爱华网1427
由（1）知，E（3，3
（3）①若∠FEC＝∠BAE，则△EFC∽△ABE ∵OB垂直平分AD，∴AE＝DE ∴∠D＝∠BAE，∴∠FEC＝∠D
∴∠ECF＝∠DEB＝∠OEC，∴OE＝OC＝4 过B作BG∥DC交OA于G
∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 由△OEC∽△OBG，得OB＝OG＝6
∴BE＝2，AB＝OA －OB ＝27
11
由△OEF∽△OAB，得EF＝2AB＝7，OF＝2OB＝3
∴E（3，7）
②若∠ECF＝∠EAB，则△CFE∽△ABE ∵∠D＝∠EAB，∴∠ECF＝∠D ∴CA＝DA
15
由（1）知，此时E（5，3
18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24 cm．设⊙O1的半径为x cm． （1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
解：（1）连接O1A
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B ∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D
1
∴∠AO2O1＝2CO2D＝30°
AO1
在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝OO 12
∴O1O2＝
AOxAO＝sin30°＝OO＝2x
sin∠AO2O112
∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
(360－60)×π×(24－3x)
y＝0.45πx＋0.06×
360
2
2
21
2
＝0.9πx－7.2πx＋28.8π
2
＝0.9π(x－4)＋14.4π
所以当x＝4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． ①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝___________° ；
②若⊙O的半径是1，AB＝2，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
解：（1）①90
②如图，连接AB、OA、OB
在△AOB中，∵OA＝OB＝1，AB＝2
222
∴OA ＋OB ＝AB ，∴∠AOB＝90°
︵1
当点P在优弧AB上时，∠AP1B＝2AOB＝45°
2
︵1
当点P在劣弧AB上时，∠AP2B＝2360°－∠AOB)＝135°
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图① ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB，∴∠APB＝∠MAN－∠ANB
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图② ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB＝∠APB＋(180°－∠ANB) ∴∠APB＝∠MAN＋∠ANB－180°
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③ ∵∠APB＋∠ANB＋∠MAN＝180° ∴∠APB＝180°－∠ANB－∠MAN
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④ ∠APB＝∠MAN＋∠ANB
①
②
20．（江苏泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝5，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
（备用图）
（1）AB＝AC．理由如下： 连接OB
∵AB与⊙O相切于点B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90° ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90° ∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB
∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP ∴AB＝AC
（2）设⊙O的半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5－r
22222
∴AB ＝OA －OB ＝5－r
AC ＝PC －PA ＝(25)－(5－r)
2222
∵AB＝AC，∴5－r ＝(5)－(5－r) 解得r＝3
22222
∴AB＝
AB4OB35－3＝4，∴sin∠BOP＝OA＝5，cos∠BOP＝OA＝5
23
过B作BD⊥OP于D
41239
则DB＝OB2sin∠BOP＝3×5＝5，OD＝OB2cos∠BOP＝3×5＝5
96
∴DP＝OP－OD＝3－5＝5
6∴PB＝DB ＋DP ＝5
5
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN 111
则OE＝2AC＝2AB＝2
5－r
由题意，⊙O与直线MN有交点 1
∴OE≤r，即 2
5－r≤r，∴r5
又∵直线l与⊙O相离，∴r＜5 ∴5≤r＜5
21．（江苏常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）．以点P5m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．
解：（1）B（3m，0），E（m，4m） （2）BQ与EQ相等，理由如下： 易得D（0，3m），作EK⊥y轴于K 则得OB＝OD，EK＝DK
∴△BOD和△EKD均为等腰直角三角形 ∴∠EDB＝90°
∴BE为△EDB外接圆的直径
∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45° ∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE
24
中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析【100题精选】
例1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；
（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．
Q
（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点 ∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1 ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC ∴∠BO1F＝∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点
∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90° ∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E ∴△DO1F≌△FO2E
（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE ∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3 ∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝2
∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90° ∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝32 同理：∠BAP=90°，AB=AP＝2 ∴CG＝62，∠GAB＝∠QAP ∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG
∵∠ACB＝90°，∴BCAB －AC ＝42
Q
图
1 图2 图
3
Q
∴BGBC ＋GC ＝226，∴PQ＝226
（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH
、
1
AD、DM
∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG
由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90° ∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4
∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH 同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90° ∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90° ∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上
Q A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上 且∠DBH＋∠DAH＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7
∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM ∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°
∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB
又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线
︵
2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B
重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；
（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
B
E
O A
11
解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝2BC＝2
15在Rt△BOD中，OD＝OB －BD ＝2
（2）存在，长度保持不变的边为DE 连接AB
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝OA ＋OB ＝22 ∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点
B
1
∴DE＝2AB＝2
（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F ∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝4－x ∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
O A
B
2
∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45° 4－x 在Rt△DOF中，DF＝OF＝
2
在Rt△DFE中，EF＝DE －DF ＝
4－x 22－＝x
22
4－x 4－x 112
∴y＝OE2DF＝x)
22222
4－x ＋x4－x
即y＝0＜x2）
4
3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP＝5时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．
2
3
∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC ∴∠CPN＝∠A
4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？
（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．
解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接ME ∵⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切
∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30° ∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120° ∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90° 11
∴在Rt△AMN中AM＝2AN＝2x
3
∴ME＝AM2sin60°＝4x
3
即y＝4x（x＞0）
（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、
则MF＝FD＝MG＝y
3
331
且AF＝MF2cot60°＝3y＝34
x＝4x
13
∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴4x＋4x＝4
∴x＝8(3－1)
（3）作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距①当点N在线段AB上时 ∵AB＝10，∴BN＝10－x
3
∴FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝2(10－x)
4
113
∵AF＝4x，AF＋FD＝AD，∴4x＋210－x
104－123∴x＝ 11
②当点N在AB延长线上时
3
则FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝2(x－10)
13x＋x－10)＝4 42
∴x＝
104＋123
11
∴当x＝
104－123104＋123或x＝CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的1111
长相等
5．（上海模拟）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．
︵︵
（1）当AC＝CD时，求弦CD的长；
（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．
备用图
解：（1）连接OC ︵︵
当AC＝CD时，∠POC＝∠DOC ∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4 ∴∠P＝∠POC＝∠DOC
备用图
DOCD
∴△DOC∽△DPO，∴DP＝DO
4CD
即4＋CD＝4，解得CD＝25－2
1
（2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝2y
︵
①当点C在AD上时
∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P ∴△PBC∽△PEO，∴
PB
PC
PE
＝
PO
x＋4
即
2
＝
4
12
x＋4 ，∴y＝ 4 x
＋2x－4
4
＋y 2
显然，B不与A重合，∴x＜4
当D与C重合时，PC是半圆O的切线 ∴PC⊥OC，∠PCO＝90°
此时△PCO是等腰直角三角形
∴OP＝2OC，即x＋4＝42，x＝2－4 ∵D不与C重合，∴x＞42－4 ∴42－4＜x＜4
∴y＝1
x2
4
＋2x－4（2－4＜x＜4）
②当点C在︵
AD
外时
同理，△PBC∽△PEO，∴ PB PC
PE ＝
PO
x＋4
即
2
＝
4
12
x＋4 ，∴y＝－ 4 x
－2x＋4（0＜x＜42－4）4
－y 2
（3）①当点C在︵
AD
上时，过D作DG∥OP交BF于G 则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF
∴
DE
DG
DG
DF
＝
1
PE
＝
PB
＝
OB
＝
OF
4＋1
y
∴
DE
1
2
PE
＝
5
，即
＝1
y
4
＋y5，解得2＝1
2
∴CE＝1，PE＝5，OE＝
4
－1
15
∴tan∠P＝
OE
15
PE
＝
5
②当点C在︵
AD
外时，过D作DG∥OP交BE于G
则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO ∴
DE
＝
DG
DG
DF
1
PE
PB
＝
OB
＝
OF
＝
4－1
y
∴
DE
1
2
PE
＝
3
，即
＝
1
y
4
－y3，解得2
＝1
2
∴CE＝1，PE＝3，OE＝OE15
∴tan∠P＝PE＝3
4－115
3
6．（上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝5，⊙B的半径长为1，⊙B交边
BC于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1
3
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝5
∴AB＝10，BC＝AB －AC ＝过点M作MD⊥AB于D
10－6＝8
MD3
在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝MB＝5
36
∵MB＝2，∴MD＝5×2＝5＞1
∴⊙M与直线AB相离
6
（2）∵MD＝5＞1＝MP，∴OM＞MP
若OP＝MP，易得∠MOB＝90° OBBC88
∴cosB＝BM＝AB＝10，∴OB＝5
842
∴OA＝10－5＝5
若OM＝OP，过O作OE⊥BC于E EBBC815
∴cosB＝OB＝AB＝10，∴OB＝8
1565
∴OA＝10－8＝8
4265
∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为5或8 （3）连接ON，过N作NF⊥AB于F
3
在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝5，NB＝y
344∴NF＝5y，BF＝5y，∴OF＝10－x－5y
∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y 在Rt△NFB中，ON ＝OF ＋NF
42322
∴(x＋y)＝(10－x－5y)＋(5y)
222
250－50x
∴y＝x＋400＜x＜5）
7．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y． （1）求BD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE⊥OD时，求AO的长．
B 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB BDOD∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴OC＝AC
BD6
∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴6＝4，∴BD＝9
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B ABAO
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴AO＝AC
C
D
B
y＋13x
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴x＝4
12
∴y＝4x－13
12
∵0＜y＜8，∴0＜4x－13＜12，解得213＜x＜10
∴定义域为213＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A
∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO
12
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴4x－13＋4＝x
∴x＝2±210（舍去负值） ∴AO＝2±210 8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：
（1）AG＝DF； （2）D、H、E三点共线． A
E
C D F
证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF ∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90o
又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF 又由切线长定理，得BG＝BD ∴AG＝DF
（2）连接DE、EH、AI、EI
∵∠AEI＝∠AHI＝90o，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上 ∴∠AEH＝∠AIB
1
∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90o＋2∠C
A
E
C
1
∴∠AEH＝90o＋2∠C
D
∵CD＝CE，∴∠DEC＝
180o－∠C1
＝90o－C 22
F
∴∠AEH＋∠DEC＝180o
∴D、H、E三点共线
︵
9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是MN上一动点，
BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q． （1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形； （3）试说明3PQ ＋OA 是定值．
N
C
G
O
（1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON ∴四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC ∵E、G分别是AB、CO的中点 ∴AE∥GC，AE＝GC
9
2
2
N
P
D
B A M
O
备用图
M
N
P
B C G
∴四边形AECG为平行四边形，∴CE∥AG 连接OB
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点 ∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ ∴四边形EPGQ是平行四边形
（2）当∠CED＝90°时，□EPGQ是矩形 此时∠AED＋∠CEB＝90°
又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE
N
ADAE∴△AED∽△BCE，∴BE＝BC C
yx2222
设OA＝x，AB＝y，则 ＝x，得y＝2x
y2
G
O
D
A
M E
又OA ＋AB ＝OB ，即x＋y＝1
222222
322
∴x＋2x＝1，解得x＝3
3
∴当OA的长为 3时，四边形EPGQ是矩形
N
D
B A M
（3）连接GE交PQ于点O′，则O′P＝O′Q，O′G＝O′E 过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′ PGPEGE
由△PCF∽△PEG得，PF＝PC＝FC＝2
C G
2111
∴PA′＝3A′B′＝3AB，GA′＝3GE＝3OA
O
11
∴A′O′＝2GE－GA′＝6OA
PQ AB OA
在Rt△PA′O′ 中，PO′ ＝PA′ ＋A′O′ ，即 4＝9＋36
2
2
2
222
122222
又AB ＋OA ＝1，∴3PQ ＝AB ＋3
1142222
∴3PQ ＋OA ＝AB ＋3＋OA ＝1＋3＝3
10．（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M、N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝33，MN＝222． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R；
︵
（3）点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF＝5，将△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使
它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴OE
⊥AE ∵OB⊥AT于点B，∴∠AEC＝∠OBC＝90° 又∵∠ACE＝
∠OCB，∴△ACE∽△OCB ∴∠COB＝∠EAT＝30°
（2）在Rt△AEC中，CE＝AE2tan30°＝3 ∠OCB＝∠ACE＝60°
设BC＝x，则OB＝3x，OC＝2x (222
连接ON，得(3x)＋(22)＝(2x＋3) 解得x＝1或x＝－13（舍去），∴x＝1 ∴R＝2x＋3＝5
（3）这样的三角形有3个 画直径FG，连接GE
∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO ∴△GEF即为所要画出的三角形
∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长FG＝2R＝10，OC＝2 ∴△GEF与△OBC的周长之比为5 :1
11．（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫．．．做线段与线段的距离． ．．a．．．．b．．．．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是___________；
当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为___________． （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，
求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M．
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； ②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
（图1）
（图2）
（图3）
解：（1）2
（2）当4≤m≤6时，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d＝2 当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长
∴d＝
2－(4－m)＝－m＋8m－12
－m＋8m－12（2≤m＜4）
∴d关于m的函数解析式为：d＝?
