爱华网一. 教学内容：
基本初等函数
指数的概念与运算，指数函数，对数的概念与运算，对数函数，幂函数的概念和性质，基本初等函数的应用。
二. 教学重点
幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及其应用
三. 高考要求
1. 指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解有理指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2. 对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3. 知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。
4. （通过实例）了解幂函数的概念；结合函数 的图象，了解它们的变化情况。
5. （利用计算工具，比较）了解指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异；（结合实例）体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
【教学过程】
一、基本知识回顾及应用举例
1. 指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，，
1）当为奇数时，次方根记作；
2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。
②性质：1）；2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，。
（2）幂的有关概念 （ ）
①规定：1）
3）；（4）、N* 且。
②性质：1）、Q）；
2）、Q）；
3）Q）。
（注）上述性质对r、R均适用。
（3）对数的概念
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，记作；
2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；
3）；4）对数恒等式：。
③运算性质：如果则
1）；
2）；
3）R）。
④换底公式：
1）；2）。
2. 指数函数、对数函数、幂函数
（1）指数函数：
①定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数称对数函数，
1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4）对数函数与指数函数互为反函数。
②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：
（3）幂函数
y=xa（a为常数）是幂函数. 它在第一象限内的情况分为a＞1，0＜a＜1；a＜0三种情况，其中a＞0时，y=xa，在（0，+∞）内为增函数；a＜0时，y=xa，在（0，+∞）内为减函数。
a
【典型例题】
例1. （1）计算：；
（2）化简：。
解：（1）原式=
；
（2）原式=
。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般地进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2. 已知，求的值。
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
例3. 计算
（1）；（2）；
（3）。
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。
例4. （1）.若logx=z，则x、y、z之间满足
A. y7=xz B. y=x7z C.y=7xz D.y=zx
解：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.
答案：B
（2）（2006辽宁 文13）方程的解为 。
解：考查对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。
点评：关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数式的普通等式或方程的形式，再来求解。
例5. 下列函数中值域为正实数的是
A. y=－5x B.y=（）1－xI C.y= D.y=
解：∵y=（）x的值域是正实数，而1－x∈R，∴y=（）1－x的值域是正实数.
答案：B
例6. 已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.
解：由0≤log（3－x）≤1
log1≤log（3－x）≤log
≤3－x≤12≤x≤.
答案：［2，］
例7.（1）（2004年湖北，文5）若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有
A. 0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0
C. 0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0
解：作函数y=ax+b－1的图象.
答案：C
（2）（2004年全国Ⅱ，理6）函数y=－ex的图象
A. 与y=ex的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称
C.与y=e－x的图象关于y轴对称 D.与y=e－x的图象关于坐标原点对称
解：图象法.
答案：D
例8. 函数y=（）的递增区间是___________.
解：∵y=（）x在（－∞，+∞）上是减函数，
而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1的递减区间是（－∞，1），∴原函数的递增区间是（－∞，1）.
答案：（－∞，1）
例9. （1） 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是
A. a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C. 1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.
解法一：当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.
解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，
∴b＜a＜1＜d＜c.
答案：B
（2）已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为
A. B. C. D.
解：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，
∴f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.
答案：D
例10. 已知函数为常数）
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。
（3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。
解：（1）由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定义域是。
（2）若a=2，则
设， 则
故f(x)为增函数。
（3）设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞)。
点评：该题属于纯粹的研究复合对数函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。
【模拟试题】
1. 下列各式中成立的一项是（ ）
A. B.
C. D.
2. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
3. 设指数函数，则下列等式中不正确的是 （ ）
A. f(x+y)=f(x)·f(y) B.
C. D.
4. 若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 （ ）
A. B. C. D.
5. 当时，函数和的图象只可能是（ ）
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D. R
7. 函数，满足的的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数（为常数），若时，恒成立，则
A. B. C. D.
10. 若，当时，的大小关系为
A. B. C. D.
11. （04年全国卷一.文2）已知函数
A. B. － C. 2 D. －2
12. 设（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
13. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）
A. m≤－1 B. －1≤m<0 C. m≥1 D. 0<m≤1
14. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
15. （2006湖北）设f(x)＝，则的定义域为（ ）
A. B. (－4,－1)(1，4)
C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)
16. 已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 .
17. 当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .
18. 已知－1<a<0，则三个数由小到大的顺序是
19. 求的定义域
【试题答案】
1~5 DCDDA 6~10 ADDAB 11. B
12. 解：C；，。
13. 解：，
画图象可知－1≤m<0。
答案为B。
14. D
15. B.
14与15提示：求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。
16. (0,1)； 17．(2，－2)； 18．；
19. 当；当
