爱华网（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当a=1时，用定义证明函数在[﹣1，1]上是增函数；
（3）求函数在，[﹣1，1]上的最值．题型：解答题难度：中档来源：月考题
证明：（1）由题意，函数f（x）的定义域为R，
对任意x∈R都有f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
故f（x）在R上为奇函数；
（2）任取﹣1≤x1＜x2≤1则f（x1）﹣f（x2）=
∵﹣1≤x1＜x2≤1，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在[﹣1，1]上为增函数；
（3）由（1）（2）可知：
①当a＞0时，f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
故f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=，最小值为f（﹣1）=﹣，
②当a＜0时，f（x）在[﹣1，1]上为减函数，
故f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=﹣，最小值为f（1）=，
考点：
考点名称：函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a,b均不为零，若：
（1）函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|
（2）函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|
（3）函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|
（4）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|2a|
（5）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|4a|
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值/* Generator: eWebEditor */p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}/* Generator: eWebEditor */p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
