9号线延伸段 “好线”的探究、延伸与误解

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA、OC。显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。

（1）试说明直线AE是“好线”的理由；

（2）如下图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)

上面图1的作法给了我们作四边形“好线”的思考方法，出题人真是挺好心的，沿着他的的思路理解就可以了。为了说明直线AE是“好线”，我们还需要复习一下等(同)底等(同)高的相关内容。而且，笔者经过思考，觉得“好线”的定义可以进一步推广到能够平分凸多边形面积的直线，甚至还可以将“2等分”推广到“n等分”。

1.两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等

    人教版八下《平行四边形》一章习题1中有这样一道题为：

如图3，如果直线l1∥l2，那么△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？笔者加一问：请写出图中面积相等的各对三角形。

分析：此题比较简单，△ABC与△DBC有一条公共边BC作为底. 又因为l1∥l2且两平行线间的距离相等，所以△ABC与△DBC在BC边上的高相等. 因此，△ABC与△DBC的面积也就相等了. 同理，△ABD和△ACD也是同底等高的三角形，它们的面积也相等；在△ABC和△DBC中同时减去△BOC，所得△AOB和△COD的面积相等. 其中△AOB和△COD所处的位置形如“蝶形”。

图3是以下解决三角形和凸四边形中过边上的任意一点(三角形的顶点或边的中点除外)作“好线”的基本结构图形；且以两平行线之间所夹的的同底等高的三角形面积相等为理论依据。

2.三角形的“好线”

    有了上面的充分准备，我们先来看看文章开头图1作出“好线”AE的理由：四边形ABCD,对角线BD的中点O,连结OA、OC，OA、OC分别是△ABD、△BCD的中线，通过面积公式（等底同高）得出，，所以，OE∥AC交CD于E,同样通过面积公式（同底等高）得出，所以

所以AE是“好线” 。

从中笔者得到几点启示：① 此法很好的解决了过凸四边形的顶点作“好线”的方法，为后面解决：过凸四边形边上任意一点(顶点除外)作“好线”，做了铺垫。②运用了把复杂的多边形问题转化成三角形问题来研究的数学思想。③或者可以理解为：它们有一部分成“蝶形”的两个面积相等的三角形“翅膀”发生了相互“迁移”。④进一步思考，这种作法能否作出一条平分五边形面积的直线？笔者认为比较困难。为了“进”，为了推广到五边形，我们采取先“退”，“退到”最简单的多边形——三角形中来考虑问题。正如数学大师华罗庚所讲的那样：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”
　　如图4，在△ABC中，要作一条直线平分三角形面积非常简单，最容易想到是过三条中线的直线，且注意到这样的“好线”经过了三角形的顶点和边的中点，所用到的数学原理就是“等底等高的三角形面积相等”。下面笔者还将多处运用到此原理。

如果我们还要将一些特殊要求附加给“好线”：例如要求“好线”经过指定的某点。如：过三角形边上的任意一点(三角形的顶点或边的中点除外)作“好线”，怎么实现？

方法1： 如图5，欲过AC边上一点E，作△ABC的“好线”，基于两平行线之间的同底等高三角形面积相等和利用上过三角形中线的“好线”的考虑，我们要想方设法过E点创建“同底等高三角形”的“同底”的直线。三角形边上现成的特殊的顶点或中点可用，于是先连接E点和它所在边AC对的顶点B之间的线段BE，再作出E点所在边AC边上的中线 BD，第三步过点D作DF∥BE交BC（或AB）边于点F，最后过点E、F作直线EF。容易理解：图5中“蝶形”阴影的两个三角形“翅膀”发生了等面积“迁移”。易证直线EF平分△ABC面积。

方法2： 如图6，欲过AC边上一点E，作△ABC的“好线”，步骤：①先作出E点所在边离E点较远的端点A(以AC边的中点D为界)所在的另一边AB边上的中线CG. ②连接EG. ③过E点所在边离E点较近的端点C作CF∥EG交AB边于点F. ④作直线EF。易证直线EF平分△ABC面积。

