爱华网立体几何复习：
1、平面的基本性质与推论
2、空间中的平行关系
二. 教学目的
掌握平面的基本性质与推论、空间中的平行关系及其应用
三. 知识分析
【知识梳理】
（一）平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质
基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．
如果空间中的几个点或几条直线都在同一平面内，那么我们就说它们共面．
基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
基本性质2的条件是“过不在同一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”，条件中的“三点”是条件的主干，不会被忽视，但“不在同一条直线上”这一条件则易被遗忘．结论中的“有且只有一个”，其中“有”是说平面存在，“只有一个”是说平面惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用．
基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
★：三个基本性质的符号语言和图形语言的表述
符号语言
图形语言
基本性质1
基本性质2
A，B，C三点不共线
有且只有一个平面，
使
基本性质3
注：在用集合语言表示点、线、面关系时，将点看成元素，直线和平面均看成集合，且在表示直线、平面相交关系时，一定写成等式的形式，如，而不能写成。
（1）基本性质1是判定直线是否在平面内的依据，利用基本性质1可以证明直线在平面内或证明直线上的点在平面内．
（2）基本性质2及三个推论是确定平面的依据．确定一个平面包含两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．
（3）基本性质3是确定两个平面相交于一条直线的依据．应用基本性质3可以证明点共线问题．
2、平面基本性质的推论
推论 l 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3、我们可以把空间看作点的集合，这就是说，点是空间的基本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子集．于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．
例如，点A在平面内，记作；点A不在内，记作；
直线l在平面内，记作；直线l不在平面内，记作；
平面与平面相交于直线，记作；
直线和相交于点A，记作。
基本性质1可以用集合语言描述为：如果点 A平面，点B平面，那么直线.
（二）空间中的平行关系
1、空间的平行直线
（1）基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．又叫做空间平行线的传递性．
（2）定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．
（3）空间四边形 顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．每个点叫做空间四边形的顶点，所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，连结不相邻的顶点的线段叫做这个空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．
2、异面直线：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，异面直线既不平行，也不相交；不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线．
②异面直线的画法，常常以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图所示．
③判定空间两直线是异面直线的方法
（1）排除法：若证得两条直线既不相交，也不平行，则必然是异面直线；
（2）定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线；
（3）反证法：假设两条直线不异面，则必然平行或相交，从而推出矛盾，得出两直线必然异面．
3、用图形语言表示线面关系时应注意：
（1）直线l在平面内，记作，应把表示直线l的线段画在表示平面的平行四边形内．
（2）直线l与平面相交于点A，记作，应画成直线与平面有一个公共点（公共点突出标记）．
（3）直线l与平面平行，记作l // ，表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的水平边平行。
4、直线与平面平行
（1）空间直线和平面的位置关系共有如下三种：
如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作；
直线l与平面只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作；
直线l与平面没有公共点，叫做直线与平面平行，并记作。
（2）直线与平面平行的判定定理：
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（3）直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。
5、平面与平面平行
（1）两个不重合的平面的位置关系有两种，即平行和相交。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面．平面平行于平面，记作。
（2）两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
利用直线与平面平行的判定定理，我们可以得到：
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。
（3）两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
★★ 几点说明 ★★
1、在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”。
2、解决有关平行问题时，应注意以下结论的应用
（1）经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（3）已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面。
（4）如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。
（5）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面。
（6）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（7）两平行平面之间的距离处处相等。
（8）平行于同一个平面的两个平面平行。
（9）平行于同一条直线的两条直线平行。
（10）平行于同一条直线的两个平面平行或相交。
（11）平行于同一个平面的两条直线平行、相交或者异面。
3、两平面平行问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关系相互转化的示意图：
★★ 平面的基本性质部分 ★★
【典型例题】
【点线共面问题】
例1. 如图所示，已知四条直线两两相交且不过同一交点，交点分别为A、B、C、D、E、F。求证：四直线共面。
分析：先证明确定一个平面，
然后证明；
或分别证明直线确定一个平面，
确定一平面，然后证明重合。
解法1：，
确定一平面。
同理。
又。
同理可证：。
所以四直线共面。
解法2：，
直线确定一平面，设为。
又，
直线确定一平面，设为，
又，
。
因为经过不共线的三个点有且只有一个平面，所以重合。
故四直线共面。
点评：所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
（1）证明点线共面的主要依据
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本性质1）
②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本性质2）
（2）证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合．
③反证法．
（3）具体操作方法
①证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内．
②证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
【点共线、线共点问题】
例2. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、R、Q三点共线
解析：（1）如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以。
在正方体中，，
所以。
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面。
（2）在正方体中，设确定的平面为，又设平面为。
因为，
又，所以。则Q是的公共点，
同理，P点也是的公共点，
所以。
又，
所以，
则故P、Q、R三点共线。
点评：1、所谓共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上
（1）证明三点共线的依据是基本性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个基本性质应进一步理解下面三点：
①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；
②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；
③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
（2）证明三点共线的常用方法
方法一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据基本性质2知这些点都在交线上．
方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
2、所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
（1）证明三线共点的依据是基本性质2.
