爱华网代数：含有字母系数的一元一次方程解的问题；
几何：角的平分线的应用
期中模拟试卷
学习目标：
代数：掌握含有字母系数的一元一次方程解的问题
几何：会用角的平分线的定义、性质定理，判定定理解决相应的问题
二. 重点、难点
重点：
代数：含有字母系数的一元一次方程解的问题
几何：角的平分线的两个定理的应用
难点：
代数：含有字母系数的一元一次方程与以前学过的一元一次方程的解法有较大区别，容易想当然
几何：作辅助线
三. 知识要点
代数：
含有字母系数的一元一次方程ax＝b的解的问题
（1），方程有唯一解
（2），方程变为，则方程有无数多个解，即x可取任何数
（3），方程变为，这是不成立的，所以方程无解
几何：
角的平分线的两个定理：
性质定理：陈述角平分线上的点的性质
判定定理：判定满足什么条件的点才在角平分线上
角的平分线的两个定理的应用：
（1）证明线段、角相等，比通过证明三角形全等简单
（2）往往需要做辅助线，从一个点向一个角的两边引垂线
【典型例题】
例1. 解关于x的方程
分析：先把分式方程转化成整式方程，再来看解的问题
解：去分母，得
整理，得
方程两边同除以2，得
（1）若，则原方程变为
这时，若，则
则x有无数个值
若，则
则x无解
（2）若，在的两边可同除以a
得
综上
（1）当时，方程有无数个解
（2）当时，方程无解
（3）当时，方程有唯一解
验根：出现在分母上
不可能等于0
第（1）种情况不存在，第（2）种情况中当时，不可能为0
原方程的解的情况是：
当时，方程无解
当时，方程有唯一解
例2. 若关于x的方程无解，求
解：由，得，
移项，得
方程无解
小结：先求出a的值，再求式子的值，这是我们习惯的思路，关键是求a的值，根据方程无解的条件来求a的值。
例3. 若关于x的方程的解为负数，求m的范围
解：由得
移项得
合并同类项，得
两边同除以13，得
，
，
例4. 如图，在中，、的平分线交于点P，求证：P点在的平分线上
证明：过点P向AB作垂线，垂足为D，向BC作垂线，垂足为E，向AC作垂线，垂足为F
，，P在的角平分线上
（角平分线的性质定理）
同理（同上）
（等量代换）
P在的角平分线上（角平分线的判定定理）
小结：角平分线的判定定理、性质定理的综合运用。
例5. 如图，在中，，AD平分，P在AD上任一点，求证：
分析：尽量把位置分散的，AB、AC、PB、PC转移到同一个三角形中
证明：
可在AB上截取
在和中
（全等三角形对应角相等）
在中
（三角形两边之差小于第三边）
（等量代换）
即
例6. 如图，在中，BE是的平分线，，垂足为D，求证：
分析：由BE是角平分线，可想到等腰三角形三线合一，可构造一个等腰三角形。
解：延长AD交BC于F
在中，BD既是AF的高，又是的角平分线
在和中
（ASA）
（全等三角形对应角相等）
又（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
（等量代换）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 关于x的方程有解的条件是__________
2. 关于x的方程无解，则___________
3. 关于x的方程只有一个根，则__________
4. 关于y的方程的解是正数，则有_________
5. 如果为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的值
6. 如图，，M为BC的中点，DM平分，求证：AM平分
7. 如图，AD平分，且于B，于C，E为AD上一点，求证：
［期中模拟试卷］（答题时间：90分钟）
（一）填空题（每空2分，共20分）
1. 指出下列式子中的分式：_______________。
2. 当无意义，则a＝_______________。
3. 当时，x＝_______________。
4. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝_______________度，按角分类，△ABC属于_______________三角形。
5. 已知，则以a，b为边的等腰三角形的周长为_______________。
6. 分式的最简公分母是_______________。
7. 的值是_______________。
8. 的值是_______________。
9. 方程的解x＝_______________。
（二）选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列变化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在下列式子中，a与c是成正比例关系的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列三条线段能构成三角形的是（ ）
A. 1cm，1cm，1cm
B. 2cm，2cm，4cm
C. 8cm，3m，4cm
D. 5cm，25cm，18cm
5. 下列关于三角形的概念说法正确的是（ ）
A. 由三条线段组成的图形是三角形
B. 三角形的角平分线是一条射线
C. 三角形的高是顶点到对边的垂线
D. 三角形一边上的中线是该边中点与这边所对顶点的连线。
6. 如图1，在△ABC中，AD是∠A的平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠BAD＝（ ）
