爱华网同学们，大家好！这一讲我们主要来研究一下“列方程求面积”这方面的问题，也就是研究如何利用列简易方程求面积。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 图1中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积（单位：厘米）
分析与解答：因为三角形AEF的底和高很难求出，所以用三角形面积公式求三角形AEF的面积是很困难的。
但是，三角形ABE、AFD和四边形AECF面积相等，也就是说它们三个把这个长方形的面积平均分成了三份。因为长方形的面积是平方厘米，所以它们三个的面积都是平方厘米。
我们只要从四边形AECF中减去三角形ECF的面积，就可以求出三角形AEF的面积了。
而三角形ECF的面积，需要利用EC、CF的长来求。要想求EC、CF的长，就要知道BE和DF的长。
我们利用现有条件可以求出BE和DF的长度。
解：设BE长为厘米，DF长厘米。
所以厘米
厘米
那么，三角形ECF的面积就是平方厘米
三角形AEF的面积就是平方厘米
例2. 如图2所示，四个一样的长方形和一个小正方形，拼成一个面积为49平方米的大正方形，小正方形的面积是4平方米，问长方形的短边长是几米？
图2
分析与解答：因为大正方形和小正方形的面积分别是49和4平方米，所以我们可以很快想出大正方形和小正方形的边长分别是7米和2米。从图中可以看出：大正方形的边长是2个长方形短边与一条小正方形边长的和。
解：设长方形短边长米。
答：长方形的短边长2.5米。
例3. 图3中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，求三角形ABD的面积。
图3
分析与解答：要想求三角形ABD的面积，就要知道它的底和高分别是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD长5厘米，高就是梯形的高。现在已知梯形的上底和下底以及面积，可以求出梯形的高，也就是三角形ABD的高。
解：设梯形ABCD的高是x厘米。
所以的面积是：（平方厘米）
答：的面积是10平方厘米。
二. 尝试体验：
1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。
2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。
3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。
4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。
5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。
6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。
参考答案：
1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。
9平方厘米
2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。
12平方厘米
3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。
180平方厘米
4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。
70平方厘米
5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。
1
6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。
10平方厘米
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1、如下图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，已知A的面积是，B的面积是，C的面积是，试问原矩形的面积是多少？
2、在图中，圆面积与长方形面积正好相等，问图中阴影部分的周长是多少？
【试题答案】
1、［解答］
解法一：按照上图的方式在矩形A、B、C的边上标注字母，于是原矩形的面积等于
因为矩形A的面积是
所以
所以原矩形的面积为
解法二：仔细观察上图的特征，它的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横的方向看，两个相邻矩形的倍比关系是一致的，也就是说，B是A的2倍，那么D也应是C的2倍，所以D的面积是，这样原矩形的面积应是。
答：原矩形的面积是。
［点津］
上面两个解法都很巧妙，解法一是运用字母表示边长，充分利用原来大矩形与小矩形A的关系，顺利获解；解法二是根据矩形面积计算公式，抓住这一条规律：“图形中两相邻矩形面积的倍比关系，与另两个相邻面积的倍比关系是一致的”，求出D的面积。解法二是横向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系，我们从纵向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系：C是A的3倍，所以D也应是B的3倍，即D的面积是，得到相同结果。
2、［思路剖析］
（1）设圆的半径为r，长方形的长为a，从图中可以看出，阴影部分的周长为（圆周长）
因此现在的关键是求a。
（2）由于长方形面积＝长×宽，圆的面积。
而长方形的宽恰好是圆的半径r，于是据已知条件有
所以，即：a是圆周长的一半。
由（1）、（2）两步分析便可求出阴影部分的周长。
［解答］
设圆半径为r，长方形的长为a，因为圆面积＝长方形面积
所以 解出
得（圆周长）
于是 阴影部分周长
答：图中阴影部分的周长是。
…
