爱华网一次函数、一元一次方程、不等式关系例题讲解
例1. 如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动的路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A. 2.5米 B. 2米 C. 1.5米 D. 1米
分析：本题主要考查正比例函数与一次函数的图象的应用．由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0）；BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12），求出函数解析式，就能判断两者的速度大小．设直线BA的关系式为，直线OA的关系式为，将（8，64）分别代入，得，，，．
解：C
例2. 求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．
分析：求出直线与两坐标轴围成的直角三角形两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．
解：在函数中，令，则，因此图象交y轴于点（0，－5），令，则，解这个方程，得，因此图象交x轴于（）
所以与两坐标轴围成的三角形面积
例3. 用图象法解一元一次不等式
分析：把不等式化成（）的形式，不等式的解集就是使的函数值大于0（小于0）的x的取值范围．
解：不等式可化为．
画出的图象，如图从图象可知当时，直线上的点都在x轴下方，所以不等式的解集是．
例4. 春秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”，由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3h，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施，如图，是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时~8时气温随着时间变化的情况．其中0时~5时，5时~8时的图象分别满足一次函数关系，请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．
分析：根据函数图象可用待定系数法求出和时的一次函数解析式，再利用一元一次方程的知识求出时，自变量x的取值范围，即可解决问题．
解：设0时~5时的一次函数解析式为，将点（0，3）（5，－3）分别代入中得解得
所以
设5时~8时的一次函数解析式为
将点（5，－3），（8，5）分别代入中得
解得
所以
当时，解方程，得
当时，解方程得
而，所以应采取防霜冻措施．
例5. 根据医学上的科学研究表明，人在运动时，心跳的快慢通常和年龄相关，在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分．一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数s（次/分）是这个年龄n（岁）的一次函数．
（1）根据以上信息，求在正常情况下，s关于n的函数关系式．
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒钟心跳为26次，问他是否有危险？为什么？
分析：由题意知，当时，；时，，设，用待定系数法求出解析式．
解：（1）设s与n之间的函数关系式为
由题意得 解得
和n之间的函数关系式为
（2）当时，（次）
现在这位老人的心跳是次次
因此他这时有一定的危险．
例6. 在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t之间的关系近似地满足如图所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，怎样安排此人从6：00到20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
分析（1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式．（2）从图象中发现，当时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间．（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间．
解：（1）当时，设，则
把（1，6），（10，0）代入得
解得，
与t之间的函数关系式为
（2）当时，令，即，
当时，令，即，
注射药液的时间时后有效，有效时长：（时）
（3）设第二次注射药液的时间是小时后．
则，
第二次注射药液的时间是10：00，设第三次注射药液的时间在第一次注射小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和．
第三次注射药液的时间为15：00
设第四次注射药液的时间是第一次注射药液小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（）
体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和．
第四次注射药液的时间是19：30．
已知直线：y=kx+b，将直线向右平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式．安排此人注射药液的时间分别是6：00，10：00，15：00，19：30，这样安排能使病人的治疗效果最好．
直线y=kx+b向左平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x+m)+b，直线y=kx+b向右平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x-m)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律． 这个规律可以简记为： 例1. 已知：，当m取何值时，y是x的一次函数，这时，若，求y的取值范围。 分析：为一次函数的条件是①，②x的指数n＝1 解：据题意，得 解得 ∴当m＝3时，一次函数为 由 解得 例2. 已知一次函数 （1）当m取何值时，y随x的增大而减小？ （2）当m取何值时，函数的图象过原点？ （3）是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。 分析：一般形式中 （1）k<0即 （2）b＝0即 （3）经过一二三象限或一三象限即 解：（1）由 解得 ∴当时，y随x的增大而减小 （2）由，解得 ∴当时，函数的图象过原点 （3）假设存在满足条件的m，则 解得 ，而m在这个取值范围内无整数解 ∴不存在这样的整数m。 例3. 已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D （1）求直线的解析式； （2）若直线与交于点P，求的值。 解：（1）过点（-3，-2） 解得m＝4 的解析式为 过点（2，-2），C（0，-3） 解得 的解析式为 （2）在中，由x＝0，得y＝4 ∴A（0，4）， 在中，由y＝0，得x＝6 ∴D（6，0），OD＝6 由，得 过P点作PM⊥y轴于点M 则 例4. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。 分析：直接求显得困难，延长AB交x轴于D点，这样只需求出△ACD和△BCD的面积即可，而这两个三角形底边CD在x轴上，高分别是A、B两点的纵坐标的绝对值。 解：延长AB交x轴于D点 设过A、B两点的直线的解析式为 则 解得 ∴直线AD的解析式为 ∴由y＝0，得 ∴x＝－6，∴D（-6，0） 例5. 如图，已知A（4，0），P是第一象限内在直线上的动点 （1）设点P的坐标为（x，y），△AOP的面积为S，求S与y的函数关系式，并写出y取值范围。 （2）求S与x的函数关系式，并写出S的取值范围。 （3）若S＝10，求P的坐标。 （4）若以点P、O及A点构成的三角形为等腰三角形，求出P点坐标。 解：（1）作PM⊥OA于M，则PM＝y （2）∵P（x，y）在直线上 ∵0<x<6，且 解关于S的不等式组得S的取值范围：0<S<12 （3）当S＝10时， 解得 ∴y＝5 ∴P（1，5） （4） ①当PA＝OP时， 解得 此时P（2，4） ②当PA＝OA时 解得， ∵0<x<6，0<y<6 此时 ③当OP＝OA时 此时方程组无实数解。 综上所述，当P、O、A三点构成等腰三角形时，P点坐标为P（2，4）或求一次函数自变量取值范围的基本策略胡佳
一次函数自变量取值范围的问题相对复杂一些，题型多、解法活、难度大，本文将求一次函数自变量取值范围的基本策略呈现于后，供大家参考。
一. 图像法
例1. 已知函数的图像如图1所示，则x的取值范围是（）
A. 一切实数 B.
C. D.
图1
解析：仔细观察图像，就会发现正确答案是D。
二. 单调性法
例2. 已知函数的函数值范围是。求该函数自变量x的取值范围。
解析：当时，由得；
当时，
对于函数，y随x的增大而增大
即自变量x的取值范围是。
三. 极限位置法
例3. 已知：如图2，在中，，D、E分别是AB、AC边上的动点，在运动过程中，始终保持，设，求y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。
图2
解析：在中，
，即
所以y与x之间的函数关系式为。
当D与B重合时，CE最小，此时。
则，即，
故
当时，
自变量的取值范围是。
四. 生活经验法
例4. 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。
解析：由题意得
油箱中的油最多是40升，同时拖拉机工作需要燃油提供能量，所以，即自变量t应满足，解得。
需要补充说明的是，在求一次函数解析式时，有的题目本身没有提出求自变量取值范围的要求，解题时我们最好还是把自变量的取值范围写出来，因为离开自变量的取值范围，函数就失去存在的依据了。
