爱华网第三章 导数 章节复习
二. 本周教学重难点：
【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
（1）令
则
（2）∵
∴
（3）
（4）对于
∵
两边取导数得
∴
∴
（5）∵
∴
[例2] 求过曲线上的点，且与过这点的切线垂直的直线的方程。
解：由，得
∴ 曲线在点的切线的斜率是
故所求直线的斜率为
∴ 所求直线的方程为
即
[例3] 求函数的单调区间
解：的定义域为
由，得或
由，得或
∴ 的单调增区间是和，单调减区间和
[例4] 已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，试求函数的极大值与极小值的差。
解：
由于在处有极值 ∴
即 ①
又 ∵ ∴ ②
由①②得
∴
令，得
由于在，时，
时，
∴ 是极大值，是极小值 ∴
[例5] 已知函数在R上是减函数，求的取值范围。
解：求函数的导数：
（1）当时，是减函数
且
所以，当时，由，知是减函数
（2）当时，
由函数在R上的单调性，可知当时，是减函数
（3）当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数不是减函数
综上所述，所求的取值范围是
[例6] 已知函数在处取得极值。
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线的切线，求此切线方程。
解：
（1）
依题意，，即
解得
∴ ，
令，得
若，则
故在上是增函数
在上是增函数
若，则
故在上是减函数
所以是极大值，是极小值
（2）曲线方程为
点A（0，16）不在曲线上
设切点为M（），则点M的坐标满足
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得
所以，切点为M（），切线方程为
[例7] 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数的取值范围。
解：函数的导数，令
解得或
当即时，函数在（1，+）上为增函数，不合题意
当即时，函数在（）上为增函数，在（1，）内为减函数，在（，+）上为增函数
依题意应有当时，
当时，0
所以，解得
所以的取值范围是[5，7]
[例8] 某厂生产某种产品件的总成本C（）=（万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？
解：设单价为，由题意，
当时，
∴
∴ ，即
∴ 总利润
令
∴ ，解得
当时，；当时，
∴ 当时，有最大值
答：当产量为25万件时，总利润最大。
【模拟试题】
一. 选择题
1. 函数在内（ ）
A. 只有最大值 B. 只有最小值
C. 只有最大值或只有最小值 D. 既有最大值又有最小值
2. 已知，函数在上是单调减函数，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若函数在处有最值，那么等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
4. 设在上可导，且，则当时，有（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 函数（为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
7. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A. B. C. D.
二. 解答题
1. 已知向量，若函数在区间（）上是增函数，求的取值范围。
2. 已知函数在[2，4]上是增函数，求的取值范围。
3. 已知
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。
【试题答案】
一.
1. D
2. C
解析：由题知，∴ ，又，∴ 的最大值为3
3. A
解析：
由题意，，即 ∴
4. C
解析：因为在[]上可导，且
所以
即有，则有成立，故选C
5. D
解析：，由题意知，即
∴ 不可能为整数，整点个数为0，选D。
6. A
解析：，由，得
而当时，
时，
∴ 当时，取最大值
即=
∴
又，故
7. B
解析：设，则
① 当时，在区间内单调递增，则在上单调递减
即当时恒有
∴
② 当时，在区间上单调递增，则在上单调递增
即当时恒有，与矛盾
③ 当时，符合题意 ∴ ，选B
8. C
解析：用导数法解，先求极值，再求最值，令，得
，
∴ 最大值为3，最小值为
二.
1. 解：依定义
则
若在上是增函数
则在上可设
∴ 在区间上恒成立
考虑函数，由于的图象是对称轴为且开口向上的抛物线，故要使在区间上恒成立，即
而当时，在上满足
即在上是增函数
故的取值范围是
2. 解：令 ∵
在[2，4]上有意义且
∴ ，即
∵ 在[2，4]上为增函数及
∴ ，或在[2，4]上恒成立
∴ 或
解得或，又 ∴
即的取值范围为（）
3. 解：
（1）对函数求导，得
，解得或
当变化时，的变化情况如下表：
0
（0，）
（，1）
1
－
0
+
所以，当时，是减函数
当时，是增函数
当时，的值域为
（2）对函数求导，得
因为，当时，
因此当时，为减函数
从而当时，有
又，，即当时有
任给，
存在使得，则
即
解①式得或 解②式得
又，故的取值范围为