（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问题．
【异面直线所成的角】
例3. 已知正方体的棱长为。
（1）求所成角的正弦值；
（2）M，N分别为的中点，求证：，且；
（3）求所成角的余弦值（O是上底面中心）。
分析：作出正方体的直观图，因为，所以异面直线所成的角为直线所成的角，异面直线所成角即为直线BC与BO所成的角。
解析：如图所示。
（1），
则所成的角就是所成的角。
在中，
（2）由，得，则MN为等腰底边上的中线，
。
在矩形中，由M为对角线交点知，，且N为的中点，。
（3），
即为OB与所成的角，
又，
★★ 空间中的平行关系 ★★
【线面平行的判定与性质】
例1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且。
求证：PQ//平面BCE。
分析：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质。
证明：方法一：如图1所示，作PM//AB交BE于M，作QN//AB交BC于N，连接MN。
正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
即四边形PMNQ为平行四边形，。
又，
。
方法二：如图2，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，
又平面BEC，面BEC，平面BEC。
点评：证明直线与平面平行的三种方法
（1）利用定义：证明直线l与平面没有公共点，这时直接证明往往较困难，一般是结合反证法来证明，这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交于一点”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视
（2）利用直线与平面平行的判定定理
使用定理时，所找到的两条直线，一条应在平面外，一条应在平面内，没有这种内外关系的保证，判定定理不成立．
（3）利用平面与平面平行的性质：把面面平行转化为线面平行．
①已知直线在两平面之一上，由两面平行，则平面内的直线与另一平面无公共点，推得线面平行．
②一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行．
【线线平行的判定及应用】
例2. 如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行。
已知求证：
证明：方法一：如图甲，平面和平面交于b，在b上任取一点A，设过a，A的平面与平面相交于直线。
则
设过a，A的平面与平面相交于直线，
则都过点A且和平行，
，重合后的直线既在内又在内，因而即为交线b，故。
方法二：如图乙，设过a的两个平面分别与平面相交于直线。
，则c 平行于平面而b为过c的平面与平面的交线。
。
方法三：如图丙，在a上任取一点A，
作。
。
设AB、AC确定平面。
又。
点评：证明线线平行的方法：
（1）利用线线平行的定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：变两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
转化的思想在立体几何中贯通全篇，转化途径是把立体几何问题转化为平面几何问题来解决，即把三维空间降到二维空间处理，如用三个公理和公理3的三个推论证共面，用三垂线正逆定理，把异面直线垂直问题转化为共面直线垂直问题．用转化思想解题另一途径是把线线平行（或垂直）转化为线面平行（或垂直），再转化为面面平行或垂直，这种转化是相互的，同时还应看到不仅平行自身转化，垂直自身转化，还有平行和垂直相互转化．
【面面平行的判定】
例3. 如图所示，在正方形中，其棱长为1。
（1）求证：平面；
（2）求平面间的距离。
分析：本例主要考查两平面平行的判定以及线线平行、线面平行、线面垂直关系的相互转化。在解答中要注意利用正方体中的线线平行、面面平行、线面垂直关系。
证明：（1）方法一：
为平行四边形
方法二：易知确定一个平面，于是，
方法三：连接，
（2）设，
。
由（1）方法三可知，线段EF的长就是这两个平行平面的距离，连接EO，DF。
，E是BF的中点，得，
同理，，
，
即平面。
点评：证明面面平行的方法有：
（1）面面平行的定义；
（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化。
【面面平行的性质】
例4. 如图所示，平面，点，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE：EB=CF：FD。
（1）求证：；
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长。
分析：本例主要考查面面平行的性质定理和异面直线的有关知识，以及空间问题平面化的思想。
解析：（1）证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面ABDC=AC，
，
②当AB与CD异面时，设平面，且。
在AH上取一点G，使AG：GH=CF：FD，
又，
又。
。
综上，。
（2）解：如下图，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF。
分别为AB，CD的中点，
点评：面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用有关定理来解决问题，如在本例的第二种情况中，面面平行线面平行平行四边形线面平行面面平行线面平行．
由面面平行的定义可知，一个平面内的任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行于另一个平面．
【模拟试题】
1. 空间两条互相平行的直线指的是（ ）
A. 在空间没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
2. 已知点A，直线a，平面。①；②；③；④。以上命题表述正确的命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 下列推理，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. A、B、CA、B、C，且A、B、C不共线重合
4. 在空间内，可以确定一平面的条件是（ ）
A. 两两相交的三条直线
B. 三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C. 三个点
D. 三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
5. 过空间一点P作与直线a成60°角的直线有（ ）
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条