当点E在△ABC的边上时，其作法较多，笔者就不一一赘述了。
    当点E在△ABC边界上运动时，EF 扫过整个平面。所以不管指定点在何位置（包括三角形内，边界，三角形外），都有过这一点的“好线”。从这也可以看出，“好线”不是唯一的，而且条数还很多。
    笔者对过三角形内或三角形外任意一定点P，作直线l平分△ABC的面积的尺规作图方法也进行了深入的研究，只是作图方法与上面叙述有所不同，需要应用到相似形、园和正弦定理扩展出的三角形面积公式(后来发现可以避开正弦定理)等知识. 但是由于正弦定理已超出了初中生学习的范畴，所以这个内容，笔者只点到为止，抛砖引玉。
    a.定点P在三角形△ABC内（如图7所示）
    作法：取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，点E在∠BAC内，过P作AC的平行线交AE于点F，再以P、E、F三点作圆，该圆与AB相交于点G（取与A点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线即为所要求作的直线l。
    证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠BAE=∠PAD，设直线l与AC的交点为H，因P、E、F、G四点共圆，所以⌒ GF对的圆周角∠GEF=∠GPF，又因PF∥AC，所以∠AHP=∠GPF=∠GEF，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB = AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中点，所以有：AD·ABsin∠BAC = 即AG×AHsin∠BAC =，故直线l即为所求。
    b.定点P在定三角形△ABC外（如图8所示）
    作法：取AC的中点D，作△ABE∽△APD，点E在∠BAC外，过P作AC的平行线交EA的延长线于点F，再以P、E、F三点作圆，该圆与AB相交于点G，则由P、G两点所确定的直线即为所求作的直线l。
    证明：略。提示:证∠AHP=∠GEF时，要用到：弦GF所对异侧的两个圆周角∠GPF和∠GEF互补。

后来研究发现：AD·AB = AG·AH变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结GD、BH(图略)，则GD∥BH，再连结BD得中线(图略)，同样也存在两平行线之间同底等高的三角形面积相等的基本结构图形，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解了。

另外，作图时要注意两点：①作△APD时，要让AP>AD(如果不能满足，就换另外两个顶点试试.)，这样能使AE<AB，再以P、E、F三点作圆，该圆在边AB上有交点(与A点较远的点)。

上述附加要求(过三角形内任意一定点P)可以看作是一个实际问题的需要：兄弟两人要平分一块三角形土地，且分割线要经过一个共用的水井。类似的实际问题还有：兄弟三人要三等分一块三角形土地，且分割之后，三家都能独当一面。提示:如△ABC(图略)，我们先作出BC边上的两个三等分点D、E，然后过点D作AB的平行线，过点E作AC的平行线，两平行线交于点F(即重心)。易证. 这一问题虽然看起来已经超出“好线”的研究范围，但也给我们启示：要等分三角形面积，哪怕还附加特殊条件，我们都可转化成等分三角形某边长的问题来解决，而且比较容易。因此我们可以将三角形的某条边n等分，连结n等分点与这条边所对顶点之间的线段可以把三角形分成n等分，为下文实现n等分凸多边形面积提供条件。

    从上面的研究可以看出，过三角形的边上某一点作三角形的“好线”相对简单些，加之知识和篇幅的局限性，所以，接下来的探究，笔者把重心放在过凸多边形边上的任意一点作“好线”的阐述上。

3.凸四边形的“好线”

（1）过凸四边形的顶点作“好线”

方法1： 文章开头第一段已清楚地介绍（如图1）

方法2： 思路：运用“两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等”的数学原理，把复杂的多边形问题转化成三角形问题来研究。如图9，欲过点D作四边形ACBCD的“好线”，首先过点C作 CE∥DB交AB延长线于点E，易证，则△AED的中线DF所在直线即为所求。此处需要注意的是，AE的中点F未必在线段AB上，如果AB较短，那么点F很可能落在线段AB的延长线上(图 10)，所以我们还得多费一次功夫，过点F作FG∥BD交CB于G，DG才是所要求的直线。解决了过凸四边形的顶点作“好线”的方法，为接下来要解决的过凸四边形边上任意一点(顶点除外)作“好线”，做铺垫。

