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沃尔泰拉积分方程
Volterra integral equation
形如
[736-5] [kg2] (1)和
[736-6] (2)的积分方程，依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之处，仅在于它的积分上限是变量,且≤≤≤,此处、是常量。沃尔泰拉积分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核(,)当>时为零的情形。
第二种沃尔泰拉积分方程没有特征值，是区别于弗雷德霍姆积分方程的重要特点。 因此， 对一切复值，方程 (2)都存在解核[736-7]，式中[736-8]，此式,是小于的任何自然数。于是,对任意的自由项()，方程(2)都有惟一解，它可表为
[736-9]。
对第一种沃尔泰拉积分方程(1)，假设(,)≠0，()=0，且(,)和()都是连续的，则利用对(1)两边求导数的方法，可把它化为与之等价的第二种沃尔泰拉积分方程
[736-9-1]。
最早被研究的一个带弱奇性核的沃尔泰拉积分方程，是阿贝尔方程[736-10],它是N.H.阿贝尔于1823年在求一个质点的落体运动轨迹与时间的关系中得到的，其中[kg2]是重力加速度，()是已知函数，()是未知函数。阿贝尔方程的一般形式为
[736-11], (3)式中0、和都是连续的,且(,)≠0,则在方程(3)的两边各乘以[kg2](-)，再对从0到取积分，可得
[736-12]，式中[736-13]由于[736-16][736-101]，随之得
[736-14] (4)式中[736-15]方程(4)是第二种沃尔泰拉积分方程。因此,一般形式的阿贝尔方程可归结为与之等价的沃尔泰拉积分方程。
在方程(3)中当(,)≡1时，则由(4)和(5)可得阿贝尔方程的求解公式
[737-1]。类似地，推广的阿贝尔方程 [737-2]，0 [737-3]。
李明忠
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