?2（4≤m≤6）
（3）①由题意可知，由线段PE，EFG，线段GK，KNP所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π
︵
②∵m≥0，n≥0，∴点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和EF 易知△AOD是两直角边为1 :2的直角三角形
MH1MH
若△AMH与△AOD相似，则 HA＝2 或 HA＝2
MH当2≤m＋2＜4时，显然M1H1＞H1A，∴HA＝2
1
∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3 ∴m1＝3－2＝1
当4≤m＋2≤6即M2在线段CE上时，同理可求m2＝5－2＝3
︵M3H31
当6＜m＋2≤8即M3在线段EF上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴HA＝2
3
设M3H3＝x，则AH3＝2x，∴AH3＝2x－2
12
8222
又∵RH3＝2，∴(2x－2)＋x＝2，∴x1＝5，x2＝0（不合题意，舍去）
363626
∴OH3＝4＋2x＝5，∴m3＝5－2＝5
综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，相应m的值为1，3，265
12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O于点G．
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长； （2）当FH∥BE时，求FG的长；
（3）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．
D
C
B
解：（1）连接OF、EF
∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°
又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFE为矩形 ∴AE＝BF，∴DE＝CF
∵FH与⊙O相切，∴OF⊥FH ∵FH⊥CE，∴OF∥CE ∵BO＝OE，∴BF＝CF 15
∴AE＝DE＝2AD＝2
D
C
（2）作OM⊥FG于M，连接OF ∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90° AEAB
易证△ABE∽△DEC，∴DC＝DE
AE2
即2＝5－AE，解得AE＝1或4
①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4 5
∴BE＝5，CE＝25，OF＝2
D
85
由△CFH∽△CBE，得CH＝5
13
∴OM＝EH＝CE－CH＝25FM＝OF
35
5
－OM ＝
10
∴FG＝2FM＝35
5
②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝2
5，CE＝
5，OG＝
5
由△CFH∽△CBE，得CH＝5
5
∴OM＝EH＝CE－CH＝4555FM＝OG
－OM ＝
5
∴FG＝2FM＝65
5
（3）连接EF，设AE＝x
则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x 若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90° ①当点G在点F上方时
连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GM⊥EF于M 则∠FBG＝∠FEG＝45°
∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形
∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝11
2 EK＝1－ 2
x
FM＝x＋1－11
2 x＝1＋ 2
x
∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC ∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴
GM
EF
FM
＝
CF
1－1
∴
2x
2
1
＝
x
5－x，解得x9579571＝2x2＝25（舍去）1＋2
②当点G在点F下方时
连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M 则∠GBF＝∠GEF＝45°
∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形
∴KF＝EF＝2，EK＝22
BK＝x－2，GM＝KM＝111
2(
x－2)，FM＝2＋
2(
x－2)＝
2(
x＋2)
∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF ∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴
FM
EF
GM
＝
CF
1
∴ 2(x＋2) 2
1571571 ＝ 5－x ，解得x1＝ 2x2＝
)
2
2( x－2
14
D
C
D
D
9－57157
综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为 2或2
13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；
（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）． ①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
图
1 图2
（1）证明：连接PC，过B作BN⊥x轴于N
∵PC＝PA，∴∠1＝∠2
∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6 在Rt△OBN中，OB＝ON ＋BN ＝
∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1 ∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB ∵CD⊥OB，∴CD⊥PC ∴CD是⊙P的切线
（2）解：设⊙P的半径为r
∵⊙P与OB相切于点E，∴OB⊥PE
6＋8＝10
PEr
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝OP＝10－r
BN84
在Rt△OBN中，sin∠BON＝OB＝10＝5
r440∴10－r＝5，解得r＝9
404050
（3）①由（2）知r＝9，∴OP＝10－9＝9
10∴OE＝OP －PE ＝3
15
∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90° ∴四边形PCDE是矩形
∵PE＝PC，∴矩形PCDE是正方形 40
∴PE＝DC＝9
104020
∴BD＝OB－OE－DE＝10－3－9＝9
∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90° DFBD
∴△BDF∽△PCF，∴CF＝PC
4020－CF9980即CF＝40，解得CF＝279
②存在
在DE延长线上截取ET＝CF ∵四边形PCDE是正方形
∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC
∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF ∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45°
∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45° 即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF 又PG＝PG，∴△PGT≌△PGF ∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF
4080
设GE＝a，则DG＝9－a，GF＝27＋a
408040
又DF＝DC－CF＝9－27＝27
在Rt△DFG中，DF ＋DG ＝GF
2240240808
∴(27)＋(9－a)＝(27＋a)，解得a＝9
222
8
即EG的长为 9
︵
14．（浙江模拟）如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画BC交AB于D，且∠BDC
︵1
＝90°＋2∠A，点P是BC上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数；
︵
（3）当点P在BC运动时，过点P作直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在
这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．
A
A
B
16
C
B
C
备用图
——————————————————————————————————————— 解：（1）△ADC是等腰三角形 1
∵∠BDC＝90°＋2∠A
111
∴∠ADC＝90°－2∠A，∠ACD＝90°＋2∠A－∠A＝90°－2∠A
∴∠ACD＝∠ADC，∴△ADC是等腰三角形 （2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15° ∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80°
11
∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋2∠A＝90°＋270°＝125°
A
N C
B
∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40°
∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40°
︵
（3）存在．当点P运动至CD的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似
︵
∵P是CD的中点，∴∠ABP＝∠CBP 设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y°
11
则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋2x)＝90°－y－2x
11
∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－2x)＝90°－y－2x
∴∠PCB＝∠ACP，∴PC平分∠ACB
︵
∴当点P运动至CD的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点
1
连接AP，则AP平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋2x＝∠BPC
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似
15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝2，∠B＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．
（1）在点E移动过程中，当△ABE为等腰三角形时，求CF的长； （2）在点E移动过程中，求△ADF外接圆半径的最小值．
17
（2）设△ADF外接圆的圆心为O
∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝2r
当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小 由（1）知CF＝
42－BE1242182
BE＝－BE ＋BE＝－BE－2)＋33333
8
当BE＝22即E为BC中点时，CF最大，为3
81
此时DF＝3－3＝3
272
作FG⊥AD于G，则FG＝DG＝6，AG＝AD＋DG＝6
5
∴AF长的最小值为：AG ＋FG ＝3
252
∴△ADF外接圆半径的最小值为2＝6
16．（浙江模拟）已知直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上异于A的一点，以C为圆心的⊙C过点A，D是⊙C上的一点，如果以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，求D点的坐标．
解：由题意，得A（2，0），B（0，－2） ∴OA＝OB＝2，AB＝22
①若CD是平行四边形的边，则CA＝CD＝AB＝22 ∴点C的坐标为（2＋22，0）或（2－22，0）
当C（2＋22，0）时，点D的坐标为（4＋22，2）或（22，－2
18
当C（2－22，0）时，点D的坐标为（4－22，2）或（－22，－2） ②若CD是平行四边形的对角线，设AB、CD相交于点M 则CA＝CD＝2CM
22
而点C到直线AB的距离为2，所以CM≥2，即CA2CM
故此时A、B、C、D四点不能构成平行四边形
综上，若以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，则D点的坐标为：
17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DB＝AB，连接OB、DC相交于点E
，过点E作EF⊥OA于F，连接AE．
（1）如果以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形，求点E的坐标；
（2）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，求点E的坐标； （3）如果以点E、
C、F为顶点的三角形与△ABE相似，求点E的坐标．
解：（1）由题意，∠OBA＝90°，OC＝CA＝4，CD＞CA ①若DC＝DA 1
作DH⊥CA于H，则CH＝HA＝2CA＝2
∵∠DHA＝∠OBA＝90°，∠DAH＝∠OAB DAOA
∴△DHA∽△OBA，∴HA＝BA
2BA8
即2＝BA，∴BA＝2
∴OBOA －BA ＝214，DC＝DA＝42，∴DH＝DC －CH ＝7 ∵EF⊥OA，∴△ECF∽△DCH EFDH7
∴CF＝CH＝27
设CF＝x，则EF＝7x
∵∠OFE＝∠OBA＝90°，∠EOF＝∠AOB
19
EFAB
∴△OEF∽△OAB，即OF＝OB
7x22∴4＋x＝x＝3
214
1427
∴OF＝4＋x＝3，EF7x＝3
1427∴E（3，3
②若CA＝DA
11则BA＝2DA＝2CA＝2，OBOA －BA ＝215
作DH⊥CA于H，则△DHA∽△OBA DAOA48
∴HA＝BA，即HA＝2，∴HA＝1
∴CH＝3，DH＝DA －HA ＝15 EFDH15
由△ECF∽△DCH，得CF＝CH＝3
设CF＝3x，则EF＝15x
EFAB
由△OEF∽△OAB，得OF＝OB
15x∴4＋3x＝
21
，解得x＝3 15
15
∴OF＝4＋3x＝5，EF＝15x＝3
15
∴E（5，3
（2）①当点F在O、C之间时
∵∠ECF＞∠BAO，∴要使△ECF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠AOB 此时△OCE为等腰三角形，点F为OC中点，即OF＝2 过B作BG∥DC交OA于G
∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 ∵BG∥DC，∴△OEC∽△OBG
OEOC42D
∴OB＝OG＝63设OE＝2x，则OB＝3x
OEOA
由△OEF∽△OAB，得OF＝OB2x826∴2＝3x，解得x＝3
615∴OE＝2x＝3EF＝OE －OF ＝3
215
∴E（2，3
②当点F在C、A之间时
∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△CEF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠
OAB 此时DC＝DA
20
∴BQ＝EQ
（3）由（2）知，△BDE为直角三角形 易得DE＝2m，BD＝32m 在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m 在△BDE和△BOC中
DECO1
∠BDE＝∠BOC＝90°，且BD＝BO＝3∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC
∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°
22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H． （1）①直接写出点E的坐标：____________；
②求证：AG＝CH；
（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
图1
图2 备用图
1
解：（1）①（1）
2
②证明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC ∴∠GAE＝∠HCE
又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE ∴AG＝CH
（2）连接ED、OF、OB
∵D为OA中点，E为OB中点 11
∴ED＝AB＝，且ED∥AB
22
∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D 1
又直线GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝
2
又∵HC是⊙O的切线，∴HF＝HC
设AG＝m，则HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m 1
由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝＋m，FG＝1＋m
2
在Rt△OFG中，OG ＝OF ＋FG 1222
∴(2－m)＝1＋(1＋m)，解得m＝
3
222
55
∴OG＝2－m＝，∴点G，0）
33
15
设直线GH的函数关系式为y＝kx＋b，将点E（1，、G（，0）代入
23
??
得? 解得?55
0＝k＋bb＝?3?4
1
＝k＋b2
k＝－
34
35
∴直线GH的函数关系式为y＝－x＋44
（3）连接BG，作∠BAO的平分线交BC于点M，交BG于点P 55
由（2）知，BH＝，GH＝，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB
33
∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB
即GB平分∠HGA，∴点P即为所求圆的圆心 ∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°
∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1） 设直线AM的函数关系式为y＝k1x＋b1
???0＝2k1＋b1?k1＝－1?则 解得? ?1＝k1＋b1?b1＝2??
∴y＝－x＋2
设直线BG的函数关系式为y＝k2x＋b2 5
∵B（2，1）、G（，0）
3
1＝2k2＋b2????k2＝3∴? 解得? 5
?b＝－50＝k＋b?122??3
∴y＝3x－5
??y＝－x＋2
由? 解得?y＝3x－5?
?71
∴点P坐标为（， ?144
?y＝4
x＝
74
1
∴⊙P的半径为 4
23．（江苏连云港）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为点O′．
（1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′ 落在⊙O上时，求b的值．
（1）证明：∵点O与点O′ 关于直线y＝x＋b对称
∴直线y＝x＋b是线段OO′ 的垂直平分线
∴AO＝AO′，BO＝BO′
又∵OA，OB都是⊙O的半径，∴OA＝OB ∴AO＝AO′＝BO＝BO′ ∴四边形OAO′B是菱形 （2）解：如图，连接OO′ 交直线y＝x＋b于点M 1
当点O′ 落在⊙O上时，有OM＝2OO′＝1
∵直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（－b，0）、P
∴△ONP为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45° 又∵OM＝1，∴OP＝
2，即b2
24．（江苏盐城）如图所示，AC⊥AB，AB＝3，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．
︵
（1）当α＝18°时，求BD的长； （2）当α＝30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）
B 解：（1）连接OD
在⊙O中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°
︵36π×33π∵AB＝3，∴BD的长为 180＝5（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∵α＝30°，AB＝23，∴BD＝3，AD＝AB2cos30°＝3 ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90° ∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B ∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90° ∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB
ACAD
∴△CDA∽△EDB，∴BE＝BD 2323∴BE＝，∴BE＝3
3
∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°
当E′ 在BA的延长线上时，有∠D′AB＞∠DAB ∴α＞60°
又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD＝a，BC＝b．
C （1）求CD的长度（用a、b表示）；
（2）求EG的长度（用a、b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．
解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA为⊙O的切线 又∵CD为⊙O的切线，∴DA＝DE 同理，CE＝CB
又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b （2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°
又∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝∠ABC＝90° ∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC EGDEEGa∴CB＝DC，即b＝a＋b
B
C
ab
∴EG＝a＋b
（3）EG＝FG
DGDEa
理由：∵△DGE∽△DBC，∴DB＝DC＝a＋b
B
DBa＋bDBa＋bBGb∴DG＝a，∴DG－1＝a－1，即DG＝a
DGaDGaBDa＋b∴BG＝b，∴BG＋1＝b＋1，即BG＝b
BGb∴BD＝a＋b
由（2）同理可得，△BFG∽△BAD， FGBGFGbab∴AD＝BD，即a＝a＋b，∴FG＝a＋b
ab
又EG＝a＋b，∴EG＝FG
26．（江苏模拟）用一块边长为20cm的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所示）． （1）试说明方案一、方案四不可行；
（2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线
长及其底面圆的半径；如果不可行，请说明理由．
方案一
方案三
方案四
方案二
解：（1）设圆的半径为r
π
方案一：∵扇形的弧长＝20×2＝10π，∴圆的半径应为5cm
又∵r2r＋20＝2，∴r＝(60－402)cm
∵60－2＜5，∴方案一不可行
π2010
方案四：∵扇形的弧长＝20×3＝3π，∴圆的半径应为3cm
1111
又∵210×r＋2103×r＋2×20×r＝210×103，∴r＝(3－5)cm
10
∵3＜53－5，∴方案四不可行
（2）方案二、方案三可行 显然，方案二铁皮的利用率最大
设圆锥的母线长为l cm，底面圆的半径为r cm，则：
??r＋2r＋l2a ①? 90πl
2πr＝180 ②??