从中笔者得到两点启示：① 方法2比方法1优越，因为方法2可以进行多次作平行线，将凸n边形进行等面积变换，逐步变成凸n-1边形，凸n-2边形……最终变成三角形；接着，作出最终所得三角形的“好线”。所作的“好线”不一定就是凸n边形的“好线”，我们还要像图10的作法一样，逐步将它转化为凸n边形 的“好线”。可见，方法2是凸n边形过某个顶点作“好线”的通法，具有推广意义。本质上把多边形的“好线”问题化归为三角形的“好线”问题，而三角形的“好线”问题实质就是“等底等高的三角形面积相等”。② 同时，为过凸n边形边上任意一点(顶点除外)作“好线”，准备了前提条件。

（2）过凸四边形边上的任意一点(顶点除外)作“好线”

（3） 

    现在，我们终于可以解决文章第一段的第二问了：如文首的图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)

如图a，首先连结FE，再过点A作AP1∥FE交CD于点P1 ，易证 ，则FP1所在直线即为所求。

如图b，当点F由A向D靠近时，过点A作FE的平行线有可能与DC的延长线相交于点J，显然过FJ的直线不能平分四边形ABCD的面积；那么再连结CF，过点J作JP2∥CF交BC于点P2，易证，则FP2所在直线即为所求。

如图c，当点F在边AD上非常靠近点D，且由对角线BD分成的△BCD的面积相对于四边形ABCD的面积远远小于时，过点A作AJ∥FE与DC的延长线相交于点J，再过点J作JH∥CF交AB于点H(没有与BC边相交)，显然过FH的直线不能平分四边形ABCD的面积；那么还需要让JH与CB的延长线相交于点G，再连结BF，过点G作GP3∥BF交AB于点P3，因为，，，易证，则FP3所在直线即为求。

    总结：① 此方法，过凸四边形边上的任意一点(顶点除外)作“好线”，要建立在过该点所在边的一个端点作“好线”的基础上。可能需要依次进行多次作平行线，进行多次同底等高的三角形等面积变换，作出过凸四边形边上的任意一点的“好线”。② 此方法可以推广到过凸n边形边上的任意一点(顶点除外)作“好线”。

下面笔者提供两个题目，以供读者练习。

①给出五边形ABCDE过A点或过边AE上任意一点P的“好线”的具体作法，自己画图。

    ② 如图d，五边形ABCDE是张大爷在十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦的荒地，现已变成如图e所示的形状，但承包土地与垦荒的分界小路（即图e中的折线CDE）还保留着。张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关几何知识按张大爷的要求设计修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）

    (1)  写出设计方案，并在图e中画出相应的图形。 (2)、说明方案设计理由

    4 “好线”的延伸推广
    我们在完成2等分凸多边形面积之后，也可以很容易地实现n等分凸多边形面积，图g就是3等分五边形的作法，其中点I，H是线段FG的三等分点。如果I，H没在AB边上，而是在AB(或BA)的延长线上时，还需要进行多次作平行线，进行多次同底等高的三角形等面积变换，具体方法，笔者在这就不再重复了。

4.“好线”的误解

笔者在探究凸多边形的“好线”过程中，发现了一点易让读者误解的问题。

    有人认为，利用悬挂法，悬线所在的直线平分凸多边形的面积，即过任意一点与凸多边形的重心的直线就是凸多边形的“好线”。这是不正确，原因笔者在此不作过多的说明，只举个反例吧，例如：三角形中，过重心且平行一边的直线把三角形分得的面积比是：4：5(提示:重心分三角形一条中线的比值是2:1及运用相似形知识可解).

参考文献 “好线”的本质探究及其推广 彭翕成《数学教学》 2007.10   及人教论坛

引文：“好线”的本质探究及其推广 《数学教学》 2007.10

个人简介：男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。

特别鸣谢: 彭洁老师在本文的几何画板画图中给予了极大的帮助。

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