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［学习目标］
1. 形如的函数叫一次函数，它的定义域是全体实数，如果，一次函数就叫正比例函数。
掌握一次函数及正比例函数的意义，弄清两者之间的关系。
2. 了解一次函数及正比例函数的图象及性质。
（1）正比例函数图象
①过（0，0），（a，ka）a≠0两点的直线
②图象过两个象限，若，则过一、三象限。
若，则过二、四象限。
③增减性：若，则y随x的增大而增大，减小而减小。
若，则y随x的增大而减小，减小而增大。
④k，斜率，衡量直线倾斜程度，是决定解析式的唯一待定系数。
⑤与坐标轴交于一点原点（0，0）。
（2）一次函数图象
①过（0，b），（a，ka+b）a≠0两点的直线。
也是过（0，b），（，0）两点的直线。
②图象过三个象限：
a. 若，则过一，二，三象限；
b. 若，则过一，三，四象限；
c. 若，则过一，二，四象限；
d. 若，则过二，三，四象限。
③增减性
（同正比例函数）
④k 斜率 k，b是待定系数
⑤与坐标轴交于两点（0，b），（，0）。
b叫在y轴上的截距，叫在x轴上的截距。
⑥与两轴围成直角三角形，周长，面积。
3. 图象作法
两点法（两点确定一条直线）。
［学习重点与难点］
一次函数概念、图象、性质是重点，其中性质的掌握与应用是难点。
【典型例题】
例1. 在中，当常数n为何值时，y是x的正比例函数。
解：由正比例函数的定义知：
由②
由①
当时y是x的正比例函数。
例2. 已知，这里p是一个常数，z与x成正比例，且时，时，。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是，求y的取值范围。
解：（1）∵z与x成正比例
∴设z=kx（k≠0为常数）
∴
将分别代入
∴之间的函数关系是。
（2）根据，分别把
代入中，得
∴当时，有。
例3. 已知正比例函数的图象上两点A（），B（），当时，有，那么m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解：∵
∴，
又∵
∴
∴，故选A。
例4. 关于x的方程有两个实数根，设，求y与t的函数关系式及t的取值范围。
解：由方程有两实根知
∴所求函数解析式为。
例5. 一次函数的图象是（ ）
解：选C，用矛盾排除法。
例6. 对于一次函数，如果y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交点在x轴下方，试求m的取值范围。
解：∵一次函数y随x的增大而增大，
∴，
又∵一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴
故所求m的取值范围是。
例7. 已知一次函数，
（1）求其图象与坐标轴围成的图形的面积；
（2）求其图象与坐标轴的两个交点间的线段的长度；
（3）求原点到该图象的垂线段OC的长度。
解：（1）设一次函数与坐标轴交点为A，B
当
∴A点坐标为（3，0）
同理，B（0，4）
（2）由勾股定理
（3）设原点到该图象的垂线段长度|OC|，则
即
∴。
例8. 在一次函数中，当常数a为何值时，y随x增大而减小，且与y轴交点的纵坐标为－1？
解：由题意，
∴
∴当时，y随x增大而减小，且与y轴交点的纵坐标为－1。
例9. 已知点A（6，0），点P（x，y）在第一象限，且，设△OPA的面积为S。
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）求S=12时，P点坐标；
（4）作函数图象。
解：（1）过P作PB⊥x轴，垂足为B，由点P在第一象限可知PB=y，（如图1）
图1
∴
又
代入有
即：为所求。
（2）其中由在第一象限可知
（3）当S=12时，，
∴P点坐标（4，4）
（4）函数图象为一条不包括两端点的线段，其中端点（0，24），（8，0）。（如图2）
图2
例10. 已知直线在y轴上截距－2，且y随x的增大而减小，求m的值。
解：由题
【模拟试题】（答题时间：100分钟）
一、选择题
1. 已知一次函数的图象经一、二、三象限，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 当一次函数取不同k值时可以得到不同的直线，这些直线必（ ）
A. 相交于一个定点
B. 互相平行
C. 有无数个交点
D. 以上答案均不对
3. 如图，已知一次函数的图象经一、三、四象限，则有（ ）
A. B.
C. D.
4. 直角坐标系中，若直线与直线相交于x轴，则直线不经过的象限为（ ）
A. 第四象限 B. 第二象限
C. 第一象限 D. 第三象限
二、填空
5. 当m=____________时，函数是正比例函数，且图象在一、三象限。
6. 若正比例函数的函数值随x的增大而减小，则相应的一次函数经过____________象限。
7. 某商店进了一批货，每件2元，出售时每件加利润5角，如果售出x件，应收入货款y元，那么y与x的函数关系是____________。
三、解答题：
8. 如果正比例函数和一次函数的图象相交于点M（3，4），如图，并且正比例函数和一次函数图象与y轴围成三角形的面积等于，求这两个函数的解析式。
9. 直线沿y轴平移后通过点（－1，3）
（1）求平移后直线在y轴上的截距；
（2）直线沿y轴平移了几个单位；
[期中模拟试题]
一、选择题（共32分，1—10题每小题2分，11—14题每小题3分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. B.
