爱华网关于反比例函数的图象与性质（1）的教学设计
一、 设计理念：
本节课学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，初步认识具体的反比例函数图象的特征。反比例函数的图象是在学生已经知道了研究函数图象的一般方法，以及一次函数的图象是一条直线的基础之上进一步去研究的。同时，反比例函数的图象也与众不同。针对教材及学生的实际情况，我在设计本节课的教学环节时，围绕着增加学生学习的兴趣，降低思维难度，减少学生对函数学习的畏惧心理，强化主动的学习动机，为学生自信的心理品质的发展和学习的主动性培养提供良好的心理环境。
【教材地位】
本节课是在介绍了反函数的概念后的一节，是进一步对反函数的图象性质的探索和认识。
【学生情况】
学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较为丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力。
【教材地位】
本节课是在介绍了反函数的概念后的一节，是进一步对反函数的图象性质的探索和认识。
【学生情况】
学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较为丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力。
1
【教学方法】
1、教法：师生互动，引导发现
2、学法：自主探究，合作交流
【教学思路】 复习并提问引入——引发认知冲突探究新知（认识反比例函数图像）——探索图象性质——应用提高
四、教学过程：
（一）、创设情境、提出问题：
活动一：
1.一次函数的图像是_____.
2.请同学们按照表中的数据画出六个长方形，其中∠A为六个长方形的
就在我们手中。
通过本题鼓励学生大胆猜想——反比例函数的图像会是什么样子的？ 揭示课题：反比例函数的图象与性质（1）（板书）
（二）、科学验证、解决问题：
6活动二： 画出反比例函数 y的图象 x
【设计意图】: 在教师的引导下，让学生通过亲自动脑、动手实践去科学地验证自己的猜想，培养学生科学的态度与精神。
师：画函数图象的步骤是什么？
生：列表——描点——连线
师：（大屏幕投影：表格）根据前面学习一次函数的经验，列表时应注意什么？ 生：应注意自变量x的取值范围，本题当中x≠0。
师：是不是把所有的x不等于零的值全都列举出来？
生：不是。
2
师：那怎么取值呢？
（学生讨论）
生：为了便于计算和描点，我们通常取x>0和x<0的一些整数值。
师：（大屏幕投影）那么，对应的y值分别是多少呢？
(学生填表、口答答案。
)
【设计意图】: 让学生回忆、类比，注意比较与画一次函数的图象时列表的相同点与不同点。
（大屏幕）描点——教师利用多媒体课件演示描点的动
画过程。（友情提醒：描点可要细心哦﹗）
【设计意图】: 让学生独立描点，观察描出的点的位置。
培养学生细心的良好品质。
师：如何把描出的点连接起来，从而画出它的图象呢？
（①学生连接、 ②教师利用实物投影仪展示学生成
果。） 6师：这里有同学们画的一些反比例函数y的图象，我从中选出了四幅图象，x
请同学们仔细观察并进行讨论这四幅图象画得对还是不对？如果不对，它们分别错在哪里？为什么？
（学生讨论分析。学生的激情一下子被调动起来了，下面是一片讨论声，学生纷纷欲试，纷纷举手。）
生：第一幅图象是对的；第二、三、四幅图象都是错误的，错误的原因是：没有
注意到自变量x的取值范围是x≠0的全体实数。
（学生鼓掌喝彩）
师：一位同学有这样一种想法：“在相邻的两点之间用线
段来连接。”这种想法对吗？如果不对，错在哪里？
为什么？
（学生分组讨论。课堂气氛再一次达到高潮，学生
相互讨论、合作交流。）
生：除了线段两个端点的坐标满足函数解析式之外，线段
上其余各点的坐标都不满足函数解析式。所以用线段
连接的方法是错误的。
6师：除了已描好的点之外，你还能不能找到其它坐标满足函数解析式y的点，x
比如横坐标在大于1小于2之间？
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（学生纷纷找点，教师利用多媒体课件演示填充点的过程，验证用线段连接的方法是错误的。）
师：那么，应当用什么样的线来连接呢？
生：应当用平滑的曲线顺次连接。
【设计意图】: 师生互动、生生互动，让学生充分参与、经历画图的过程，体会知识的形成过程；通过对学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、以及学生的认真观察、思考，探索得出重要的结论：应当用平滑的曲线顺次连接。学生自发的为自己发现的结论鼓掌，让学生品尝到成功的喜悦，增强学生的自信心。）
（教师利用多媒体课件演示连接的过程：用平滑的曲线先顺次连接第一象限内的各点，得到图象的一个分支；然后再顺次连接第三象限内的各点，得到图象的另
6一个分支。把两个分支组合在一起就得到了反比例函数 y的图象。）
x
【设计意图】:①通过动画演示，让学生更直观的知道图象的形成过程，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生体会事物是有规律的变化的观点；②让学生明白只有通过自己动脑、动手亲自去实践，得到的答案才是最可靠的。培养学生科学的态度与精神。
4
6
x
二、描点：
三、连线：
解：y
师：刚才我们画出了反比例函数 y66的图象。请同学们画出反比例函数yxx
的图象
【设计意图】锻炼学生独立画图能力。
师：（大屏幕投影：显示画图象的全过程）
二、 描点：
三、 连线：
（三）探索比较 发现规律
活动3
5
66与y=-的图象。 xx
（1） 你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
（2） 每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3） 在每一个象限内，y随x的变化如何变化？ k1y或ykx）或 xyk(k0)x【设计意图】学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的共同特征（都是双
曲线），以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的，让学生体会努力后成功的感觉。
k由学生分小组讨论，观察思考后进行分析、归纳，得到反比例函数y=的性x
质：
形状: 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;
位置: 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内，在每个象限内y随x增大而减小;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内，在每个象限内y随x增大而增大;
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.