由①②得：l＝
4002－1602－40
r＝2323
故所求圆锥的母线长为
2－1601002－40
··································· 10分
2323
27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm、圆心角是60°的扇形OAB剪去一半径为12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）． （1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）；
（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？ （3）如图3，若在一张半径为18cm的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？
（1） （2）
图
1 图2
图3
解：（1）设纸杯底面半径为r 依题意，2πr＝
60×2π×12
，∴r＝2（cm） 360
60×ππ2222
S侧＝360(OA －OB )＝618－12)＝30π（cm2）
（2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧AB于F ∵OA＝OB，∠AOB＝60°
∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝18 同理，△COD也是等边三角形 ∴∠DCO＝∠BAO，∴AB∥CD ∴AB即为长方形的长
∵OC＝12，OE⊥CD，∴CE＝DE＝6
∴OE＝63，∴EF＝18－3
即所需矩形纸片的长至少为18cm，宽至少为18－63cm （3）∵扇形OAB的圆心角为60°
∴在以O为圆心，18cm为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面），如图
剩下的一个半径12cm的圆中可按照如下方法剪圆环：
作正六边形DEFGHI，显然边长为12cm，将DE、FG、HI两边延长，相交于点A、B、C
以A、B、C为圆心，18cm为半径画弧，三条弧相切于DE、
FG、HI的中点，显然又可剪3个，
故最多可剪出9个纸杯的侧面
28．（江苏模拟）如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于点A（2－3，0）、点B（2＋3，
︵︵1︵
0），D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD
（1）求⊙M的半径；
（2）P是⊙M上一个动点，如果以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数． 解：（1）如图1，作ME⊥x轴于E，连接MD ∵A（2－3，0）、点B（2＋3，0） ∴E（2，0），AB＝23，∴AE＝BE＝3 即点M的横坐标为2 ∵⊙M与y轴相切于点C
∴MC＝2，即⊙M的半径为2
（2）连接MA、MB，则MA＝MB＝2 ∴在Rt△MAE中，∴∠AME＝60° ∴∠AMB＝120° ︵︵1︵
∵D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD
∴∠AMD＝40°
若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形
①当PD∥BA时，如图2
则ME⊥DP，∠DMP＝2∠DME ∵∠AME＝60°，∠AMD＝40° ∴∠DME＝20°，∴∠DMP＝40° ∴∠PAD＝20°
②当PA∥BD时，如图3 则∠PAD＋∠ADB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠ADB＝120° ∴∠PAD＝60°
③当PB∥AD时，如图4 则∠PAD＋∠APB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠APB＝60° ∴∠PAD＝120°
29．（山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF 时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．
C
（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC于N ∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC ∵边AB与⊙D相切于点E，∴DE⊥AB
∴DN＝DE
∴⊙D与边BC也相切
C
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝∵∠A＝60°，∴DE＝AD2sin60°＝3 即⊙D的半径是3 1又∵∠HDF＝∠CDA＝60°，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形
2
过H作HG⊥DF于G，则HG＝3×sin60°＝
32
60×π×31333π
∴S△HDF＝×3＝，S扇形HDF＝＝
2243602
2
C
∴S阴影＝S扇形HDF－S△HDF＝
3π936π－93
－＝244
（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF3S△M1DF
过点M1作M1P⊥DF于P，则 3
∴M1P＝，∴∠FDM1＝30°
2
31
＝3××3×M1P 42
此时点M经过的弧长为：l1＝
30×π×3π
＝ 1802
过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，则满足S△HDF＝S△M1DF＝S△M2DF
此时∠FDM2＝150°，点M经过的弧长为：l,2＝
150×π×35π
＝ 1802
π5π
综上所述，当S△HDF＝3S△MDF 时，动点M经过的弧长为 或22
30．（山东日照）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点M（4，4），直线y＝－
3
4x＋b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点，以点A为圆心，AM为半径作⊙A．
（1）⊙M的半径为_________，b＝_________； （2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
FG
（3）若EF切⊙A于点F，分别交线段AB、BC于点G、E，且FE⊥BC，求EG的值．
（4）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
（
1）5 7
（2）直线BC与⊙A相切
理由如下：
备用图 备用图
328
对于y＝－4x＋7，当x＝0时，y＝7；当y＝0时，x＝3
2828∴B（3，0），C（0，7），∴OB＝3，OC＝7
连接AM，过M作MH⊥x轴于H 2816
则AH＝3，BH＝3－4＝3，MH＝4
AHMH3∴MH＝BH＝4
又∠AHM＝∠MHB＝90°，∴△AMH∽△MBH ∴∠MAH＝∠BMH
∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠AMH＋∠BMH＝90° 即AM⊥BC
∴直线BC与⊙A相切
33
（3）连接AM，AF
∵EF切⊙A于点F，∴∠AFG＝90°
又∵AM⊥
BC，EF⊥BC，∴四边形AFEM是矩形
∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC
∴∠GAF＝∠CBO 315∴FG＝AF2tan∠GAF＝AF2tan∠CBO＝5×4＝4
155FG
∴EG＝EF－FG＝5－4＝4，∴EG＝3
（4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41） 提示：
①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ ∵M（4，4），∴∠MOB＝45°
由对称性知，M、P两点关于x轴对称 ∴点Q与原点O重合 ∴Q（0，0）
②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP
作MH⊥x轴于H，MG⊥y轴于G，则MG＝MH，∠GMH＝90° ∴∠GMQ＝∠HMP＝90°－∠QMH
∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝∴点P在x轴的正半轴上，即点P是⊙A∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2 ∴Q（0，2）
③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ 设P（m，n），Q（0，t），分两种情况： i）若点P在y轴右侧的⊙A上
作PG⊥y轴于G，MH⊥PG于H，则△
?m－4＝n－t ①?
?4－n＝m ②
222??(m－1)＋n＝5 ③
5－41??m＝m??2由②、③解得?（舍去）?3＋41???n＝2?n
5＋413－41
把m＝2，n＝2代入①，得t
∴Q（0，3－41）
ii）若点P在y轴左侧的⊙A上，则：
?4－m＝n－t ④?
?4－n＝－m ⑤
222??(m－1)＋n＝5 ⑥
?m＝1?m＝－4??
由⑤、⑥解得?（舍去）?
??n＝5n＝0??
把m＝－4，n＝0代入④，得t＝－8
∴Q（0，－8）
综上所述，点Q的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41）
31．（陕西某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（－3，1），连接AB，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，设A′（t，0）．
（1）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝90°，求t的取值范围； （2）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝60°，求t的取值范围； （3）若在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°，求t的值．
解：（1）由A（－3，0），B（－23），得A′B′＝AB＝2
当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为直径作⊙C1 当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
1
∴C1A′＝C1P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C1P－C1A′2cos30°＝1
3
∴t1＝2－1
当A′B′在y轴右侧时，以A′B′为直径作⊙C2 当⊙C2与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
1∴C2A′＝C2P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C2P＋C2A′2cos30°＝1
3
∴t2＝2＋1
33
∴t2－1≤t≤21
（2）当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为边在A′B′作等边△A′B′D的外接圆⊙C1
当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝60° 易知此时DA′⊥x轴，∴C1P⊥DA′
1
′′2AB313
∴C1A′＝C1P＝cos30°＝3OA′＝2C1P＝3
35
3
∴t1＝－3
当A′B′在y轴右侧时，以A′B′为边在A′B′下方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D的外接圆⊙C2
当⊙C2与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝60°
易知此时B′D⊥x轴，∴C2P⊥B′D，点C2在x轴正半轴上，点P与原点O重合
A′B′43
∴OA′＝cos30°＝3
43∴t2＝3
343
∴t的取值范围是：－3t≤3
（3）以A′B′为边分别在A′B′上方和下方作等边△A′B′C1和等边△A′B′C2，分别以C1、C2为圆心，A′B′长为半径作⊙C1和⊙C2
当A′B′在y轴左侧时，若⊙C1与y轴相交于点P1、P2，⊙C2与y轴相切于点P3，则在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°
易知此时B′C2⊥x轴，C2P3＝C2A′＝A′B′＝2
∴OA′＝C2P3－C2A′2cos30°＝2－3 ∴t1＝3－2
当A′B′在y轴右侧时，若⊙C1与y轴相切于点P1，⊙C2与y轴相交于点P2、P3，则在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°
易知此时B′C2⊥x轴，OA′＝C1P1＝C1A′＝A′B′＝2 ∴t2＝2
36
32．（陕西模拟）如图，直线l1、l2相交于点O，∠l1Ol2＝60°，长为2的线段AB在直线l2上从右向左移动，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°．
（1）请在图中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；
（3）是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由． l1
l2 l2
O
备用图
解：（1）如图（以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l1有两个交点P1、P2，则P1、P2是符合条件的点）
l2
44
（2）当A在O的右侧，OA＝33或A在O的左侧，OA＝33＋2时符合条件的点P有且
只有一个 理由如下：
当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过A作AD⊥l1于D AD4
则AD＝CP＝2，∴OA＝sin60°＝33
l2
当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过B作BE⊥l1于E BE4
则BE＝CP＝2，∴OB＝sin60°＝33
4
∴OA＝33＋2
（3）存在
44
当A在O的右侧，OA＝33－2或A在O的左侧，OA＝33时，
符合条件的点P有三个
当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3
连接C2P3，过O作OF⊥BC2于F BE4
则OF＝C2P3＝2，∴OB＝sin60°＝33
l2
4
∴OA＝33－2
当直线l1与⊙C1相切于点P
1，与⊙C2相交于点P2、P3连接C1P1，过A作AG⊥l1于G AG4
则AG＝C1P1＝2，∴OA＝sin60°＝33
33．（陕西模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，点P是⊙O上的任意一点（不与A、B、C重合），⊙P在△ABC的外部且与△ABC相邻的一边相切，⊙P称为△ABC的“卫星圆”．过与P相邻的△ABC的两个顶点作⊙P的切线交于S，两切线和与⊙P相切的一边组成的三角形称为△ABC的“卫星三角形”（如图1中的△SAC）．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，⊙O的半径为r．
①∠S的大小是否发生变化，若无变化，求∠S的大小，若有变化，说明变化趋势；
②当点P在劣弧AC上运动时，⊙P与边AC相切于D点，设AD＝x，⊙P的半径为y，求y关于x的函数关系式；
（2）如图2，若△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O的半径为r，点P在优弧AB上，⊙P与直线AB相切（切点不是A、B），求“卫星三角形”的面积最大值．
图1 解：（1）①∠S的大小不变
连接PA、PC
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60° ∴∠APC＝120°
在△APC中，∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA)
图2
1
＝180°－2(∠SAC＋∠SCA)
1
＝180°－2(180°－∠S)
1
＝90°＋2∠S
1
∴90°＋2∠S＝120°，∴∠S＝60°
∴∠S的大小不变，始终等于60°
②连接OC、OP、PD，作OM⊥AC于M，ON⊥PD
则四边形OMDN是矩形，∴DN＝OM，ON＝DM ∵△ABC为等边三角形，∴∠OCM＝30°
13
∴OM＝2r，AM＝CM＝2
S
331
当x＜2r时，ON＝2r－x，PN＝y＋2r
在Rt△ONP中，ON ＋PN ＝OP
23122
∴(2r－x)＋(y＋2r)＝r
222
∴y＝
－x3r＋
2
1214r－2r
331当 2r≤x3r时，ON＝x－2，PN＝y＋2r
同理可得y＝综上，y＝
－x＋3r＋
2
1214r－2r
－x＋3r＋
2
1214r－2r
（2）当P点运动到优弧AB中点时，⊙P的半径最大，从而“卫星三角形”的面积最大 分别过点A、B作⊙P的切线交于S，则△SAB是△ABC的“卫星三角形” 连接PA、PB、OA、OC，设OC与AB相交于点D ∵AC＝BC，∴OC⊥AB，AD＝BD