6. 如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直。
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②④
C. ③④ D. ②③④
7. 对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。
其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. （2006年湖南卷·理）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 12条
9. 若直线平面，则条件甲：，是条件乙：的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
10. 已知直线m、n和平面，下列命题中的真命题是（ ）
A. 如果是异面直线，那么
B. 如果是异面直线，那么n与相交
C. 如果共面，那么
D. 如果m、n共面，那么
11. 下面四个命题正确的个数是（ ）
①如果a、b是两条直线，，那么a平行于经过b的任何一个平面。
②如果直线a和平面满足，那么a与内的任何直线平行。
③如果直线a、b满足，则直线。
④如果直线a、b和平面满足。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12. 已知a、b、c是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下面六个命题：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
其中正确的命题是（ ）
A. ①④ B. ①④⑤ C. ①②③ D. ①⑤⑥
13. 当A点在平面内，点B不在平面内，则直线AB与平面内的直线的位置关系可能有__________。
14. 正方体中，M是AB的中点，则对角线所成角的余弦值为_________。
15. 已知P为所在平面外一点，平面分别交线段PA、PB、PC于、、，若，则_________。
16. 如图所示，在正方体中，E、F、G、H分别是棱CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面。
17. 如图所示，在正方体中，E为AB的中点，F为的中点。
求证：（1）E、F、、C四点共面。
（2）CE、、DA三线共点。
18. 已知在正方体中，E、F分别是、的中点，求证：平面BDF//平面。
19. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ。
求证：PQ//平面CBE。
20. 如图所示，平面，线段AB分别与、交于M、N，线段AD分别交、于C、D。线段BF分别交、于F、E，若AM=9，MN=11，NB=15，，求的面积。
21. 如图所示。已知平面平面，AB与CD是两条异面直线，且。如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，则平面。
【试题答案】
1. 解析：两条平行的直线必共面，故只有D正确。
答案：D
2. 解析：①中若a与相交，且交点为A，则①不正确；②中“”符号不对；③中A可以在内，也可在外，故不正确。④中符号“”错。
答案：A
3. 解析：由公理1、2、3知A、B、D正确，选项C中，点A也可能在平面内。
答案：C
4. 解析：A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三直线不一定在同一个平面内，故排除A；
B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；
对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；
只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由公理3知其确定一个平面。
答案：D
5. 解析：不妨令，则作出直线与a成60°后以a为轴旋转得出的无数条直线与a成60°角。故选择D。
答案：D
6. 解析：把平面展开图折叠成正方体如下图所示。由图可知①BM与ED异面；②CN与BE平行；③CN与BM所成角∠ANC=60°；④。
答案：C
7. 解析：其中由条件①④可分别推得三条直线共面。由条件②③都不能推出三条直线共面，例如正方体中从一个顶点出发的三条棱，它们就不共面；正方体中三条互相平行的棱也不共面。
答案：B
8. 解析：如图，与EF平行的有4条，与HF平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面平行，同等位置有4条，总共12条。故选择D。
答案：D
9. 解析：当时，直线l与m可能平行，也可能异面，故充分性不成立；当时，或，故必要性不成立，所以选D。
答案：D
10. 解析：如下图所示：
①②③可分别得出A、B、D均不正确，故选C。
答案：C
11. 解析：①a、b可确定平面，
即a不平行于过b的平面，
②，则a、b位置关系应为或a、b异面。
③，，则a、b位置关系应为相交、平行或异面三种情况。
④，可能。
故选择A。
答案：A
12. 解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A。
答案：A
13. 解析：如图，其中，
与a相交，与b异面。
答案：相交或异面。
14. 解析：设正方体的棱长为a，过B作BN//MC，BN交DC的延长线于点N，则，在中，由余弦定理得：
答案：
15. 解析：如下图所示，
，
、PB确定平面。
又，
。
同理。
。
又，
。
答案：4：25。
16. 解析：平面平面，故线段FH上任意点M与H相连，有MN//平面。
答案：线段FH。
17. 证明：（1）分别连接EF、、
E、F分别是AB和的中点，。
又，
为平行四边形。
确定一个平面。
、F、、C四点共面。
（2），
直线必相交，设。
是平面ABCD与平面的公共点。
又平面平面，
。
、、DA三线共点。
18. 证明：如下图所示，取的中点G，连结EG、，
则有。
又，
。
四边形为平行四边形。
。
又，
四边形为平行四边形。
。
又，
BF、平面，且，
平面。
19. 证明：作PM//AB交BE于点M。作QN//AB交BC于点N，则PM//QN。
由于，
又。
。
四边形PMNQ是平行四边形。
。
综上，，
又，
根据直线与平面平行的判定定理，可得。
20. 解析：，
经过、AD可确定平面ABD。
、ND分别是平面ABD与、的交线。
则∠FMC=∠END。
21. 解析：由已知条件可知EF//AB，FG//CD。
与CD可确定一个平面，
设平面CDGF，由于，
故有。
如果E，F，G三点共线，则有平面平面ABC，
即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾。
故E，F，G三点不共线。即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线。
平面，而，故平面EFG//。