()
学生通过对反比例函数图象进行观察、分析,总结出了反比例函数的性质,使学生明白性质的可靠性;通过对函数图象的位置与k值符号关系的探讨,以及反比例函数的两个分支在相应的象限内,y随x值的增大(或减小)而增大(或减小)的探讨,有利于加深学生对性质的理解和掌握;使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识产生、形成的过程,逐步达到培养学生抽象概括能力和激发求知欲望;同时通过对反比例函数增减性的讨论,对学生进行辩证唯物主义思想教育.
问题：观察反比例函数y=
四、 运用新知 拓展训练
活动4
问题：
1.下图给出了反比例函数y=
象吗?为什么?
6 222和y=－的图象,你知道哪一个是y=－的图xxx
设计意图：
拓展练习是为了让学生灵活运用反比例函数性质解决问题,学生在研究问题的特点时,能够紧扣“性质”进行分析,达到理解并掌握性质的目的. 师生形为：
学生独立思考完成。
教师巡视，引导“学困生”完成任务。
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有___________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有___________.
（1） y＝
、
3． 3
学生活动：学生先自己独立完成，然后请学生自己讲解。 设计意图：对反函数图象性质认识的及时应用和巩固。
mx0 ② y =－mx+1 ③ y = mx ④ y =(m x
+ 1)x中，y随x增大而增大的是（ ）
A，①② B，②③ C，①③ D，③④
15、在同一直角坐标系中，函数y = 3x与y的图象大致是（ ）
x10.3107； （2）y＝； （3） y＝； （4） y＝. 2x100xxx4、若m＜－1，则下列函数：①y
7
2my(m1)x6、若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值． 2
7、已知反比例函数yk
x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求k的值，
求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
8、如图，点P是反比例函数y
1
xx PA垂直在x轴，垂足为A，设OAP的面积为S，
则S的值为
9、(03上海) 在平面直角坐标系内，从反比例函数y(k0)x的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 。
五、交流体会、布置作业：
师：本节课学习了哪些知识?在知识应用过程中需要注意什么?你有什么收获? 作业：课本练习1、2
六．结束寄语
七、教学反思：
《新课程标准》强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程。课堂应较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与、勤于动手成为教学过程中教师的共识。为此，本节课主要通过开放式的提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点。用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神。《新课程标准》要求，我们应该努力提高计算机技术应用于数学教学过程的水平，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，改善学生的学习。为此，本节课大量运用了现代信息技术，如：学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、用平滑的曲线连接的过程等等。让学 8
生更能直观的知道图象的形成过程，有助于学生对数学知识的理解和掌握。
基本的思维能力、科学态度、理性精神是未来公民生存与发展所需要的最基本也是最重要的责任。为此，本节课在猜想反比例函数的图象到底是什么时，鼓励学生用科学的态度、探索的方法来验证，而不是采用“告诉”的方式；当学生在连接各点遇到困难时，引导他们寻找解决的问题的思路，并在解决问题的过程中总结获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案。《新课程标准》强调，在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面，我们应当关注两件事：①向学生提供具有挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难的活动；②让他们在从事这些活动的过程中获得成功的体验，„„为此，本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，锻炼了学生克服困难的意志，增强了学生的自信心。
不足与改进：在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少。我的改进设想是：留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性；在活动一画出反比例函数的图象后，没有让学生趁热打铁“看图说话”，说出具体的图象的特征，为活动二猜想作很好的铺垫。我的改进设想是：在活动一画出反比例函数的图象后，追加这样一个问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？” 留给时间让学生讨论、交流，这样改进之后，必将能更大的激发学生的探索热情，更能体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的特征埋下伏笔，能增强学生学习的信心。 9
