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线性型
linear form
又称线性函数或线性齐式，是域上的线性空间到域上的一个线性映射如果是从到的映射,对的向量、，的元素、满足(+)=()+(),那么就称为上的线性型或线性映射。若e，e，…，e是 的一组基，则 的每一个向量 都可表成[766-16][766-016],式中在中，=1,2,…,。因此对于上的线性型 有[766-17]或记成 [766-18],式中记(e)=,=1,2,…,。若 视为 中的变元,则,，…,就可看作取值于 的变元。因此，在基{e,e,…,e}之下，线性型就是上个变元的线性齐次函数。当的基取定时，就由[kg2]的一个元向量(,,…,)惟一确定。 上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成上的一个线性空间，且与同构。
如果都是上的线性空间，[766-19][766-019] 是与的笛卡儿积,从×到的映射，对于的向量，，； 的向量，，；的元素，，，，满足
[767-01]那么称为与上（或×上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e,e，…,e与，，…，分别为与的基,[767-02][kg2][767-03]，则[kg2][767-04][767-4]式中[767-05][kg2]在[y4]中，[767-6][767-06]由此可知,由矩阵惟一确定，且可视为上的两组变元，,…,与，，…,的双线性齐次函数。在与的基都选定时，×上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个上的维线性空间，且与同构。当与[kg2][kg2]的基都改变时，×[kg2]上的双线性型[kg2]对应的矩阵，就[kg1]变[kg1]成[kg1]由[kg1]相[kg1]应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，[767-07][767-07-1]这里和分别为上的阶和阶方阵,由坐标变换公式:[767-08][767-08-1]可得[767-09][767-010]因此，=AQ,式中[767-10]。=1,2,…,;=1,2,…,。对于与的任意基,所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 的秩，记为rank。当rank=时，的标准形式（即在与的某基下的最简单形式）为
[767-11]， (1)此即表明,对两组旧变元,,…，与,,…，，总可经满秩的线性变换,使对两组新变元,,…,与，，…，取(1)的形式。
在==时，若双线性型对于的任意向量、有(,)=(,),则称为对称双线性型;若有(,)=-(,)，则称为反对称双线性型。当的基取定时,对称双线性型所对应的矩阵 必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当的基改变时,对称双线性型对应的矩阵变为它的合同矩阵=，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，=实数域 R,于是,每个实对称双线性型在正交变换（即 为正交矩阵）下都可化为实正交标准型
[767-12]，式中,,…,是在任意基下对应的矩阵的全体非零特征值。在复数域 上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。
域上的个线性空间 ，，…，的笛卡儿积[767-13][kg2]，按通常的向量加法和纯量乘法成为 上的一个线性空间，若[767-14]，若对=1,2,…,满足[767-15]式中[kg1][kg1],=1,2,…,;[kg1][kg1],、[kg1][kg1], 则称为××…×上的重线性型或重线性映射当≥3时统称为多重线性型。
域上的线性空间的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法,[kg2]是上的一个线性空间,记为。称为的对偶空间，又称为的关联空间或共轭空间。可以证明,当di是有限时,[kg2]则di=di。因此,。这一结果在di是无限时不再成立。如果的基{e}与的基 [767-16][kg2]式中为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。
若在域上的个线性空间，，…，中,一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。
佟文廷
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