爱华网第九章 计数原理与概率
§9.1 计数原理
一、知识导学
1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法.
2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，……做第ｎ步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法.
注：分类计数原理又称加法原理
分步计数原理又称乘法原理
二、疑难知识导析
1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.
2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.
3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.
4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.
5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.
三、经典例题导讲
[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （）
A．12 种 B．7种 C．24种 D．49种
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．
[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？
错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共3＋3＝6个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列8＋6＋4＋2＝20个.
错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.
[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.
解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.
由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.
解法二：第一步，排百位有6种选择，
第二步，排十位有4种选择，
第三步，排个位有2种选择.
根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.
注：如果6能当作9用，解法1仍可行.
[例4]集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？
分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.
解： 从集合A到集合B的映射共有=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A为定义域B为值域的不同函数共有16－2＝14个.
或
[例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？
解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.
（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.
（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个
（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个
评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.
四、典型习题导练
1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．18种 D．36种
2．集合A＝｛1,2，－3｝，B＝｛－1，－2,3，4｝，从A、B中各取1个元素作为占点P的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？
3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？
4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？
5．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
6. 某地提供A、B、C、D四个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？
§9.2 排列与组合
一、知识导学
1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.
2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.
3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.
4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.
规定：0！＝1
5.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.
6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.
7.本节公式
（1）排列数公式
（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）
（2）组合数公式
（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）
（3）组合数的两个性质
规定：
二、疑难知识导析
1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.
2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.
3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.
解排列应用题时应注意以下几点：
①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.
②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.
③恰当分类，合理分步.
④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.
解排列应用题的基本思路：
①基本思路：
直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；
间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.
②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.
4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.
5．排列与组合的区别与联系：
①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.
②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.
③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数.根据分步计数原理，得到＝.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.
6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.
三、经典例题导讲
[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于10个元素到6个元素的映射，故有种不同的坐法.
错因: 没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本题事实上是一个排列问题.
正解： 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有＝151200种坐法.
[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 的系数，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？
错解：从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 的系数，ｂ，ｃ的取值，交换，ｂ，ｃ的具体取值，得到的二次函数就不同，因而本题是个排列问题，故能组成个不同的二次函数.
错因: 忽视了二次函数 的二次项系数不能为零.
正解：，ｂ，ｃ中不含0时，有个；
，ｂ，ｃ中含有0时，有2个.
故共有＋2＝294个不同的二次函数.
注：本题也可用间接解法.共可构成个函数，其中＝0时有个均不符合要求，从而共有－＝294个不同的二次函数.
[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？
错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有 ＝3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有＝9个；上底面取3点时，下底面取一点，有 ＝3个.综上知，共可组成3＋9＋3＝15个不同的三棱锥.
错因: 在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法.
正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有＝15取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥.
[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：
（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？
（4）男女生相间的坐法有多少种？
（5）女生顺序已定的坐法有多少种？
解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有种坐法；而大元素内部的小元素间又有种坐法.故共有＝576种坐法.
⑵因为女生 互不相邻，故先将4名男生排好，有种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有种排法.故共有＝1440种排法.
⑶类似（1）可得：＝288种
⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有种排法.故共有＝144种排法.
⑸7个元素的全排列有种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有排法，可知
中重复了次，故共有÷＝＝840种排法.
本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有＝840种排法.
[例5] 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？
解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有＝7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有＝42种；从三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有＝35辆.由分类计数原理知，共有7＋42＋35＝84种抽调方法.
本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而有＝84种抽调方法.
[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？
解：若千位数字与个位数字中有一个为0 ，则另一个为2，且0只能在个位，2在千位，这样有四位数有个.若千位与个位都不含有0，则应为1与3、2与4，3与5、4与6,5与7、6与8,7与9，这样的四位数有7××个.
∴共有＋7×＝840个符合条件的四位数
四、典型习题导练
1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
2. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
3．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？
4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？
5. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？
6.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.
（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？
（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？
（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？
（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？