∵∠ACB＝120°，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60° ∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形
3
∴∠OAD＝30°，AD＝2r，∴AB＝3r
∵∠ACB＝120°，∴∠P＝60°，△PAB是等边三角形 ∵SA、AB是⊙P的切线，∴∠PAE＝∠PAB＝60° ∴∠SAB＝60°
同理，∠SBA＝60°，∴△SAB是等边三角形 32332
∴S△SAB＝4AB＝4r
32
即“卫星三角形”面积的最大值为4r
34．（江西）已知纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
︵︵
（1）如图2，当折叠后的AB经过圆心O时，求AB的长；
︵
（2）如图3，当弦AB＝2时，求折叠后AB所在圆的圆心O′ 到弦AB的距离；
（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
︵︵
①如图4，当AB∥CD，折叠后的CD与AB所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的
︵︵
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的CD与AB所在圆外切于点P时，设点M为AB
距离之和为d，求d的值；
的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
图1 图2
图5
解：（1）如图1，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE ∵点E与点O关于AB对称，∴△OAE、△OBE为等边三角形 ∴∠OEA＝∠OEB＝60° ︵120π×24π∴AB的长为：180＝3
图3
（2）如图2，连接O′A、O′B ︵
∵AB折叠前后所在的圆⊙O与⊙O′是等圆 ∴O′A＝O′B＝OA＝AB＝2 ∴△AO′B为等边三角形
图1
图
2
∴O′E＝O′B2sin60°3
︵（3）①如图3，当CPD与APB所在圆外切于点P时
︵︵
过点O作EF⊥AB交AEB于点E，交CFD于点F ∵AB∥CD，∴EF垂直平分CD，且必过点P
11
根据垂径定理及折叠，可知PH＝2PE，PG＝2PF
又∵EF＝4，∴点O到AB、CD的距离之和d为： 111
d＝PH＋PG＝2PE＋2PF＝2PE＋PF)＝2
②如图4，当AB与CD不平行时 四边形OMPN是平行四边形 证明如下：
———————————————————————————————————————
︵︵
设O′、O″为APB和CPD所在圆的圆心
∵O′与O关于AB对称，O″与O关于CD对称
∴M为OO′的中点，N为OO″的中点 ︵︵
∵CPD与APB所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P ︵︵∵CPD与APB所在圆与⊙O都是等圆 ∴O′P＝O″P＝2
1
∴PM＝2OO″＝ON，PM∥OO″，也即PM∥ON
图4
∴四边形OMPN是平行四边形
35．（江西南昌）已知纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
︵
（1）①折叠后的AB所在圆的圆心为O′，求O′A的长度；
︵︵
②如图2，当折叠后的AB经过圆心O时，求AOB的长度；
③如图3，如图3，当弦AB＝2时，求圆心O到弦AB的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
︵︵
①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD
︵︵
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为
的距离之和为d，求d的值；
AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
图1
图2
图3
图5
︵
解：（1）①∵折叠后的AB所在圆O′与⊙O是等圆 ∴O′A＝OA＝2
︵︵
②当AB经过圆心O时，折叠后的AB所在圆的圆心O′在⊙O上 如图2，连接O′A、OA、O′B、OB、O′O ∵△OO′A、△OO′B为等边三角形
∴∠AO′B＝∠AO′O＋∠BO′O＝60°＋60°＝120°
︵120π×24π∴AOB180＝3
③如图3，连接OA、OB
∵OA＝OB＝AB＝2，∴△AOB为等边三角形 过点O作OE⊥AB于点E ∴OE＝OA2sin60°3
︵︵
图3 （2）①如图4，当折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时
︵︵
过点O作EF⊥AB交AB于点H，交AEB于点E，交CD于点G，交CFD于点F 即点E、H、P、O、G、F在直径EF上 ∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD
11
根据垂径定理及折叠，可知PH＝2PE，PG＝2PF
又∵EF＝4，∴点O到AB、CD的距离之和d为： 111
d＝PH＋PG＝2PE＋2PF＝2PE＋PF)＝2
②如图5，当AB与CD不平行时 四边形OMPN是平行四边形 证明如下：
︵︵
设O′、O″为APB和CPD所在圆的圆心
∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称 ∴点M为OO′的中点，点N为OO″的中点
︵︵
∵折叠后的APB与CPD所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P
︵︵
∵折叠后的APB与CPD所在圆与⊙O是等圆
1
∴O′P＝O″P＝2，∴PM＝2OO″＝ON，PM∥ON
图5
∴四边形OMPN是平行四边形 36．（青海西宁）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG＝4，BG＝3，求tan∠DAC的值．
B 图（1）
图（2）
（1）证明：连接OC
∵DC与⊙O相交于点C，OC是⊙O的半径
∴DC⊥OC
B
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠DCO＝90° ∴AD∥OC，∴∠2＝∠3
∵OA＝OC，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠3 ∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90° 在△ADC与△ACB中
∵∠1＝∠3，∠ACB＝∠ADC＝90° ∴△ADC∽△ACB
（2）解：∵四边形ABGC是圆内接四边形
∴∠B＋∠ACG＝180°，∴∠ACG＋∠ACD＝180° ∴∠B＝∠ACD
∵∠AGB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠GAB
B GB3在Rt△GAB中，tan∠GAB＝＝AG4
3
∴tan∠DAC＝4
37．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC． （1）求证：BC＝CF；
（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长； （3）求证：AF＋2DF＝AB．
（1）证明：连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥ED
∵AD⊥EC，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD 又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA
︵︵
∴∠OAC＝∠CAD。∴BC＝CF，∴BC＝CF
（2）在Rt△ADE中，∵AD＝6，DE＝8 根据勾股定理得AE＝10
EOOC∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴EA＝AD
设⊙O的半径为r，∴OE＝10－r 10－rr15∴10＝6r＝4
5
∴BE＝10－2r＝2
（3）证明：过点C作CG⊥AB于点G ∵∠OAC＝∠CAD，AD⊥EC，∴CG＝CD 又∵AC＝AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC ∴AG＝AD
又∵BC＝CF，∴Rt△CGB≌Rt△CDF，∴GB＝DF ∵AG＋GB＝AB，∴AD＋DF＝AB ∴AF＋2DF＝AB
38．（黑龙江大庆）已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC＝10cm，AB＝6cm，BC＝8cm，在图2中∠ABC＝90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则Ⅰ）阴影部分面积为_____________；Ⅱ）圆扫过的区域面积为_____________．
图1
图2 图3
解：（1）圆经过的区域可分为两个半圆和一个矩形，面积为10×2＋π×1＝20＋π
2
（2）仿照（1）A到B的过程中圆扫过的面积为6×2＋π×1＝12＋π
2
B到C的过程中圆扫过的面积为8×2＋π×1＝16＋π 圆中阴影部分被计算了两次
2
3π5π
所以此圆经过的区域面积为12＋π＋16＋π－1－4＝27＋4
（3）6；42＋π 39．（辽宁鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于1
点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝3，延长OE到点F，使EF＝2
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（1）解：∵CE
是⊙O的直径，CE⊥AB 11
∴
BD＝2AB＝2×4＝2，∠BOD＝∠ACB
1OD1
∵cos∠ACB＝3，∴在Rt△BOD中，cos∠BOD＝OB＝3
设OD＝x ，则OB＝3x
∵OB ＝OD ＋BD ，∴9x＝x＋2
222222
22
解得：x1＝2，x2＝－2（舍去）
3232
∴OB＝3x＝2O的半径为 2
（2）证明：∵EF＝2OE，OE＝OB
OB1
∴OF＝3OB，∴OF＝3
OD1ODOB∵OB＝3，∴OB＝OF
又∵∠BOD＝∠FOB，∴△BOD∽△FOB ∴∠OBF＝∠ODB＝90°，∴OB⊥BF ∵OB为⊙O的半径，BF是⊙O的切线
40．（四川成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE＝GE； （2）若KG ＝KD2GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
3
（3）在（2）的条件下，若sinE＝5，AK＝25，求FG的长．
2
解：（1）连接OG
∵EF为⊙O的切线，∴OG⊥EF ∴∠OGA＋∠KGE＝90°
∵CD⊥AB，∴∠OAG＋∠HKA＝90° ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG ∴∠KGE＝∠HKA，∴KE＝GE
（2）AC与EF的位置关系是AC∥EF 理由如下： 连接DG
∵KG ＝KD2GE＝KD2KE2
KGKE
＝KDKG
∵∠DKG＝∠GKE，∴△KDG∽△KGE ∴∠AGD＝∠E
又∵在⊙O中，∠AGD＝∠ACD ∴∠E＝∠ACD，∴AC∥EF
3
（3）∵∠ACH＝∠E，∴sin∠ACH＝sinE＝
5
在Rt△ACH中，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t
由AC∥EF，易得△ACK是等腰三角形，CK＝AC＝5t ∴HK＝CK－CH＝t
在Rt△AHK中，由勾股定理得AH ＋HK ＝AK
222
即(3t)＋t ＝(5)，解得t2 ∴AH＝2，CA＝CK＝52 连接BC
222
由△ACH∽△ABC，得AC ＝AH2AB（或由射影定理得）
2
22
(52)AC 252
∴AB＝＝＝
AH332
34
在Rt△EFH中，由sinE＝ 可得tanF＝53
在Rt△OFG中，tanF＝
OG4＝FG3
33252
∴FG＝OG＝AB＝
488
41．（成都某校自主招生）如图，以△ABC的BC边为直径作⊙O，分别交AC、AB于E、F两
︵
点，过A作⊙O的切线，切点为D，且点E、F为劣弧CD的三等分点．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DAC的大小．
（1）证明：连接BD、BE、OD、DF，设⊙O的半径为r，EC长为l
∵BC是⊙O的直径，∴BE⊥AC
︵
∵E、F为劣弧CD的三等分点，∴∠ABE＝∠CBE ∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC＝2r，AE＝EC＝l
︵
∵E、F为劣弧CD的三等分点，∴DF＝EC＝l ∵AD、AC分别是⊙O的切线和割线
∴AD ＝AE2AC，∴AD＝2l
∵∠ADF＝∠ABD，∠DFA＝∠BDA
ADAB
∴△ADF∽ABD，∴DF＝BD，得BD2r
2
∴BD ＝OB ＋OD ，∴∠BOD＝90° ∵AD是⊙O的切线，∴∠ADO＝90° ∴AD∥BC
（2）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴∠DBO＝45° ∵∠DBF＝∠FBE＝∠EBC，AD∥BC ∴∠DAB＝∠ABC＝30°
∵AB＝BC，∴∠BAC＝75° ∴∠DAC＝105°
42．（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点B（－1－3，0），C（1＋3，0），△ABC的内切圆的圆心是I（－
1，1），求△ABC
222
解：设⊙I切BC边于点D，连接IB、IC、ID，则ID＝OD＝1
∵B（－1－3，0），C（1＋3，0），∴BD＝3，DC＝2＋3，BC＝2＋23
ID13
∴tan∠IBD＝BD＝＝3，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°
3
过I作IE∥AC，交DC于E，则∠IED＝∠ACB＝2∠ICD ∴∠EIC＝∠ECI，IE＝EC
设IE＝x，则EC＝x，DE＝2＋3－x
在Rt△IDE中，IE ＝ID ＋DE
∴x＝1＋(2＋3－x)，解得x＝2
∴∠IED＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠A＝90°
222
222
13
∴AB＝2BC，AC＝2BC
13232
S△ABC＝2AB2AC＝8BC ＝8(2＋23)＝3＋23
43．（四川德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G． （1）求证：FC＝FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接BC
∵AB是⊙O的直径，BD是切线，∴BD⊥AB 又∵CH⊥AB，∴CH∥BD
∴△ACE∽△ADF，△AEH∽△AFB CEAEEH∴DF＝AF＝FB
∵点E为CH的中点，∴CE＝EH ∴DF＝FB
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCB＝90° 在Rt△BCD中，F是斜边BD的中点 ∴FC＝FB
（2）连接OC
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC ∵FC
＝FB，∴∠FBC＝∠FCB
∵BD⊥AB，∴∠OBC＋∠FBC＝90° ∴∠OCB＋∠FCB
＝90°，即∠OCG＝90°
∵OC是半径，∴CG是⊙O的切线 （3）过点F作FK⊥CH于点K ∵FB＝FC，FB＝FE，∴FC＝FE ∴CK＝EK，∴CE＝2EK ∵CE＝EH，∴EH＝2EK
∵FK⊥CH，AH⊥CH，∴FK∥AH AEEH
∴△AEH∽△FEKFE＝EK＝2
∵FE＝2，∴AE＝2FE＝4，∴AF＝AE＋FE＝6 在Rt△AFB中，AB＝AF －FB ＝
6－2＝42
∴⊙O的半径为22
44．（四川广安）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．
P
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
5
（2）若BC＝25，sin∠BCP＝5，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
（1）证明：连接AN
∵∠ABC＝∠ACB，∴且AB＝AC ∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC ∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN
∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠CAN＝∠BCP
∵∠CAN＋∠ACN＝90°，∴∠BCP＋∠ACN＝90° ∴CP是⊙O的切线
（2）解：过点B作BD⊥AC于点D 1
由（1）得BN＝CN＝2BC＝5
C
P
CN
∵AN⊥BC，∴sin∠CAN＝AC
5
又∵∠CAN＝∠BCP，sin∠BCP＝5
CN5
∴AC＝5，∴AC＝5
在Rt△CAN中，AN＝AC －CN ＝25 在△CAN和△CBD
中
C
?∠ANC＝∠BDC＝90°?? ∴△CAN∽△CBD ?∠ACN＝∠BCD?
