爱华网第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题中：
①“，”的否定；
②“若，则”的否命题；
③命题“若，则”的逆否命题；
其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.幂函数在为增函数，则的值为（ ）
A．1或3 B．1 C.3 D．2
5.已知函数，定义函数则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．非奇非偶函数
6.已知正方体的棱长为1，、分别是边、的中点，点是上的动点，过三点、、的平面与棱交于点，设，平行四边形的面积为，设， 则关于的函数的解析式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8. 函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9.函数（为自然对数的底数）的值域是正实数集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.已知为的导函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数和都是定义在上的偶函数，若时，，则（ ）
A． B．
C． D．
12.如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”.给出下列函数：
①；②；③；④，
其中“函数”的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. .若方程有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是__________.
14.设，是非空集合，定义且，已知，，则_________.
15.若函数（，且）的值域是，则实数的取值范围是________.
16.给出下列四个命题：
①函数的图象过定点；
②已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为；
③函数的图象可由函数图象向右平移一个单位得到；
④函数图象上的点到点距离的最小值是.
其中所有正确命题的序号是_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
设，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的值域.
18. （本小题满分12分）
命题，，命题.
（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；
（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19. （本小题满分12分）
已知二次函数的对称轴的图象被轴截得的弦长为，且满足.
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
20. （本小题满分12分）
某店销售进价为2元/件的产品，假设该店产品每日的销售量（单位：千件）与销售价格（单位：元/件）满足的关系式，其中.
（1）若产品销售价格为4元/件，求该店每日销售产品所获得的利润；
（2）试确定产品销售价格的值，使该店每日销售产品所获得的利润最大.（保留1位小数点）
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若是在定义域内的增函数，求的取值范围；
（2）若函数（其中为的导函数）存在三个零点，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：.
理科数学试卷（一）答案
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.C 10.C 11.A 12.A
二、填空题
13. 14. 15. 16.②④
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，∴.………………2分
函数在上的最大值是，
函数在上的最小值是，
∴在区间上的值域是.………………10分
18.解：（1）关于命题，，
时，显然不成立，时成立，………………1分
时只需即可，解得：，
故为真时：；………………4分
关于命题，解得：，………………6分
命题“或”为假命题，即，均为假命题，
则或；………………9分
（2）非或，所以或，
所以或.………………12分
19.解：（1）由题意可以设，………………2分
由，
∴；………………6分
（2）当时，，………………8分
∵开口向上，对称轴为.
∴在上单调递增.………………9分
∴.
所以实数的取值范围是.………………12分
20.解：（1）当时，销量千件，
所以该店每日销售产品所获得的利润是2×21=42千元；………………5分
（2）该店每日销售产品所获得的利润
从而.………………8分
令，得，且在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，………………10分
所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，………………11分
所以当时，函数取得最大值.
故当销售价格为3.3元/件时，利润最大.………………12分
21.解：（1）因为，
所以函数的定义域为，且，
由得即对于一切实数都成立.………………2分
再令，则，令得.
而当时，当时，
所以当时取得极小值也是最小值，即.
所以的取值范围是.………………5分
（2）由（1）知，所以由得
，整理得.………………7分
令，则，
令，解得或.
列表得：
由表可知当时，取得极大值；………………9分
当时，取得极小值.
又当时，，，所以此时.
故结合图象得的取值范围是.………………12分
22.解：（1），
由，且当时，，当时，，
所以在时取得极值，所以，………………2分
所以，，，函数在上递增，在上递减，，
时；时，，有两个零点，，
故，；………………5分
（2）不妨设，，由题意知，
则，，………………7分
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，………………9分
也就是证明：.
记，，∴，
∴在单调递增，
∴，所以原不等式成立，故得证.………………12分
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