 在上是连续函数。
