爱华网绝对值不等式与线性规划
二. 教学目标：
1. 理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2. 掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3. 了解二元一次不等式表示平面区域。
4. 了解线性规划的意义并会简单的应用。
［知识要点］
一、绝对值不等式
1. 解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。
2. 注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。
||a|-|b||￡|a+b|￡|a|+|b|；||a|-|b||￡|a-b|￡|a|+|b|；并指出等号条件。
3. （1）|f（x）|<g（x）?-g（x）<f（x）<g（x）；
（2）|f（x）|>g（x）?f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）.（无论g（x）是否为正）。
（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）
左边在时取得等号，右边在时取得等号。
二、简单的线性规划及实际应用
1. 二元一次不等式表示平面区域：
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）。
B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方。
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0＝，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数。
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域。
2. 线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
【典型例题】
例1 解不等式
分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立。
解：原不等式又化为
∴原不等式的解集为
点评：可利用去掉绝对值符号。
例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。
解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：
∵||x+3|-|x-3||>3。
∴（1）Tx<-3；
（2）T3/2<x￡3或-3￡x<-3/2 ；
（3）Tx>3
∴ 原不等式的解为x<-3/2或x>3/2。
解法二：用平方法脱去绝对值：
两边平方：（|x+3|-|x-3|）2>9，即2x2+9>2|x2-9|；
两边再平方分解因式得：x2>9/4Tx<-3/2或x>3/2。
例3 解不等式|x2-3|x|-3|￡1。
解：∵|x2-3|x|-3|￡1。
∴-1￡x2-3|x|-3￡1
∴T
∴ 原不等式的解是：￡x￡4或-4￡x￡
点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论。
例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围。
解：设f（x）= |x-4|+|x-3|，
要使f（x）<a有解，则a应该大于f（x）的最小值，
由三角不等式得：
f（x）=|x-4|+|x-3|3|（x-4）-（x-3）|=1，
所以f（x）的最小值为1，
∴ a>1
点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论。
例5
证明：
例6 求不等式｜x-1｜+｜y-1｜≤2表示的平面区域的面积。
分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积。
解：｜x-1｜+｜y-1｜≤2可化为
或或或
其平面区域如图。
∴面积S=×4×4=8。
点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界。
例7 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n m/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n m的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达C市。设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h。
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5-x）+2×（8-y）（元），
那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p=100+3×（5-x）+2×（8-y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围。
解：（1）依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100。
∴3≤x≤10，≤y≤。 ①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14。 ②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）。
（2）∵p=100+3·（5-x）+2·（8-y），
∴3x+2y=131-p。
设131-p=k，那么当k最大时，p最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为-的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小。
此时，v=125，w=30，p的最小值为93元。
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义。
点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点。
小结：
简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成。如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决。
图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步。一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值。它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标。
【模拟试题】
1. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2. 不等式|x-4|＋|x-3|<a有解的充要条件是（ ）
A. a>7 B. a>1 C. a<1 D. a≥1
3. 若A={x| |x-1|<2}， B={x|>0，则A∩B=（ ）
A. {x|-1<x<3} B. {x|x<0或x>2}
C. {x|-1<x<0或2<x<3} D. {x|-1<x<0}
4. 不等式1≤≤2的解集是 。
5. 如果y=logx在（0，+∞）内是减函数，则a的取值范围是（ ）
A. |a|>1 B. |a|<
C. 1<|a|< D. a>或a<-
6. 解不等式|logx|＋|log（3-x）|≥1。
7. （x+2y+1）（x-y+4）≤0表示的平面区域为
A B C D
8. 画出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x-2y的最大值和最小值。
9. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
【试题答案】
1. D
2. B。提示： 代数式|x-4|＋|x-3|表示数轴上的点到（4， 0）与（3， 0）两点的距离和，最小值为1，∴当a>1时，不等式有解
3. C。提示： A={x| -1<x<3}， B={x| x>2或x<0}，∴A∩B={x|-1<x<0或2<x<3}
4. 1≤x≤或≤x≤3
5. C。提示： 0<a2-1，∴1<|a|<
6. {x| 0<x≤或≤x<3}
7. B
8. 分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值。
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC的区域。
直线AB的方程为x+2y-1=0，BC及CA的直线方程分别为x-y+2=0，2x+y-5=0。
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5
得x+2y-1>0，x-y+2>0，2x+y-5<0。
因此所求区域的不等式组为
x+2y-1≥0，x-y+2≥0，2x+y-5≤0。
作平行于直线3x-2y=0的直线系3x-2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x-t过A（3，-1）时，纵截距-t最小此时t最大，tmax=3×3-2× （-1）=11；
当直线y=x-t经过点B（-1，1）时，纵截距-t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（-1）-2×1=-5。
因此，函数z=3x-2y在约束条件
x+2y-1≥0，x-y+2≥0，2x+y-5≤0下的最大值为11，最小值为-5。
9.
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），
所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足
6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
由图可知，直线y=-x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小。
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少。
