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进数域
-adic number field
又称局部数域，它是数域关于 进绝对值的完备化。进数域的研究和代数数论的局部化方法,均始于K.亨泽尔1902年的工作。
设 是一个固定的素数，于是每个非零的有理整数均可惟一地表成 进位形式,即[500-01][500-1][500-3]。如果定义[500-03]，而对每个非零有理数/(、[kg1][kg1],≠0),定义[500-04]。函数[500-4]称为 的 进绝对值，它具有如下的性质：||=0，当且仅当=0；[500-05]，由此可知,[500-4]是 的非阿基米德绝对值,从而 关于由[500-4]给出的拓扑，是一个豪斯多夫拓扑空间，但不是完备的。它的完备化就是[kg1]进数域，并记为中每个非零元素均可惟一表成[500-6][500-7] ，称之为 进数，而当≥0时，称之为 进整数。全体 进整数形成环，称为[kg1]进整数环,记作，即[500-08]。环有比较简单的代数结构，例如， 有惟一的素理想＝[500-09],它也是的惟一极大理想,而且()= (=0,1,2,…)构成环的全部非零理想，从而是主理想环，并且商环[500-32][500-33] 。特别地，/是[kg1]元域。关于[500-4]也有比较简单的拓扑结构：是完备的，每个理想[500-29][500-30]均是中又开又闭的加法子群,并且它们形成0的基本邻域组，从而是全不连通的拓扑空间。因此，在研究上的数论问题时较之于上有许多更好的工具。
设是任意代数数域，为它的整数环中任一素理想。对每个非零元素[500-39],均有惟一的[kg1][kg1]，使得[500-34][500-35]。定义[500-36]，式中()=｜/｜(有限域/的阶数),而[500-14]。于是函数｜｜也具有上述三性质。由此可知,｜｜是 的一个非阿基米德绝对值，从而 关于｜｜也是豪斯多夫拓扑空间,但不是完备的。它的完备化称为进数域（或局部数域）,记作。中存在着()-1个不同的()-1次单位根。令 是这些单位根和0 组成的集合，若取任意一个元素 [kg1][kg1]，使得[500-15]（可取-中任一元素为）,则中每个元素均可惟一表示成[500-16]当≥0时,称为中的整数，中全体整数形成环,称为的整数环，于是[500-17]。有惟一的素理想[500-18],它也是的惟一极大理想，并且(=0,1,2,…)构成的全部非零理想，从而也是主理想环。/是()元有限域,称为的剩余类域,而[kg1]是此()元域在中的一个完全代表系,称为维特乘性代表系，[kg1]称为域的一个素元。每个域也像那样有比较简单的代数结构和拓扑结构。
局部数域的有限次扩张仍是局部数域，于是有局部数域扩张的理论。局部数域有较简单的代数结构和拓扑结构，而使得局部数域扩张理论较之于代数数域扩张理论要简单[kg1]设/是局部数域的扩张,和分别是它们的整数环,和分别是和的惟一的极大理想,于是在中生成的理想只能有形式,称为扩张/的分歧指数另一方面,剩余类域[500-37],和[500-20]均是有限域,而且前者是后者的子域,其扩张次数[500-21]称为扩张/[kg1]的剩余次数, 并有=[:]。每个局部数域扩张/ 均有中间域，使得/是次不分歧扩张，而/是 次完全分歧扩张。此外，局部数域也有判别式，差积等概念和希尔伯特分歧理论，与代数数域扩张的情形很类似，但是要简单得多。
假设/是代数数域扩张,[kg1]那么中每个素理想在中有惟一的素因子分解式 ＝[500-22]，其中,,…是中不同的素理想。令和分别为对于扩张/ 的分歧指数和剩余次数，则 [500-23][:]另一方面,局部数域是的扩域,并且[500-28]的分歧指数和剩余次数恰好是和,因此,在中的分解情况可由诸局部数域扩张[500-24]中的信息得到。此外，还有[:]＝[500-23][500-25],意即整体扩张次数是局部扩张诸次数之和。类似地还有/ 的判别式是全体局部扩张判别式的乘积,等等。总之,局部数域扩张理论对于代数数域扩张理论这个代数数论的最基本课题的价值在于数域扩张/ 的许多性质以某种方式是所有局部数域扩张/中类似性质的总和,这也是研究进数域的主要意义。
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924年H.哈塞将这种思想成功地运用于二次型的研究之中。例如,设 为代数数域，[500-27]是域上的二次型（即[500-38]）。H.哈塞证明了，对于每个元素[500-39]，方程[500-40]在 中有解的充分必要条件是此方程在每个局部数域（过的全部素理想，包括所谓“无限”素理想）中均有解。由于方程在中的可解性有良好的判别法，将所有的这些判别法汇集在一起，就得到代数数域中多元二次方程可解性的完整而切实可行的判别法。由于H.哈塞在二次型和其他问题上做了许多这类工作，后人就把体现这种思想的数学命题称为哈塞的局部－整体原则。
采用局部化方法（赋值论和Adle、Idle语言）能够统一处理代数数域和以有限域为常数域的代数函数域。A.韦伊于1967年写的《基础数论》一书是这种方法的集中反映，对现代数论的发展有重要影响。
冯克勤
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