ANAC55∴BD＝BC，∴BD＝，∴BD＝4
5
即点B到AC的距离为4
（3）在Rt△BCD中，CD＝BC －BD ＝2 ∴AD＝AC－CD＝5－2＝3
∵BD∥CP
BDAD4320
＝，∴＝，∴CP＝CPACCP53
在Rt△APC中，AP＝AC ＋CP ＝
25
3
因此，△ACP的周长为：AC＋CP＋AP＝20
︵
45．（四川泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，弦CE⊥AB
于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD． （1）求证：P是线段AQ的中点；
15
（2）若⊙O的半径为5，AQ＝2，求弦CE的长．
B
︵︵
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴AC＝AE
︵︵︵︵︵
又∵C是AD的中点，∴AC＝CD，∴AE＝CD ∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°
∴∠PCO＝90°－∠ACP，∠CQP＝90°－∠CAP ∴∠PCQ＝∠CQP，∴PC＝PQ ∴PA＝PQ，即P是AQ的中点
︵︵
（2）解：∵AC＝CD，∴∠CAQ＝∠ABC 又∵∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA
152ACAQ3
∴BC＝AB＝10＝4
AC3
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝BC＝4
又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8，根据直角三角形面积公式，得 24
AC2BC＝AB2CH，∴6×8＝10CH，∴CH＝5
48
又CH＝HE，∴CE＝2CH＝5
46．（四川宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2，⊙O2的半径r2＝2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：
PA
＝2； PB
（2）若PQ＝2，试求∠E度数．
（1）证明：∵CD⊥PQ，∴∠PQC＝∠PQD＝90° ∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径 在⊙O1中，∠PAB＝∠PCD 在⊙O2中，∠PBA＝∠PDC ∴△PAB∽△PCD，∴
PAPC2r＝＝＝2 PBPDr2
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC＝2r1＝4，PQ=2 ∴cos∠CPQ＝
PQ1
＝，∴∠CPQ＝60° PC2
∵在Rt△PDQ中，PD＝2r2＝22，PQ＝2 ∴sin∠PDQ＝
PQ2
＝，∴∠PDQ＝45° PD2
∴∠CAQ＝∠CPQ＝60°，∠PBQ＝∠PDQ＝45°
又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD＝90° ∴∠ABE＝90°－∠PBQ＝45° 在△EAB中，∴∠E＝180°－∠CAQ－∠ABE＝75° 47．（四川资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．
（1）求证：BD＝DC； （2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线． P （1）证明：连接AD B D C ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°
∵AB＝AC，∴BD＝DC
（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线
︵︵
∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝DE
∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE ∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°
1
∴∠DCE＝∠ABC＝2180°－30°)＝75°
∴∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°－75°－75°＝30° ∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°
∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝75°－30°＝45° ∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB＝45° ∴∠BOP＝90°
（3）过点C作CH⊥AB于点H 则∠BHC＝∠BOP＝90°，∴PO∥CH
1
在Rt△AHC中，∵∠HAC＝30°，∴CH＝2AC
11
又∵PO＝2AB＝2AC，∴PO＝CH ∴四边形CHOP是平行四边形
又∵∠BOP＝90°，∴四边形CHOP是矩形 ∴∠OPC＝90°，∴CP是⊙O的切线 48．（四川某校自主招生）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与⊙O相切于点E、D，
AD＝3，DC＝5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG＝60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线
FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接OD、OE
1322
则S阴影＝S正方形AEOD－S扇形EOD＝(3)－4π(3)＝3－4π
（2）设直线FG与⊙O相切于点K，连接OF、OK ∵∠CFG＝60°，∴∠DFK＝120°，∴∠DFO＝60° ∵OD＝OE＝AD＝3，∴DF＝1 ∴CF＝DC－DF＝5－1＝4
过点C作CH⊥FG于H，则CH＝CF2sin60°＝23 ∴当1≤d＜3时，直线FG与⊙O相离 当d＝23时，直线FG与⊙O相切
当23＜d≤4时，直线FG与⊙O相交
49．（湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，半径分别为m、n（0＜m＜n
）的两圆⊙O1
和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴、y轴分别切于点M、N，⊙O2与x轴、y轴分别切于点R、H． （1）求两圆的圆心O1、O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1、O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经
|S－S|
过P、Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 的抛物线？若存在，请求出
2d
此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，O1（m，m），O2（n，n） 设O1、O2所在直线的解析式为y＝kx＋b
???mk＋b＝m?k＝1?∴ 解得? ?nk＋b＝n?b＝0??
∴所求直线的解析式为y＝x （2）连接O1P，∵O1（m，m），P（4，1） ∴O1P ＝(m－4)＋(m－1)＝2m－10m＋17 又O1P为⊙O1的半径，即O1P＝m
2222
∴O1P ＝m，即2m－10m＋17＝m
2
∴m－10m＋17＝0
2
同理可得：n－10n＋17＝0
2
∴m、n是一元二次方程x－10x＋17＝0的两个根 ∴m＋n＝10，mn＝17 ∵O1（m，m），O2（n，n）
2222
∴d ＝(m－n)＋(m－n)＝2(m－n)
22
＝2(m＋n)－8mn＝2×10－8×17 ＝64 ∴d＝8
（3）连接PQ
由相交两圆的性质，可知P、Q两点关于直线O1O2对称 ∴
PQ⊥O1O2
2222
∵P（4，1），直线O1O2解析式为y＝x，∴Q（1，4） ∴PQ＝(4－1)＋(1－4)＝32
11
∴S1＝PQ2O1O2＝2×8＝122
22
11
又S2＝(O1M＋O2R)2MR＝(m＋n)(n－m)
22
11＝m＋n(m＋n)－4mn＝10×10－4×17 22
＝202
|S1－S2||2－202|∴＝1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1
d×8
假设存在这样的抛物线，其解析式为y＝ax＋bx＋c ∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4）
2
???16a＋4b＋c＝1?b＝－(5a＋1)∴? 解得? ??a＋b＋c＝4c＝4a＋5??
∴抛物线解析式为y＝ax－(5a＋1)x＋4a＋5
2
令y＝0，得ax－(5a＋1)x＋4a＋5
2
设两根为x1，x2，则有：x1＋x2＝
2
2
5a＋14a＋5
，x1x2＝aa
∵抛物线在x轴上截得的线段长为1，即|x1－x2|＝1
∴(x1－x2)＝1，∴(x1＋x2)－4x1x2＝1
即(
5a＋124a＋52
－4(＝1，化简得：8a－10a＋1＝0 ))aa
设两根为a1，a2，则有：a1＋a2＝
101
，a1a2＝ 88
∴a1＞0，a2＞0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾
∴不存在这样的抛物线 50．（湖南怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．
（1）当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC＝23，求证△ACD∽△OCB．
（1）解：连接AO，则∠OAC＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18° ∴∠DAC＝30°＋18°＝48° ∴∠DOB＝2∠DAC＝96°
（2）证明：过点O作AB的垂线，垂足为G 在Rt△OGB中，OB＝4，∠OBC＝30°
C
B
∴OG＝2，GB＝23
∵AC＝23，∴点C与G重合
∴∠ACD＝∠BCO＝90°，OC＝2，CD＝2＋4＝6 ∴
1
51．（湖南湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝2AB，点P在
ACCD
＝3＝，∴△ACD∽△OCB OCCB
半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点． （1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由； （3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
D B
图1
图2
图3
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° ∵PD⊥CD，∴∠D＝90° ∴∠D＝∠ACB
又∵∠A＝∠P，∴△PCD∽△ABC
（2）解：当点P运动到CP经过圆心时，△PCD≌△ABC 理由如下：
如图，∵AB、PC是⊙O的直径，∴AB＝PC ∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC
1
（3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠ABC＝30°
2
B
B (D)
∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD＝∠ABC＝30°
︵︵
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AC＝AP ∴∠ACP＝∠ABC＝30°
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACP－∠PCD＝90°－30°－30°＝30°
52．（湖南张家界）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切
︵
线DC，点P为优弧CBA上一动点（不与A、C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
︵
（2）当点P移动到CB的中点时，证明：四边形ACPO是菱形； （3）P点移动到什么位置时，由点A、P、C三点构成的三角形与△
ABC全等，请说明理由．
B
1
解：（1）∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝2AB＝2
∴AC＝OA＝OC，∴△ACO为等边三角形 ∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60° 1
∴∠APC＝AOC＝30°
2
又∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90° ∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30° （2）∵AB为直径，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°
当点P移动到CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°
∴△COP为等边三角形， ∴AC＝CP＝OA＝OP， ∴四边形ACPO为菱形
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，∴△ABC≌△APC 当点P继续运动到CP经过圆心时，也有△ABC≌△CPA 理由如下：
∵AB、CP都为⊙O的直径，∴∠CAP＝∠ACB＝90° 在Rt△ABC和Rt△CPA中
??AB＝CP? ∴Rt△ABC≌Rt△CPA ?AC＝AC?
B
53．（湖北鄂州）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：OE∥AB；
1
（2）若EH＝2CD，求证：AB是⊙O的切线；
BH
（3）若BE＝4BH，求 CE 的值．
（1）证明：∵等腰梯形ABCD，∴∠B＝∠C 又OE＝OC ∴∠1＝∠C ∴∠1＝∠B，∴OE∥AB （2）过O作OG⊥AB于G ∵EH⊥AB，∴OG∥EH
又OE∥AB，∴四边形OGHE是平行四边形 ∴EH＝OG
11
又EH＝2CD，∴OG＝2CD
∵CD为⊙O直径，∴OG是⊙O半径 又OG⊥AB，∴AB是⊙O的切线
（3）连接DE，∵DC为直径，∴∠DEC＝90° 设BH＝x，∵BE＝4BH，∴BE＝4x
在Rt△BHE中，由勾股定理得EH＝(4x)－x＝15x
1
又EH＝2CD，∴CD＝15x
∵∠B＝∠C，∴Rt△BEH∽Rt△CDE ∴
54．（湖北恩施）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； 5
（3）如果CD＝15，BE＝10，sinA＝13，求⊙O的半径．
BHBE4x215
＝＝＝CECD215x15
C
（1）证明：连接OB
∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC 又∵CD⊥OA，∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90° ∴∠OBA＋∠ABC＝90°，∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线 （2）连接OF
∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF △OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60° 1
∴∠ABF＝AOF＝30°
2
（3）过点C作CG⊥BE于点G， 1
∵CE＝CB，∴EG＝BE＝5
2
5 13
又Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG＝sinA＝∴CE＝
EG＝13，∴CG＝CE －EG ＝12
sin∠ECG
又CD＝15，CE＝13，∴DE＝2 由Rt△ADE∽Rt△CGE，得∴AD＝
ADDE
＝CGGE
DE24CG＝ GE5
∴⊙O的半径为2AD＝
48
5
55．（湖北十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD＝∠BAC，OD交⊙O于点E．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形； FG
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2）．求 FC 的值．
A
C
O
D B ＝90° （1）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA
∴∠ABC＋∠BAC＝90° 图1 又∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90° ∴∠ABD＝90°
又点B在⊙O上，∴BD为⊙O的切线． （2）连接CE、OC
∵OB＝OE＝ED，∴OD＝2OB
又∵∠OBD＝90°，∴∠ODB＝30°，∠BOE＝60° 又AC∥OD，∴∠OAC＝60° 又OA＝OC，∴AC＝OA＝OE
∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形 又OA＝OE，∴四边形OACE是菱形
（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90° 又AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB FGAF
∴△AFC∽△OBD，∴BD＝AB
A F O
B 图2
D
C
FGOB1∴FC＝AB＝2
56．（湖北襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； 1
（3）若BC＝6，tan∠F＝2，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
F
P
（1）证明：连接OB
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB 又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴直线PA为⊙O的切线
57
F
P
B
2
（2）EF ＝4OD2OP
证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90° ∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90° ∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA ∴
ODOA2
＝，即OA ＝OD2OP OAOP
又∵EF＝2OA，∴EF ＝4OD2OP
1
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3
2
2
设AD＝x，∵tan∠F＝
AD1
＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3 FD2
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)＝x＋3 解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去） ∴AD＝4，OA＝2x－3＝5
∵AC是⊙O直径，∴∠ABC＝90°
222
又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝
BC63
＝＝ AC105
102
∵OA ＝OD2OP，∴3(PE＋5)＝25，∴PE＝3
57．（湖北某校自主招生）已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，︵
F是AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点G．
（1）若OE＝4，求折痕EF的长；
（2）若G是OB中点，求OE和折痕EF的长； （3）点E可移动的最大距离是多少？
B 解：（1）设折叠后的圆弧所在圆心为O′，连接O′E、O′O、O′G、O′F，O′O、O′G分别交EF于M、N
则EF垂直平分O′O，∠1＝∠2，OF＝O′G＝6，O′G⊥OB ∴O′E＝OE＝4，O′N＝ON
∵∠AOB＝90°，∴O′G∥AO，∴∠3＝∠1 又∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4
∴O′N＝O′E＝4，∴ON＝4，NG＝2
′∴∠5＝60°，四边形OEON是菱形 B ∴∠4＝60°，△O′EN是等边三角形
1
∴EM＝2O′E＝2，O′M＝3EM＝23
在Rt△O′MF中，MF＝O′F －O′M ＝6 －(23)＝6
∴EF＝EM＋MF＝2＋6
58
（2）若G是OB中点，则OG＝BG＝3 设OE＝x，则O′N＝x，NG＝6－x 在Rt△O′MF中，OG ＋NG ＝O′N
15222
∴3＋(6－x)＝x，解得x＝4
222
B 15
即OE的长为4
15
过E作EH⊥O′G与H，则GH＝OE＝4
1591593
∴O′H＝O′G－GH＝6－4＝4，NH＝O′N－O′H＝4－4＝2
在Rt△O′EH中，EH＝O′E －O′H ＝3 3在Rt△EHN中，EN＝EH ＋NH ＝2
5
13
∴EM＝MN＝2EN＝4
5
3
由△O′MN∽O′GO，得O′M＝2MN＝2
5
() B )
3
∴MF＝O′F －O′M ＝2
11
3
∴EF＝EM＋MF＝4
35＋2
11
（3）①当G与O重合时，OE最小
此时O′O⊥OB且O′O＝OA＝6，∴O′与A
1
∴E是OA中点，OE＝2OA＝3
②当E与A重合时，F、G均与B重合，OE最大 此时OE＝
6
∴点E可移动的最大距离为3
证明如下：
将扇形AOB沿AB对折（即E与A重合，F、G均与B重合），连接O′A、O′B 则∠O′BA＝∠OBA＝45°，∴∠O′BO＝90° ∴OB与折叠后的圆弧相切 58．（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的⊙A与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，直线CP交⊙A于点Q，连接OQ、AQ．
（1）当△OCQ是等腰三角形时，求点P的坐标； （2）当△APQ是等腰三角形时，求∠OCQ的度数．
59
解：（1）∵AC＝AO，∠AOC＝60°，∴△①若OC为腰，则OA垂直平分CQ
1
∴OP＝2OA＝1，∴P（1，0）
②若OC为底
i）当点P在直径OB上时
过C作CM⊥OA于M，则∠OCM＝30°
11
∵∠OQC＝2∠OAC＝30°，∴∠OCQ＝2
∴∠PCM＝75°－30°＝45°，∴△PCM3
∴PM＝CM＝2OC＝3
∴OP＝OM＋PM＝1＋3，∴P（1＋3，0ii）当点P在BO的延长线上时，则AQ
1
∴∠QOC＝∠QCO＝2∠OAQ＝15°
∴∠CPO＝∠AOC－∠QCO＝60°－15°＝45° 过C作CM⊥OA于M，则∠OCM＝30°
则△PCM为等腰直角三角形，∴PM＝CM∴OP＝PM－OM＝3－1，∴P（1－3，0（2）设∠OCQ＝x，显然AP≠AQ ①若PQ＝AQ
i）当点P在BO的延长线上时
则∠ACQ＝60°＋x，∠QPA＝∠QAP＝60°－x∠AQC＝2∠QPA＝120°－2x ∵AC＝AQ，∴∠ACQ＝∠AQC ∴60°＋x＝120°－2x，∴x＝20° ii）当点P在直径OB上时 则∠ACQ＝∠AQC＝60°－x
1∴∠QPA＝∠QAP＝2180°－(60°－x)]＝
又∵∠QPA＝∠CPO＝180°－(60°＋x)＝1
∴60°＋2x＝120°－x，∴x＝40°
iii）当点P在OB的延长线上时 则∠AQC＝∠ACQ＝x－60° 11
∠QPA＝2AQC＝2x－30°
∵∠OCQ＋∠COA＋∠QPA＝180° 1
∴x＋60°＋2x－30°＝180°，∴x＝100°
②若PA＝PQ
i）当点P在O、A之间时
则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝60°－x ∠PAQ＝2∠OCQ＝2x ∴60°－x＝2x，∴x＝20° ii）当点P在A、B之间时
则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝x－60° ∠PAQ＝∠AOQ＋∠AQO
∵∠OCQ＋∠COQ＋∠CQO＝180°
∴x＋60°＋2(x－60°)＝180°，∴x＝
59．（湖北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，且⊙O内切于△ABC，D、E、F是切点，CF交⊙O于
G，EG延长线交BC于M，AG交⊙O于K．
（1）求证：△MCG∽△MEC；
（2）若EM⊥BC，求cos∠FAK的值．
（1）证明：连接EF
∵AE、AF是⊙O的切线，E、F为切点，∴AE＝AF
AFAE
又AB＝AC，∴AB＝AC
∴EF∥BC，∴∠1＝∠2
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3
又∠CME为公共角，∴△MCG∽△MEC MCME
（2）解：∵△MCG∽△MECMG＝MC
∴MC ＝MG2ME
2
∵⊙O切BC于点D，∴MD ＝MG2ME
22
∴MC ＝MD ，∴MC＝MD
11
∴MC＝2CD＝2CE
2
又EM⊥CD，∴在Rt△EMC中，∠3＝30°，∠ECM＝60° 又AB＝AC，∴△ABC为等边三角形 ∴D、E、F为三边中点，且CF⊥AB
23
设CM＝a，则AF＝CD＝2a，AC＝4a，CF＝3a，CG＝3
2343
∴FG＝CF－CG＝3a－3＝3
∴在Rt△AFG中，AG＝AF ＋FG ＝
213a
AF
∴cos∠FAK＝AG＝
2a21
＝7
2213
60．（湖北模拟）已知矩形ABCD中，半径为r的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与边AB、BC相切，⊙O2与边BC相切．点E是边CD上一点，将△ADE沿AE翻折得△AD′E，AD′ 恰好与⊙O2相切于点D′．若AD＝3，折痕AE的长为 10． （1）求r的值；
（2）求证：矩形ABCD为正方形．
D E （1）解：过点D′作AD的平行线，分别交AB、CD于点F、G 则四边形AFGD是矩形，∴FG＝AD＝3 ∵AD＝3，AE＝10，∴AD′＝AD＝3
D
E
D′E＝DE＝10－9＝1
∵∠AD′E＝∠D＝90°，∴∠AD′F＋∠ED′G＝90° ∵∠AD′F＋∠D′AF＝90°，∴∠D′AF＝∠ED′G
AD′
′′∴Rt△ADF∽Rt△DEG，∴EG＝′＝3
DE
设EG＝x，则D′F＝3x，D′G＝3－3x
222
在Rt△D′EG中，D′G ＋EG ＝D′E
D′F
422
∴(3－3x)＋x ＝1，解得x＝1（舍去）或x＝5
123
∴D′F＝3x＝5，D′G＝3－3x＝5
连接O2D′，作O2H⊥FG于H
∵AD′与⊙O2相切于点D′，∠AD′O2＝90° ∵∠AD′E＝90°，∴O2、D′、E三点共线
D′HOHD′O∴△D′O2H∽△D′EG，∴＝EG＝
DGDE
即
D′HOHr34′H＝r，O2H＝r ＝＝，∴D34155
55
连接O2O1并延长交AB于K，则四边形FKO2H是矩形 4
∴FK＝O2H＝5r，FH＝O2K＝3r
3122
∵FH＋D′H＝D′F，∴3r＋5r＝5，∴r＝3
4422
（2）证明：∵CD＝DE＋EG＋GC＝1＋5＋5×3＋3＝3
AD＝3，∴AD＝CD ∴矩形ABCD为正方形
61．（湖北模拟）如图，已知直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°． （1）求点P的坐标；
（2）若点P在第一象限，连接BP、AP，在BP上任取一点E，连接AE．将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连接BF交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），BE
求PG的值；
（3）若点P在第一象限，点Q是弧AP上一动点（不与A、P重合），连接PQ、AQ、BQ，求
BQ－AQ
的值．
备用图
解：（1）连接PA、PB，过
P作PM⊥x轴于M
∵∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，∴∠APB＝90°
在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝2，由勾股定理，得AB＝5 ∵∠AOP＝45°，∴OP平分∠AOB ︵︵
∴PA＝PB，∴PA＝PB
2
∴△PAB是等腰直角三角形，∴PA＝2AB＝10
在Rt△POM中，∠POM＝45°，∴PM＝OM 设PM＝OM＝x，则AM＝4－x
在Rt△PMA中，x＋(4－x)＝(10)，解得x1＝3，x2＝1 当x＝3时，点P在第一象限，∴P1（3，3） 当x＝1时，点P在第四象限，∴P2（1，－1） （2）过F作FH⊥PA，则△AFH≌△EAP ∴AH＝EP，FH＝AP＝BP
∵∠FGH＝∠BGP，∴Rt△FGH≌Rt△BGP
222
F
1
∴PG＝GH＝2PH
1
∵PA＝PB，AH＝EP，∴PH＝BE，∴PG＝2BE
BE
∴PG＝2
（3）在BQ上取点C，使∠CPQ＝90°，连接PC 由（1）知，△PAB是等腰直角三角形 ∴∠PAB＝45°，∴∠PQB＝45°
∴△PQC是等腰直角三角形，∴CQ2PQ，∠PCQ＝45°
∴∠PCB＝135°
∵AB是△AOB外接圆的直径，∴∠AQB＝90° 又∠PQB＝45°，∴∠PQA＝135° ∴∠PCB＝∠PQA
又∠PBC＝∠PAQ，PB＝PA ∴△PBC≌△PAQ，∴BC＝AQ ∵BC＋CQ＝BQ，∴AQ＋2PQ＝BQ BQ－AQ
∴PQ＝2
62．（广东深圳）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b＝____________时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）经过圆心M； 当b＝____________时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，如图2，其三个顶点的坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
l：y＝l：y＝
（1）b＝10
提示：把M（4，2
，∴b＝b＝10±5
提示：设直线y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M相切于点P（x0，y0）
??y0＝－2x0＋b22则?222 消去y0并整理得5x0－4bx0＋b－4b＋16＝0 ?(x0－4)＋(y 0－2)＝2?
