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二次域
quadratic field
有理数域的二次扩域每个二次域都可表示成[175-1][175-111]其中 不等于1是无平方因子的有理整数，按照>0和为实二次域和虚二次域。
二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有如下较简单的数学结构和特性：
① 的（代数）整数环为=[]，即中每个（代数）整数均可写成+，其中、[kg2][kg2],而[175-2]（当≡2，3(mod4)时）,[175-3]（当≡1(mod4)时）。由此可知，的判别式分别为()=4和()=。
② 每个有理素数在二次域 中的分解规律为：对于3时，若｜()，则是 O中一个素理想的平方（即在中分歧）；若(),当[175-4]，则为中两个不同素理想的乘积(即在中分裂)；当[175-5]-1，则在中仍生成素理想(即在中惯性)对于素数=2，若 2｜()，则 2在中分歧；若2(),则必然≡1(mod4)。当≡1(mod8)时，2在中分裂；当≡5(mod8)时，2在中惯性。
③ 二次域 的单位根群记为W。当[175-7]时，[175-8]；当 [175-9]时,W={±1，± ，±},[175-10]。而对于所有其他的二次域，则W={±1}。
④ 二次域的单位群 U，指的是整数环 中乘法可逆元全体。当 为虚二次域时,=W，而对于实二次域 ，存在一个单位 >1（称为 的基本单位），使得[175-11]
⑤ 二次域 [175-12]的（理想）类数也有简单的表达式：当-5时，[175-13]（对于=-1和-3，熟知=1）；当>0时，
[175-14]式中＝｜()｜;为基本单位；ln表自然对数；是模（惟一的）实本原特征。
1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。
二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想:①只有有限多个类数为1的虚二次域;②存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想,1934年，H.海布雷恩证明了当()→[8h]时,→[8h]。1935年C.L.西格尔进一步证明了[175-15]。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域[175-16]只有9个：=1，2，3,7,11,19,43,67,163。至于第二个猜想,则至今仍未解决。
参考书目
D. B. Zagier, Zetaunktionen und Quadratische Krper, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
冯克勤
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