爱华网专题六 三角函数的图象和性质
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )． [来源:学科网ZXXK]
A．－ B．－ C. D.
答案：B [由题意知，tan θ＝2，cos2θ＝＝＝－.]
2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )．
A．[－2,2] B. C．[－1,1] D.
答案：B [因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝·＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]．]
3．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )．
A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增
答案：A [f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin.
由最小正周期为π得，ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可知φ＝，所以f(x)＝cos 2x在单调递减．]
4．当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.
解析 y＝sinx－cos x＝2＝2sin的最大值为2，又0≤x＜2π，故当x－＝，即x＝时，y取得最大值．
答案
1．对三角函数图象的考查主要表现在以下三个方面：(1)利用“五点法”作出图象；(2)图象变换；(3)由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解析式．
2．三角函数的性质是高考的一个重点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题．常通过三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)．
3．三角函数的图象和性质经常与向量综合进行考查．
由于本部分高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：
(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
(2)抓住考查的主要题型进行训练，根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值.
必备知识
同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．
五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的简图：五点取法是设X＝ωx＋φ，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A＞0，ω＞0)最大值是A＋B，最小值是B－A，周期是T＝，频率是f＝，相位是ωx＋φ，初相是φ；其图象的对称轴是直线ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，凡是该图象与直线y＝B的交点都是该图象的对称中心．
由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．
三角函数的性质
三角函数的单调区间：y＝sin x 递增区间是
(k∈Z)，
递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的递增区间是(k∈Z)，
递减区间是(k∈Z)；
y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．
必备方法
1．三角函数中常用的转化思想及方法技巧：
(1)方程思想：sin α＋cos α，sinα－cos α，sinαcos α三者中，知一可求二；
(2)“1”的替换：sin2α＋cos2α＝1；
(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的问题：
(1)“五点法”画图：分别令ωx＋φ＝0、、π、、2π，求出五个特殊点；
(2)给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求函数表达式时，比较难求的是φ，一般从“五点法”中取靠y轴较近的已知点代入突破；
(3)求对称轴方程：令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求对称中心：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．
基本关系的应用
常考查利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行化简、求值．主要以小题形式考查，在综合性问题第(1)问中也经常涉及到三角函数的化简、求值，多为基础问题．
【例1】若tan(π－α)＝－，则的值为( )．
A．－ B. C. D．－
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 先求tan α，再将所求三角函数式分子分母同除cosα化成切的式子．
C [由tan(π－α)＝－得，tan α＝，＝＝＝＝.]
在三角函数求值类试题中，一般是先化简题目的已知条件或是目标式，把已知和求解之间的关系明朗化后，再选择解决问题的方法．
【突破训练1】 如图，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为.
求的值．
解 由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2×2＝.
象及解析式
常考查：①利用已给三角函数的图象特点，求三角函数解析式；②函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．考查学生三角函数基础知识的掌握情况．
【例2】已知
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)的图象的一部分如图所示．则函数f(x)的解析式为________．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 观察图象，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ.
解析 由图象知A＝2，＝2?T＝8＝，
所以ω＝，得f(x)＝2sin.
由对应点得当x＝1时，×1＋φ＝?φ＝.
所以f(x)＝2sin.
答案 f(x)＝2sin
将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．
【突破训练2】函
数f(x)＝sin (ωx＋φ)，(其中|φ|＜)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f(x)的图象( )．
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
答案：A [由图象可知，＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π.
得φ＝，所以f(x)＝sin，
故只需将f(x)＝sin2向右平移个单位，
得到g(x)＝sin2x.]
三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角恒等变换的方法与技巧的同时，又考查了三角函数的性质，难度中低档．
【例3】已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 对于第(1)问的求解主要是根据函数性质和三角函数的定义进行合一化简求最小正周期；对于第(2)问的求解则要对三角函数在定义域内求值域．
解 (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cosωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
由0≤x≤，得－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．
在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性的问题时，通常是将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式，即y＝Asin(ωx＋φ)＋m，其中A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π)，若给定区间x∈[a，b]，则最大(小)值、单调区间随之确定；若定义域关于原点对称，且φ＝kπ(k∈Z)，m＝0，则y＝Asin(ωx＋φ)＋m是奇函数；若定义域关于原点对称，且φ＝kπ＋(k∈Z)，m＝0，则y＝Asin(ωx＋φ)＋m是偶函数；其周期为T＝.
【突破训练3】 已知f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．
(1)若x∈R，求f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求实数a的值．
解 因f(x)＝2cos2 x＋sin 2x＋a
＝cos 2x＋1＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)若x∈，≤2x＋≤，
∴当x＝时，f(x)取得最大值a＋3.
则由条件有a＋3＝4，得a＝1.
三角函数图象与性质是三角函数的综合交汇点，是高考命题的重点，主要考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等，近几年关于三角函数综合应用的高考题不断求新求异，但考查的知识方法不变，首先是化简所给式子，然后结合三角函数的性质求解相关问题．
【例4】?已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其图象过点，.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
解 (1)∵f(x)＝sin 2xsinφ＋cos2xcosφ－sin
(0<φ<π)，[来源:Zxxk.Com]
∴f(x)＝sin 2xsinφ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsinφ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsinφ＋cos2xcos φ)
＝cos(2x－φ)，
又函数图象过点，
∴＝cos，
即cos＝1，
又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos，
因为x∈，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈，故－≤cos≤1.
所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
(1)形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数通过引入辅助角化为y＝sin(ωx＋φ)的形式．
(2)求三角函数式最值的方法
①将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．
②将三角函数式化为关于sinx，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．[来源:学科网ZXXK]
【突破训练4】 若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6.
(1)求常数m的值；[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(2)作函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)的图象，再把f1(x)的图象向右平移个单位长度得f2(x)的图象，求函数f2(x)的单调递减区间．
解 (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＋m[来源:学科网ZXXK]
＝2sin＋1＋m，
由于x∈，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.
所以m≤f(x)≤3＋m，所以3＋m＝6，所以m＝3.
(2)由(1)得f(x)＝2sin＋4，
f1(x)＝2sin＋4，
f2(x)＝2sin＋4
＝－2sin＋4.
由－＋2kπ≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，
得f2(x)的单调递减区间是，k∈Z.
三角函数标准式的应用
利用辅助角公式化已知三角函数式为“标准式”，是历年高考的热点，三角函数标准式在求三角函数性质(如单调性、最值等)时有着重要作用．化简时常常要结合三角恒等变换知识，这是解决三角函数问题的基础，因此，要牢固掌握这一解题技巧．
【示例】设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．
[满分解答] (1)f(x)＝4sin ωx＋cos2ωx＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx
＝sin 2ωx＋1，(4分)
因为－1≤sin 2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．(6分)
(2)因y＝sin x在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin 2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．(8分)
依题意知?对某个k∈Z成立，
此时必有k＝0，于是
解得ω≤，故ω的最大值为.(12分)
老师叮咛：本题考查三角函数的基本知识，利用公式进行化简，然后数形结合找函数的单调区间，再根据单调区间求参数的最值.其中，第(1)问需利用三角恒等变换知识将三角函数式化为标准式，是解(2)问的基础；第(2)问得分率不高，不少考生找不到解题突破口是失分原因.
【试一试】要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝
sin的图象上所有的点的( )．
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
答案：C [将函数y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象；再向左平行移动个单位长度后便得：y＝sin＝cos x的