图1
A. 70° B. 45° C. 40° D. 100°
7. 等腰三角形一外角为130°，则此等腰三角形的顶角度数为（ ）
A. 50° B. 80° C. 50°或80° D. 65°
8. 如图2：∠BKF＝α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝（ ）
图2
A. B.
C. D.
（三）计算题（每题4分，共7题，共28分）
1. 求
2. 解方程
3. 如果
4. 如图3，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＋AD＝BD，CD⊥AB于D，求∠B的度数。
图3
5. 已知三角形三边长是2，，4，求该三角形周长的范围。
6. 如图4，已知：AC是∠BAD的平分线，∠BAC＝15°，∠B＝∠D＝30°，求∠BCD。
图4
7. 先约分，再求值
（四）解答题（共28分）
1. （6分）如图5，△ABC中，D是BC中点且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF，求证：AB＝AC。
图5
2. （6分）如图6，已知AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，求证：BE∥CF
图6
3. （6分）如果a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是1，求a，b的值。
4. （5分）如图7，AB＝CD，AC＝BD，找出图中所有全等三角形，并说明全等的理由。
图7
5. A、B两地相距36km，甲、乙分别从A、B两地同时相向出发，甲走了1km后返回A地取物后立即返回B地，甲、乙两人正好在A、B中点处相遇，已知乙每小时比甲少走0.5km，求甲、乙两人的速度。
【试题答案】
1. 2. 3. 4.
5. 提示：把原方程化为
由，得
6. 提示：过M点向AD作垂线
7. 提示：由角平分线的性质定理可得
再由，得
继而由，得
［期中模拟试卷答案］
（一）填空题（每空2分）
1. 2. －3
3. 2 4. 90，直角
5. 7 6.
7. 8. x
9.
（二）选择题（每题3分）
1. B 2. C 3. A 4. A
5. D 6. C 7. C 8. D
（三）计算题（每题4分）
1.
2. 解：等式两边同乘以，得
∴原方程无解。
3. 提示：由
把，
把。
4. 解：
在DB上截取DE＝DA，则EB＝EC＝AC
设∠B＝x，则∠DEC＝2x，∠A＝2x
又∵EC=BC
∴∠ECB=∠B=x
由
得
5. 提示：
∴周长L的范围为。
6. 提示：延长AC，
∵AC平分角BAD
∴∠DAC=∠BAC=15°
∠1=∠B+∠BAC
∠2=∠D+∠DAC
∴∠BCD
7. 由
把
∴原式＝1
（四）解答题（共28分）
1. 提示：先证△BDE≌△CDF，得∠B=∠C
再由等角对等边，得AB=AC
2. 提示：先证△AEC≌△DFB，得∠A=∠D
再证△ABE≌△DCF，得∠EBC=∠FCB
∴BE∥CF
3. 提示：由得
4. 提示：△ABC≌△DCB（SSS）
△AOB≌△DOC（AAS）
△ABD≌△ADC（SSS）
5. 提示：
设甲的速度为x千米/小时，则乙为千米/小时，
由题意知，甲走20千米所用的时间与乙走18千米所用的时间相等
∴甲的速度为5千米/小时
乙的速度为4.5千米/小时。
