爱华网数列（一）等差数列
二. 知识讲解：
1. 判定
（1）定义法（）
（2）等差中项法
（3）通项公式法（）
（4）前项和法
2. 性质为等差
（1）若
（2）为的子数列，，若为A.P
则也是A.P（即等差间隔抽取的子数列也是A.P）
，
（如：…
）
如
数列仍成等差数列，公差
（3）中依次项和仍成A.P，公差
，…
如…仍成A.P，公差
（4）设为所有奇数项之和
为所有偶数项之和
① 若为奇数，则
事实上，
② 若为偶数，则
，
（5）
【典型例题】
[例1] 设数列的前项和为，证明为等差数列的充要条件是（）
证明：（）若为等差，则
，故
（）当时，由题设
，
故
同理
从而
即
由此对任意，成立，即为等差数列
[例2] 等差数列中，已知，求的值。
解：注意到（）
只需求的值
由
则条件即，所以
注：一般地有以下结论：
在等差数列中，如果有正整数（）及正整数
使 则
事实上，由
故0，上题中，故
[例3] 等差数列中，已知，，求。
解：由
[例4] 等差数列中，已知，求。
解：即 ①
②
②－①得：
而成A.P
且公差
即
[例5] 两个等差数列和的前项和分别为与，且，求的值。
解：由，则
[例6] 一等差数列的前项和为100，前100项和为10，求该数列前110项之和。
解：方法一：
①×10－②： 代入①：
∴
方法二：设等差数列的前项和为
∴ ∴
∴
方法三：∵
又 ∴
∴
[例7] 在等差数列中，项数为奇数。若奇数项和，偶数项和，则项数为多少，中间一项的值是多少？
解：
又
[例8] 一个等差数列共11项，则其所有奇数项与所有偶数项之和的比是多少？
解：由
[例9] 设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的是（ ）
A. S10 B. S11 C. S20 D. S21
解：由
由
由，则，故有最大值时，为最大
设
故当时，，相应的Sn为最大，故选C。
[例10] 等差数列前项和的最大值为，且，求使的的最大值。
解：依题意
（1）当即时，由
，则
（2）当时，由
，又，则
[例11]（2004年北京春考试题）下表给出一个“等差数阵”
4
7
（ ）
（ ）
（ ）
…
…
7
12
（ ）
（ ）
（ ）
…
…
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
…
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数
（1）写出的值；
（2）写出的计算公式；
（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1，可以分解成两个不是1的正整数之积。
解：
（1）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的A.P，则
第二行是首项为7，公差为5的A.P
由，则第四列是首项为13，公差为9的A.P
（2）由（1）有
则第列是首项为，公差为的A.P
则
（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数使得，从而
这表明正整数可以分解为两个不是1的正整数之积
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，使得
从而
可见正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
[例12]（05江苏23）设数列的前项和为，已知，，，且，其中A、B为常数。
（1）求A与B的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）证明不等式对任何正整数都成立
解：
（1）由已知，得，
由知
（2）由（1）得①
所以②
由②－①得③
所以④
由④－③得
因为，所以
因为，所以
即
又，所以为等差数列
（3）由（2）可知，
（*）
由于
则（*）
由
命题得证。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 数列的通项公式是，则这个数列的前三项是（ ）
A. 1，4，9 B. 2，4，9 C. 2，1，4 D. 2，6，11
2. 数列的一个通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 首项是，第10项开始比1大，则此等差数列的公差的范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是等差数列，，则该数列的通项公式为
（ ）
A. B. C. D.
5. 数列的前项和，则的值等于（ ）
A. 1100 B. 112 C. 988 D. 114
6. 若等差数列的前项和分别为，且，则等于
（ ）
A. B. C. D.
7. 等差数列中，，其前11项的算术平均值为5，若从中抽出一项，则余下的项的算术平均数为4，则抽出的一项是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：
8. 数列7，77，777，7777，…的一个通项公式为_____________。
9. 等差数列的首项，公差为整数，若前7项为正数，第7项以后的各项都是负数，则的值为______________。
10. 若成等差数列，则的值为_________ .
11. 在等差数列中，已知，则________。
12. 已知100个连续整数之和为，且，则这些连续整数中最大的数是_____________。
三. 解答题：
13. 在中，若成等差数列，且三内角A、B、C也成等差数列，试判断三角形的形状。
14. 已知数列1，2，4，…前项之和，求并确定之值。
15. 设数列的前项和，是常数，且。
（1）证明是等差数列。
（2）证明以为坐标的点都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。
（3）设是以为圆心，为半径的圆，求使得点都落在圆处时，的取值范围。
【试题答案】
一. 选择题：
1. B 2. A
3. D
解：
解得
4. B
解：
即
5. B
解：
6. B
解：
7. D
由前11项平均值为5知，，抽出的一项是，又成等差数列，故
二. 填空题：
8.
9.
解：
即
解得
又为整数
10.
解：由已知
解得
11. 25
解：
12. 184
解：设最大数是
由题设得
三. 解答题：
13. 解：由成等差数列知
又
成等差数列
即
为等边三角形
14. 解：
由已知当时，
即
解得
当时，
又适合上式
且
15. 解：（1）由已知得：
当时，
则当时，
所以是以为首项，为公差的等差数列
（2）点的坐标，点，连接的直线的斜率
则对任意自然数所有点都在经过点且斜率的直线上
此直线方程为
即
（3）当时，的坐标为
则都落在圆外的条件是
整理得
由，由
由
又
将上述各组由小到大排序
即的取值范围是