图1 图2
∴△＝(－4b)－4×5×(b－4b＋16)＝0
22
即b－20b＋80＝0，解得b＝10±25
（2）当直线y＝－2x＋b（b≥0）过点A（2，0）时 0＝－2×2＋b，∴b＝4
当直线y＝－2x＋b（b≥0）过点D（2，2）时 2＝－2×2＋b，∴b＝6
当直线y＝－2x＋b（b≥0）过点B（6，0）时 0＝－2×6＋b，∴b＝12
当直线y＝－2x＋b（b≥0）过点C（6，2）时 2＝－2×6＋b，∴b＝14
2
①当0≤b≤4时，S＝0
②当4＜b≤6时，设直线y＝－2x＋b与AB边交于点E，与AD边交于点F
b
则点E（2，0），F（2，b－4）
11b
∴S＝S△AEF＝2AE2AF＝22－2)(b－4)
12
＝4b－2b＋4
③当6＜b≤12时，设直线y＝－2x＋b与AB边交于点E，与DC边交于点F
bb则E（2，0），F2－1，2）
1bb
∴S＝S梯形AEFD＝2(2－3＋2－2)22＝b－5
④当12＜b≤14时，设直线y＝－2x＋b与BC边交于点E，与DC边交于点F
b
则点E（6，b－12），F（2－1，2）
1b∴S＝S矩形ABCD－S△CEF＝4×2－2(14－b)(7－2)
12
＝－4b＋7b－41
⑤当b＞14时，S＝S矩形ABCD＝8
综上所述，S与b的函数关系式为：
0（0≤b≤4）
?1b2b4（4＜b≤6）?4
S＝?b5（6＜b≤12）
1
?4b7b41（12＜b≤14）?8（b＞14）
2
－＋
－
－
2
＋－
63．（广东佛山）
（1）按语句作图并回答：
作线段AC（AC＝4），以A为圆心，a为半径作圆，再以C为圆心，b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a＝2，b＝3，求四边形ABCD的面积．
（1）解：作图（如图所示） a、b应满足的条件是a＋b＞4 （2）解：连接BD交AC于点E ∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC
A C ∴△ADC≌△ABC，∴∠DAC＝∠BAC
∴AC⊥BD
设AE＝x，则CE＝4－x
在Rt△ADE中，DE ＝2－x
222
222
在Rt△CDE中，DE ＝3－(4－x)
∴2－x ＝3－(4－x)，解得x＝
2222
118
∴DE＝2－x＝
315
8
13∴S四边形ABCD＝AC2BD＝AC2DE＝4×＝
282
64．（广东珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP
对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB＝4PD．
B B
图1
图2
图3
解：（1）PO∥BC （2）PO∥BC成立
证明：由对折，得∠APO＝∠CPO ∵AO＝PO，∴∠APO＝∠A
∵弧PB＝弧PB，∴∠A＝∠PCB ∴∠CPO＝∠PCB，∴PO∥BC
（3）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD 又CD⊥AP，∴∠OCD＝∠CDP＝90° ∴OC∥AP，∴∠CPD＝∠OCP
由对折，得∠A＝∠OCP，∴∠CPD＝∠A
又∠A＝∠OPA，∠OPC＝∠OCP，∠APD是平角 1
∴∠CPD＝∠CPO＝∠OPA＝60°，∴CP＝OP＝AB
2
11
在Rt△CPD中，PD＝CP2cos60°＝CP＝AB
24
∴AB＝4PD
65．（广西桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．
（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2DO2；
（3）在（2）的条件下，若S△AO2D＝1，求S△O2DB的值．
证明：（1）∵⊙O1与⊙O2是等圆 ∴O1A＝O1B＝O2A＝O2B ∴四边形AO1BO2是菱形
（2）∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB＝∠O2AB ∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径 ∴∠ACE＝∠AO2C＝90°，∴△ACE∽△AO2D
ECAC
∴DO＝AO＝2，即CE＝2DO2
22
（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥O2B ADAC
∴△ACD∽△BO2D，BD＝BO＝2，∴AD＝2BD
2
1
∵S△AO2D＝1，∴S△O2DB＝2
66．（广西贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3．点P在射线AC上运动，过点P作PH
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；
（2）设
PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．
解：（1）AC＝4，AD＝3，r＝1
（2）∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝900 APPH
∴△APH∽△ABC，∴AB＝BC
APx5即5＝3，∴AP＝3x
当点P在AC上时，PC＝AC－AP 512
即y＝4－3x（0＜x≤5
当点P在AC延长线上时，PC＝AP－AC 512即y＝3x－4（x＞5）
（3）当点P在AC上且PH与⊙O相切于M时 如图，连接OM、OD，可得正方形OMHD ∴HD＝r＝1，AH＝AD－HD＝3－1＝2 PHAH
由△APH∽△ABC得：BC＝AC
PH23即3＝4，∴x＝PH＝2
53
∴y＝4－3x＝2
当点P在AC延长线上且PH与⊙O相切于M时 如图，连接OM、OD，可得正方形OMHD ∴HD＝r＝1，AH＝AD＋HD＝3＋1＝4 PHAH
由△APH∽△ABC得：BC＝AC
PH4
即3＝4，∴x＝PH＝3
5
∴y＝3x－4＝1
67．（广西贺州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E．
（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．
解：（1）∠APB＝2∠BAC
1
理由：∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝2APB
在等腰△APB中，PF为∠APB的平分线 ∴∠PFA＝90°，∴∠APO＋∠PAB＝90° ∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA
即∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝BAC ∴∠APB＝2∠BAC
（2）四边形PAOB是正方形时
PA＝AO＝OB＝BP＝4，PO⊥AB且PO＝AB
1122
∴2PO2AB＝PA2PB，即2PO ＝PB ＝16
∴PO＝42
这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于OP的长 68．（福建莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
D
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
G
A E O B
证明：（1）连接OC
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°
D 在Rt△DCF中，DG＝FG
∴CG＝DG＝FG，∴∠3＝∠4 ∵∠3＝∠5，∴∠4＝∠5
G
∵OA＝OC，∴∠1＝∠2
又∵DE⊥AB，∴∠1＋∠5＝90° ∴∠2＋∠4＝90°，即∠GCO＝90°
5
∴CG是⊙O的切线 （2）∵DG＝FG，∴S△DCF＝2S△DCG A E O B ∵CD＝BC，∴S△DCF＝2S△BCF，∴S△BCF＝2S△DCG 又∵S△AFB＝2S△DCG，∴S△AFB＝S△BCF ∴AF＝FC
又∵OA＝OB，∴OF∥BC 69．（福建泉州）已知：A、B、C三点不在同一直线上． （1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
ⅰ）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；
BC
ⅱ）如图②，当∠A为锐角时，求证：sin∠A＝2R；
（2）若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．
B B
P
图①
图②
A
图③
B M
解：（1）ⅰ）∵点A、B、C均在⊙O上 ∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°
∵OB＝OC＝1，∴BC＝2
ⅱ）证明：作直径CE，则∠EBC＝90°，∠E＝∠A，CE＝2R
B BC∴sin∠A＝sin∠E＝2R
（2）保持不变
理由：连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK 1
在Rt△APC中，CK＝2AP＝AK＝PK
P
A
B
M
同理得：BK＝AK＝PK
∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上 BC
∴由（1）ⅱ）可知，sin60°＝AP
243
∴AP＝sin60°＝3（定值）
故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离保持不变
70．（福建模拟）如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、C（6，0），D（3，3）．点P从C点出发，沿折线C－D－A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于G点，连接OP、PG、OG． （1）直接写出∠DCO的度数；
（2）当点P在线段CD上运动时，设P点运动路线的长为m，△OPG的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．
解：（1）∠DCO＝45°
（2）过点P作PB⊥x轴于B
70
2
则PB＝BC＝2m
2
在Rt△POB中，OB＝6－2m
22222
∴OP ＝(2m)＋(6－2m)
∵GC⊥PC，∴PG为⊙M的直径
∴∠POG＝90°，∠OGP＝∠PCO＝45° ∴OP＝OG
11212222
∴S＝2OP2OG＝2OP ＝22m)＋(6－2m)]
12
即S＝2m－32m＋18
（3）依题意得，∠ODC＝90°，△OPC的外心必在OC的垂直平分线上 作MN⊥x轴于N，连接OM
1
则ON＝2OC＝3，∴直线MN经过点D
①当点P在CD上时，∠OPC为钝角或直角 ∴点M在x轴下方或x轴上
2
由（2）知OM＝2OP，在Rt△MON中
222222
MN ＝OM －ON ＝(2OP)－3
1212
＝2m－2m＋18－9＝2m－2m＋9
∵0＜m≤32，∴0≤MN＜3 即n的取值范围是－3＜n≤0
①当点P在AD上时，依题意得，OM＝PM
根据勾股定理，ON ＋MN ＝DM ＋PD
122222
∴3＋n＝(3－n)＋(m－32)，∴n＝6(m－32)
2222
3
∵32≤m≤2＋3，∴0≤n≤2
3
综合得，n的取值范围是－3＜n≤2
71．（上海模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是边AB上的一个动点，过点P作PD⊥AB交BC相于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在边BC上，F在边AC上．设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y． （1）求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域； （2）当P、G、F三点共线时，求x的值； （3）当△PDG为等腰三角形时，求x的值；
（4）记以PD为直径的圆为⊙O1，以GF为直径的圆为⊙O2．
①当⊙O1与边AC相切时，求x的值；
71
②当⊙O1经过圆心O2时，求x的值；
③直接写出⊙O1与⊙O2的位置关系及对应的x的取值范围．
A A A
F
B D E C B C B
备用图 备用图
解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12
∴BH＝HC＝6，AHAB－BH
＝8 过A作AH⊥BC于H，则△DBP∽△ABH
∴
BD
PD
BP
BD
PD
x
F AB
＝
AH
BH
，即 10 ＝ 8 ＝
6
∴BD＝
5
4
3
x，PD＝
3
x
又∵四边形DEFG是正方形，∴EF⊥BC，EF＝DE＝y B D H E C
由△FCE∽△ABH，得EC＝
3
4 y
∴
5
3
3
x＋y＋
4
y＝12
F
∴y＝－
20
48
21
x＋
7
当点G落在边AB上，易知△AGF∽△ABC
得
y
＝
8－y
2412 8 ，即y＝
B D H E C
5
∴－
20
48
24
54
21
x＋
7
＝
5
，解得x＝
25
过C作CM⊥AB于M
由△CBM∽△ABC，得BM＝
36
5
∴
54
36
25
≤x
5
（2）当P、G、F三点共线时，连接PG B H C
则PG∥BD，∠PGD＝90°＝∠AHB ∴∠DPG＝∠BDP＝90°－∠BAH ∴△PDG∽△ABH，得PG＝
4
3 y
4
F
由△APF∽△ABC，得
3y＋y
8－y
72
12 ＝ 8 ，即y＝
23
B
H D E C
72
C
20487290∴－21x＋7＝23，解得x＝23
90
即BP的长为23
A
（3）①若DP＝DG
42048
则3x＝－21x＋7，解得x＝3
A
B F
D
F
②若PD＝PG，则∠PDG＝∠PGD
∵∠PDG＋∠PDB＝90°，∠B＋∠PDB＝90°，∠B＝∠C ∴∠PDG＝∠PGD＝∠B＝∠C 5
∴△PDG∽△ABC，得PD＝6y
E C
452048180∴3x＝6－21x＋
7，解得x＝67
B
D
E
C
③若GP＝GD
510同理可得△GPD
∽△ABC，GD＝6PD＝9x
A
204810216∴－21x＋7＝9x，解得x＝65
B
D
F
（4）①连接AO1并延长交BC于H
由题意知，此时⊙O1与边AB、AC均相切 ∴∠BAH＝CAH，∴AH⊥BC 8
易证△AO1P∽△ABH，得AP＝9x
E C
890∴x＋9x＝10，解得x＝17
②过O1作O1H⊥BC于H，过O2作O2I⊥BC于I，延长O2G交O1H于K，连接O1O2 12332
则O1O2＝O1D＝2PD＝3x，O1H＝5O1D＝10PD＝5x，KH＝O2I＝y
428
KG＝HD＝5O1D＝5PD＝15x
2281222
在Rt△O1KO2中，(5x－y)＋(15x＋2y)＝(3x)
162
化简得y＝75xy
16
∵y≠0，∴y＝75x
204816300∴－21x＋7＝75x，解得x＝51
5440404036
③当25≤x＜11时，两圆相离；当x＝11时，两圆相切；当11＜x＜5时，两圆相交
提示：若两圆外切，作辅助线如图
22812212
在Rt△O2O1K中，(y－5x)＋(15x＋2y)＝(3x＋2y)
142
化简得y＝15xy
14
∵y≠0，∴y＝15x
20481440∴－21x＋7＝15x，解得x＝11
22812212228121
若两圆内切，则(5x－y)＋(15x＋2y)＝(3x－2y)或(y－5x)＋(15x＋2y)＝(2y
－
22
3x)
22
得y＝－5xy（舍去）
∴两圆不存在内切的情形 72．（湖北模拟）如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径是5，求AI的长．
（1）证明：连接OI，延长AI交BC于D
∵I是△ABC的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI ∵OB＝OI，∴∠ABI＝∠CBI＝∠BIO，∴OI∥BC ∵AI与⊙O相切，∴OI⊥AI，∴AD⊥BC ∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC
AOOIAI
（2）解：∵OI∥BC，∴AB＝BD＝AD
AB－554032∴AB＝8，∴AB＝3，∴AD＝AB －BD ＝3
OI53220
∴AI＝BDAD＝83＝3
73．（安徽某校自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝7，△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点F，求DE的长．
C
解：连接FO并延长交AC于点G，连接AD 则FG⊥DE
∵DE∥AC，∴FG⊥AC，∴G是切点
∴CG＝CD，∠C＝∠C，∴Rt△FCG≌Rt△ACD ∴FC＝AC＝5，∴BF＝BC－FC＝7－5＝2 73
