爱华网不等式（二）
【典型例题】
[例1] 已知，且，试证
证：由
则即
又由
则
因此
法（1）充分利用已知条件
使要证不等式等价于
（2）比较法是证不等式的常用方法之一，本题还可用基本不等式法
[例2] 已知，则 。
答案：
证明： 得证。
[例3] 已知则 。
答案：
证明：
[例4] 若是不全相等的正数，求证：
证：由
则
又由为不全相等的正数，故有
则
即
[例5] 若为正数，求证：
证：由为正数，则
，
故
所以
[例6] 已知，求证：
证：原不等式
此式成立原不等式得证
[例7] 若，求证：
证：要证
即
由，上式
由题设条件，显然有成立，故原不等式成立
[例8] 已知且，求的最小值。
解：
又由，则
故上式
当且仅当时，上式最小值为9
[例9] 已知，且，求的最小值。
解：
由
当时，最小值为
[例10] 求证：（）
证明：当时，由
则
…
以上各式相加，得
[例12] 求证：
证：左2
即左
推广：一般地
证：左2
故
[例12] 设均为正数，求证：
证：由，i
左
[例13] 设，且，求证：
分析：原不等式，设辅助函数（）
即证（辅助函数法）
证明：设
由
又，则
即，同理
于是，，故
即
[例14] 已知，，且，求证：
证：由
所以是方程的两根，又，知此方程有两个大于的实根，故
解得
[例15] 已知（），求证：
证：构造函数，设
由
又，则
由已知，当时，则，利用开口向上的二次函数的图象性质可知的图象必与轴相交，因而
当时，由，则，利用开口向下二次函数性质，则
综上，
[例16] 设，且，，求证：中必有一个大于
证明：依题意中必有两负一正，不妨设
由条件
则为方程的两负实根
故
[例17] 已知，且，，求的范围
解：
令
由
即
【模拟试题】
1. 已知，则不等式和同时成立的充要条件是 。
2. 若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C.（1，4） D.（）
3. 已知，且，，求的取值范围。
4. 若，，满足下列条件（ ）则
A. B.
C. D.
5. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则下列关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 以下命题，其中真命题个数是（ ）
① 若，，则
② 若，则
③ 若则
④ 若，则
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若为正数，求证：
9. 若是不全相等的正数，求证：
10. 数列由下列条件确定：，且，，证明：对，总有。
11. 已知，求证：。
12. 求证：。
13. 已知，求证：。
14. 设均为正数，求证：。
【试题答案】
1.
解析：
2. D
解析：由
3. 解析：，由已知，有
，
错解：
①
②
由①+②得
4. D
5. A
解析：利用指数图象
6. B
解析：
7. C
8. 证：由为正数，则
故
所以
9. 证：由
则，
又由为不全相等的正数，故有
则
即
10. 分析：由，首先想要证明当时，有
证明：当时，由
则
11. 证：原不等式
而
（∵ ）
则原不等式
此式为已知，得证。
12. 证明：（1）当时，不等式显然成立
（2）当时，左
（由）
13. 证法1：由，
而
（由）
故
所以原不等式成立
证法2：设
则
证法3：如图，设圆
直线：，，则点P到的距离
证法4：利用不等式
14. 证明：原不等式
（*）
为证（*）式，只要证：若为正数时，有，即可，事实上
从而（*）获证，故原不等式成立
证法2：（添项用均值不等式）
……
以上个不等式相加即得证。
