爱华网难点39 化归思想
化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.
●难点磁场
1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .
2.（★★★★★）已知平面向量a=(–1),b=().
（1）证明a⊥b;
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2–3)b，y=–ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.
●案例探究
［例1］对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.
现定义
（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.
命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.
技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)
∴数列{xn}只有三项，
（2）∵,即x2–3x+2=0
∴x=1或x=2，即x0=1或2时
故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）
（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2
要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2
对于函数
若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2
若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2
依次类推可得数列{xn}的所有项均满足
xn+1＞xn（n∈N*)
综上所述，x1∈(1,2)
由x1=f(x0),得x0∈(1,2).
［例2］设椭圆C1的方程为(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
（1）试用a表示点P的坐标；
（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；
（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个.设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.
命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.
错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系.第（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g(a),S(a)}转化为解不等式g(a)≥S(a).
技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.
解：（1）将y=代入椭圆方程，得
化简，得b2x4–a2b2x2+a2=0
由条件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2
解得x=或x=–（舍去）
故P的坐标为().
(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高为,
∴
∵a＞b＞0,b=
∴a＞,即a＞,得0＜＜1
于是0＜S（a）＜，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)
(3)g(a)=c2=a2–b2=a2–
解不等式g(a)≥S(a)，即a2–≥
整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0
解得a≤（舍去）或a≥.
故f(a)=min{g(a), S(a)}
●锦囊妙计
转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.
应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★）已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是( )
A.（0，1） B.（，）
C.（，1）∪（1，） D.（1，）
2.（★★★★）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为( )
A. B.1 C. D.
二、填空题
3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）
4.（★★★★★）函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 .
三、解答题
5.（★★★★）已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数）.
(1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);
(2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围.
6.（★★★★★）已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an}，满足f(1)=n2.
（1）求数列{an}的通项公式，并求；
（2）证明0＜f()＜1.
7.（★★★★★）设A、B是双曲线x2–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
8.（★★★★★）直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围.
参 考 答 案
●难点磁场
1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C=10种
答案：10
2.(1)证明：∵a·b==0，∴a⊥b
(2)解：∵x⊥y,∴x·y=0
即［a+（t2–3)b］·(–ka+tb)=0，整理后得
–ka2+［t–k(t2–3)］a·b+t(t2–3)·b2=0
∵a·b=0,a2=4,b2=1
∴上式化为–4k+t(t2–3)=0，∴k=t(t2–3).
(3)解：讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数
于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).
令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表：
t
(–∞,–1)
–1
(–1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=–1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=；
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=–.
而f(t)=(t2–3)t=0时，得t=–,0,.
所以f(t)的图象大致如右：
于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；
当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解
●歼灭难点训练
一、1.解析：分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解
答案：C
2.解析：化和的比为项的比∵.
∴,取极限易得
答案：A
二、3.解析：转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率
答案：
4.解析：转化为f′(x)=3x2–3b在（0，1）内与x轴有两交点只须f′(0)<0且f′(1)>0.
答案：0<b<1
三、5.解：(1)原不等式等价于
即 ∴x≥
∴原不等式的解集为{x|x≥}.
(2)x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈［0,1］时恒成立.即恒成立
即x∈［0,1］时，t≥–2x+恒成立，于是转化为求–2x+,x∈［0,1］的最大值问题
令μ=,则x=μ2–1,则μ∈［1,］.
∴2x+=–2(μ–)2+.
当μ=1即x=0时，–2x+有最大值1
∴t的取值范围是t≥1.
6.(1)解：{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1.故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*)
∴
(2)证明：∵f()=1·+3·+…+(2n–1) ①
∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1) ②
①–②得：f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
∴f()=++++…+–(2n–1)=1–.
∵ (n∈N*)
∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1
7.解：(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x2–=1.
整理得（2–k2）x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2=0 ①
设A(x1,y1)、B（x2,y2),x1,x2为方程①的两根
所以2–k2≠0且x1+x2=.又N为AB中点，
有（x1+x2）=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k=1.故AB∶y=x+1.
(2)解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程为y=3–x.与双曲线方程联立.消y有x2+6x–11=0 ②
记C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6.
∵|CD|=
∴|MC|=|MD|=|CD|=2.
又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.
8.提示：f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易确定f(–1)=2是极大值，f(1)=–2是极小值.当–2<a<2时有三个相异交点.