C. 5、2、3 D.
2. 方程的根是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一元二次方程的两根为等于（ ）
4. 分式方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
5. 点P（1，－2）关于x轴的对称点P的坐标是（ ）
A. （1，2） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （－1，－2）
6. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 一次函数的图象如图1所示，则（ ）
图1
A. B.
C. D.
8. 在△ABC中，∠C=90°，AB＝7，BC＝5，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 在△ABC中，∠C是直角，如果，那么cosB值是（ ）
A. B. C. D.
10. 若，则下面各式正确的表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么（ ）
A. B.
C. D.
12. 小明沿坡度是1：2.4的斜坡前进26米，则他升高（ ）
A. 10米 B. 5米 C. 13米 D. 2.4米
13. 如果时，下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 已知等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共18分，每小题3分）
1. 用换元法解方程：若设，则所得关于y的一元二次方程为______________________。
2. 函数的自变量的取值范围是______________________。
3. 在△ABC中，则∠B＝___________。
4. 方程的解是______________________。
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a：b＝2：3，则sinB＝___________。
6. 如图，两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图2所示：
图2
则在这次赛跑中甲、乙的平均速度分别为______________________米/秒。
三、（本题共24分，每小题6分）
1. 解方程：
2. 解方程组：
3. 计算：
4. 已知：在△ABC中，∠C=45°，∠B=120°，AB=4，求AC长。
四、（本题6分）
已知一次函数与正比例函数交于点P（），求m及b。
五、（本题共10分，每小题5分）
1. 如图3，某直升飞机于空中A处观测到地面控制点C的俯角是30°；若飞机航向不变继续向前飞行2千米至B处，观测到控制点C的俯角是45°，问飞机沿此方向再向前飞行多少千米与地面控制点C的距离最近？（结果保留根号）
图3
2. 列方程或方程组解应用题：
某商场今年一月份销售额是80万元，二月份销售额下降20%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，四月份销售额已达100万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率是多少？
六、（本题6分）
已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A（m，0）和B（0，n）两点且m，n是方程的两根，
（1）求一次函数的解析式。
（2）求直线与x轴正向夹角的正切。并判断此值与一次函数的解析式是否有关，若有关，试说出得到的结论。
七、
已知：△ABC中，∠C=90°，关于x的方程的两个实数根，求m的值。
【试题答案】
一、选择题：
1. B 2. A 3. C 4. D
二、填空题：
5. 3 6. 二、三、四 7.
三、解答题：
8. 设正比例函数为，一次函数
∵两函数都经过M（3，4）
∴
又∵
故这两个函数解析式为
或
9. （1）设平移后直线的函数的解析式为：
∵它与平行
∴，又直线过点（－1，3），
于是
，
所以所求直线为，截距为6。
（2）由，得直线沿y轴向上平移了8个单位。
[期中模拟试题答案]
一、选择题（共32分，1—10题每小题2分，11—14题每小题3分）
1. B 2. D 3. A 4. B 5. A
6. D 7. D 8. A 9. A 10. C
11. D 12. A 13. D 14. D
二、填空题（共18分，每小题3分）
1.
2.
3. 60°
4.
5.
6. 米/秒 8米/秒
三、（本题共24分，每小题6分）
1. 解：设则
即
当
即：
当
即：
经检验：均为原方程的根。
所以原方程的根是：
2. 解：
由①得 ③，把③代入②
把
把
所以原方程组的根是
3. 解：原式
4. 解：延长CB到D，过点A作AD⊥CD交CB延长线于D，在Rt△ABD中
∵∠ABC=120°，∠CBD=180°，
∴
在Rt△ACD中
四、（本题6分）
解：（1）由题意
五、（本题共10分，每小题5分）
解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
在Rt△CBD中
在Rt△ADC中
答：飞机再飞行（）千米离控制点C最近。
2. 解：设三、四月平均月增长率为x
答：三、四月平均月增长率为25%
六、（本题6分）
解：（1）令x=0，则y=b
综①②所述，一次函数的解析式
（2）①若一次函数为，则A（2，0），B（0，－4）
设所求角为α
②
所以一次函数与x轴正向所交锐角的正切值为该一次函数的一次项系数k。
七、解：由题意
【励志故事】
永远做一个勤奋的人
在美国，有一个人在一年之中的每一天里，几乎都做着同一件事：天刚放亮，就伏在打字机前开始一天的写作。这个男人名叫斯蒂芬·金，是国际上著名的小说大师。
斯蒂芬·金的经历十分坎坷，他曾经潦倒得连电话费都交不出，电话公司因此而掐断了他的电话线。后来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，整天稿约不断，常常是一部小说还在他的大脑中储存着，出版社高额的定金就支付给了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奋的创作中度过的。
斯蒂芬·金的秘诀很简单，只有两个字：勤奋。一年之中，他只有三天时间是例外的，不写作。这三天是：生日，圣诞节，美国独立日（国庆节）。勤奋给他带来的好处是，永不枯竭的灵感。学术大师季羡林老先生曾经说过：“勤奋出灵感。”