∴EF＝FD＝BD－BF＝2－2＝2
C
∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠C
又EF＝FD，AB＝AC，∴△FDE∽△ABC DE721∴3＝5，∴DE＝10 2
74．（湖北某校自主招生）如图，半径为1的⊙M和半径为2的⊙N内切于点A，AB是⊙N的直径，CD⊥AB分别交两圆于点C、D，且C、D两点在AB的同侧，试证明△ACD的外接圆的面积是定值．
证明：设AD与⊙M相交于E，过M作MO⊥AC，交NE延长线于O，连接ND 依题意，AN是⊙M的直径，∴∠AEN＝90°，即NE⊥AD ∵NA＝ND，∴AE＝DE，∴NE垂直平分AD
由垂径定理知，MO垂直平分AC ∴O为△ACD的外接圆圆心 1
连接OA，则∠1＝2AOC＝∠2
∵∠2＋∠NAE＝90°，∠3＋∠NAE＝90° ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3 NAOA
Rt△NAO∽Rt△OAM，∴OA＝MA
∴OA ＝MA2NA＝1×2＝2
∴S⊙O＝2π，即△ACD的外接圆的面积是定值2π 75．（江苏模拟）已知矩形纸片ABCD，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点P处．
（1）如图1，若E是AD的中点，∠AEF＞60o，连接DP，则与∠AEF相等的角有________个；
2
（2）如图2，若AB＝5，BC＝4，点F与点B重合，点P在边CD上，在折痕BE上存在一点G到边CD的距离与到点A的距离相等，求此相等距离；
（3）如图3，若点P落在矩形ABCD内部，求PD的最小值；
（4）如图4，若AB＝BC＝5，点F与点B重合，以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O恰好与BE、BP都相切，求⊙O的半径．
DCDC
D C P
E
E E
B(B A
B A F) A F F
图1 图2 图3 图4
解：（1）3
提示：如图1，连接PA
D C
由折叠的性质知，∠PEF＝∠AEF，PE＝AE，PA⊥EF ∵∠AEF＞60°，∴∠AEP＞120°
E
∴∠DEP＜60°，∴∠DEP≠∠AEF
∵AE＝DE，PE＝AE，∴DE＝PE，∴∠EDP＝∠EPD A B
F
∵AE＝PE，∴∠EAP＝∠EPA 图1 ∴∠EPD＋∠EPA＝90°，即∠APD＝90° ∴DP∥EF，∴∠EPD＝∠PEF＝∠AEF ∴∠EDP＝∠EPD＝∠PEF＝∠AEF 即与∠AEF相等的角有3个
（2）如图2，过P作CD的垂线交BE于点G，连接AP、AG 由折叠知BE是AP的垂直平分线，∴GP＝GA
D C ∴G点即为所求
设AP与BE相交于点O
E
∵GP⊥CD，AD⊥CD，∴GP∥AD
∴∠OPG＝∠OAE
又∵OP＝OA，∠POG＝∠AOE＝90°
A B( F)
∴△POG≌△AOE，∴GP＝AE
图2
在Rt△PBC中，PB＝AB＝5，BC＝4 ∴PC＝3，∴DP＝2
设AE＝x，则PE＝AE＝x，DE＝4－x 在Rt△DEP中，(4－x)＋2＝x
55
解得x＝2，∴GP＝GA＝AE＝2
C
( F)
222
5
即此相等距离为2
（3）如图3，以点F为圆心，AF为半径画圆弧，连接DF交圆弧于点P，则点P为圆弧上到点D距离最短的点，即DP最小
设AF＝x，则DF＝x＋4＝x＋16
D
C
16－PD∴PDx＋16－x，整理得x＝2PD
2
16－PD
∵0＜x≤5，∴0＜2PD≤5
2
E A
图3
解得41－5≤PD＜4
∴PD的最小值为41－5
F
B
或由PD＝x＋16－x＝
16
x＋16＋x
16
x＋16＋x
∵0＜x≤5，∴4＜x＋16＋x≤41＋5，∴41－5
C
＜4
∴PD的最小值为41－5
（4）如图4，连接OB，则∠OBA＝∠OBC，∠OBE＝∠OBP ∴∠ABE＝∠PBC
由折叠知∠ABE＝∠PBE
图4
( F)
1
∴∠ABE＝∠PBE＝∠PBC＝3ABC＝30°
∴∠OBE＝∠OBP＝15°
2
∵AB＝BC＝5，∴矩形ABCD是正方形，OB＝2
设BE与⊙O相切于点G，在BG上取点H，使BH＝OH，连接OG、OH 则∠BOH＝∠OBH＝15°，∴∠OHG＝30°
设OG＝x，则OH＝2x，GH＝3x，BG＝(2＋3)x
2222
在Rt△OBG中，x＋[(2＋3)x]＝(2)
55
解得x＝4(3－1)，即⊙O的半径为4(3－1)
76．（湖北模拟）已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图1，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD :DB＝3 :1，求折痕EF的长； （2）如图2，若折叠后的圆弧与直径AB相交于点B、D两点，且AD :DB＝1 :3，求折痕BC的长．
F
图1 图2
解：（1）如图1，设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连接O′O、O′D、OE，O′O与EF交于点M，则O′O与EF互相垂直平分 ∵AB＝4，∴OA＝OB＝2
77
1
∵AD :DB＝3 :1，∴DB＝4AB＝1，∴OD＝1
∴O′O＝OD ＋O′D ＝
51＋25，∴OM＝2
∴EM＝OE －OM ＝
52112
2－(2)＝2
∴EF＝2EM＝11 即折痕EF的长为 11
（2）如图2，作DE⊥BC交⊙O于E，连接AC、AE、BE、DE，设AE与BC相交于F ∵AB＝4，AD :DB＝1 :3，∴AD＝1，DB＝3
1
由折叠的对称性可知BE＝BD＝3，∠ABC＝∠EBC＝2ABE
EFBE333∴AF＝AB＝4，∴EF＝4AF＝7AE
∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90° ∴AE＝AB －BE ＝
3
4－3＝7，∴EF＝7
7
图2
6∴BF＝BE ＋EF ＝7
14
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° BCBE
∴△ABC∽△FBEAB＝BF
BE3
∴BC＝BF2AB＝6×414
714
77．（四川某校自主招生）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，且点P到OA、OB的距离分别为1、2，以P点为圆心的⊙P分别与OA、OB相交于点M、N，且MN恰为⊙P的直径，求⊙P的面积．
解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，设⊙P与OA的另一交点为C，与OB的另一交点为D，连接CN、MD，则PE＝1，PF＝2
∵MN为⊙P的直径，∴∠MCN＝∠MDN＝90°
∴PE∥NC，PF∥MD
又∵PM＝PN，∴CN＝2PE＝2，MD＝2PF＝4 ∵∠AOB＝30°，∴ON＝2CN＝4，
OD3MD＝43
78
∴ND＝3－4，∴NF＝23－2
∴PN ＝PF ＋NF ＝2＋(23－2)＝20－83
22222
∴⊙P的面积为(20－83)π 78．（陕西模拟）已知点P为⊙O内一点，EF为过P点的弦，连接OE、OF． （1）若⊙O的半径为5，OP＝4，求△EOF的最大面积；
（2）若⊙O的半径为5，OP＝3，求△EOF的最大面积；
（3）若⊙O的半径为r，OP＝d，求△EOF的最大面积．
解：（1）过O作OH⊥EF于H，则EF＝2EH 设OH＝x，则0＜x≤4
在Rt△EOH中，EH222222
＝OE －OH ＝5
－x
＝25－x
∵S1
△EOF
＝
2
EF2OH＝EH2OH
∴(S22
△EOF
)＝EH 2OH2＝(25－x2)x2
令x2
＝t，则0＜t≤16
∴(S2
＝(25
－t
)t＝－(
t－12.5)2＋12.52
△EOF)
当t＝12.5时，( S22
△EOF )取得最大值12.5
∴△EOF的最大面积为12.5
（2）过O作OH⊥EF于H，则EF＝2EH 设OH＝x，则0＜x≤3
同理可得(S22222
△EOF
)＝EH 2OH ＝(25
－x
)x
令x2
＝t，则0＜t≤9
∴(S2
＝(25
－t
)t＝－(22
△EOF)
t－12.5)＋12.5
该函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为t＝12.5
当0＜t≤9时，(S2
△EOF
)随t的增大而增大
当t＝9时，(S22
△EOF
)取得最大值(25
－9)×9＝144＝12
当t＝12.5时，(2 S2
△EOF )取得最大值12.5
∴△EOF的最大面积为12
（3）过O作OH⊥EF于H，则EF＝2EH 设OH＝x，则0＜x≤d
同理可得(S22
222
△EOF
)＝EH
2OH2
＝( r
－x
)x
令x2
＝t，则0＜t≤d2
2
2
∴(S)2
＝(r2
－t)t＝－(t－r
2r
2
△EOF
2 )＋( 2
)
2
该函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为t＝r
2
2
当t＜r
22
2
，即d
＜
2时，( S△EOF
)随t的增大而增大
当t＝d22222
时，(
S△EOF
)取得最大值( r
－d )d
79
∴△EOF的最大面积为d r －d
r22
当t≥2，即d≥2时，(S△EOF)随t的增大而增大
2
r2r22
当t＝2，即d＝2r时，(S△EOF)取得最大值(2)
2
2
r
∴△EOF的最大面积为为2
2
22综上，当d＜2r时，△EOF的最大面积为d r －d ；当d≥2r时，△EOF的最大面积
r为2
2
79．（北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
2
（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．
3
A
O
E B
（1）证明：连接OC
∵EC与⊙O相切，C为切点，∴∠ECO＝90° ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC ∵OD⊥BC，∴DB＝DC
∴直线OE是线段BC的垂直平分线 ∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC
∴∠ECO＝∠EBO，∴∠EBO＝90° ∵AB是⊙O的直径，∴BE与⊙O相切
（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，则DM∥FB 2
在Rt△ODB中，∵∠ODB＝90°，OB＝9，sin∠ABC＝3
2
∴OD＝OB2sin∠ABC＝9×＝6
3
O M
E F B
由勾股定理得BD＝OB －OD ＝35 在Rt△DMB中，同理得
DM＝BD2sin∠ABC＝5，BM＝BD －DM ＝5 ∵O是AB的中点，∴AB＝18 ∴AM＝AB－BM＝13
MDAM
∵DM∥FB，∴△AMD∽△ABF，∴＝BFAB
MD2AB5
∴BF＝＝
AM13
80．（哈尔滨模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点M的坐标为（4，3），以M为圆心，以MO为半径作⊙M，分别交x轴、y轴于B、A两点．
80
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P（x，0）为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、线段OM于点D、E，过点E作y轴的垂线交直线AB于点F．设线段DF的长为y，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在x的值，使得经过D、E、M三点的圆与△AOB的一边所在的直线相切．若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
解：（1）过M作MH⊥x轴于H，MK⊥y轴于K 则OB＝2OH，OA＝2OK ∵M（4，3），∴OB＝8，OA＝6 ∴B（8，0），A（0，6）
设直线AB的解析式为y＝kx＋b
b＝6????b＝6
∴? 解得：?3 ?8k＋b＝0k＝－??4?
3
∴直线AB的解析式为y＝－4x＋6
MH33
（2）∵tan∠MOH＝OH＝4，OP＝x，∴PE＝4x
33
∴D（x，－4x＋6），E（x，4x）
333
∴DE＝－4x＋6－4x＝－2x＋6
如图1，∵EF∥OB，∴∠AFE＝∠ABO AO63
∴tan∠AFE＝tan∠ABO＝OB＝8＝4
553
∴DF＝3DE＝3(－2x＋6)
5
∴y＝－2x＋10（0＜x＜4）
（3）∵∠MDE＝∠MED，∴△DEM是等腰三角形
设△DEM的外接圆圆心为G，过M作MQ⊥DE于Q，则点G在MQ上 ①当⊙G与y轴相切时，如图
2
416
则⊙G的直径KM＝4，∴DM＝KM2cos∠DMQ＝4×5＝5
16464
∴QM＝DM2cos∠DMQ＝55＝25
6436
∴x＝KQ＝4－25＝25
②当⊙G与x轴相切时，如图3
则⊙G的半径GM＝MH＝3，过G作GT⊥AB于T 424
∴DM＝2TM＝2GM2cos∠DMQ＝2×3×5＝5
24496
QM＝DM2cos∠DMQ＝55＝25
964
x＝KQ＝4－25＝25
③∵∠GTD＝90°，∴DG＞GT ∴⊙G始终与直线AB相交
364
综上所述，当x＝25 或x＝25 时，过D、E、M三点的圆与△AOB的一边所在的直线相切
81．（浙江某校自主招生）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，若AE＝2，CD＝3． （1）求⊙O的直径；
（2）翻折图形，使点B与点E重合，折痕交⊙O于P、Q两点，求△BPQ的面积．
解：（1）连接AC、BD
∵CD∥AB，AE⊥CD，∴AE⊥AB
∵AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线 ∴∠DAE＝∠EBA＝∠ACE
DEAE
∴Rt△DAE∽Rt△ACEAE＝CE
DE2
即2＝3＋DE，解得DE＝－4（舍去）或DE＝1
∴CE＝CD＋DE＝3＋1＝4
∴AC＝AE ＋CE ＝5，AD＝AE ＋DE ＝5 ∵∠ABD＝∠ACE，∴Rt△ABD∽Rt△ACE
ABADAB5∴AC＝AE，即＝2
5
∴AB＝5，即⊙O的直径为5
（2）设PQ分别与BE、AB交于点F、G，过O作OH⊥PQ于H，连接OQ
∵AE＝2，AB＝5，∴BE＝AE ＋AB ＝29
AB5129
∴cos∠ABE＝BE＝BF＝2BE＝2
29
BF292952
∴BG＝＝10，∴OG＝BG－OB＝10－2＝5
cos∠ABE
由题意BF⊥PQ，又OH⊥PQ，∴OH∥BF ∴∠GOH＝∠ABE
252
∴OH＝OG2cos∠GOH＝OG2cos∠ABE＝5＝
2929
∴HQ＝OQ －OH ＝
52221
－(2)(29)＝2
709
29
11
∴S△BPQ＝2PQ2BF＝HQ2BF＝2
709291
×292＝4
709
82．（湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的底边BC在x轴上，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．已知BD＝2，BC＝4，∠ACB＝45°．
（1）求∠DEC的大小；
（2）求线段DE的长；
（3）求点A的坐标．
解：（1）连接OD
∵BD＝2，BC＝4，BC是⊙O的直径
∴OB＝OD＝BD＝2，∴△OBD是等边三角形 ∴∠DBC＝60°，∴∠DEC＝120° （2）过D作DF⊥EO于F
在Rt△DOF中，∵DOF＝60°－30°＝30°，OD＝2 ∴DF＝1，OF＝3，EF＝2－3
在Rt△DEF中，DE＝DF ＋EF ＝6－2 （3）设A（a，b），过A作AG⊥BC于G 在Rt△ABG中，AG＝BG2tanABC
在Rt△AGC中，∵∠ACG＝45°，∴AG＝GC ∴3(2＋a)＝2－a，∴a＝23－
4 ∴AG＝2－(23－4)＝6－3 ∴A（
23－4，6－23）
83．（湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA、PC分别切⊙O于A、C，CD⊥AB于D，PB交CD于E．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若AB＝6，∠APC＝120°，求图中阴影部分的面积．
B
（1）证明：连接OP、OC、BC ∵PA、PC是⊙O的切线
∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90° 又PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PCO ∴∠POA＝∠POC，∴∠AOC＝2∠POA 又∠AOC＝2∠ABC，∴∠POA＝∠ABC 又∠PAO＝∠CDB＝90°，∴△PAO≌△CDB PAOA∴CD＝BD
B
∵∠PAB＝∠EDB＝90°，∠PBA＝∠EBD PABA
∴△PAB≌△EDB，∴ED＝BD
PA2OA2PA
∵AB＝2OAED＝BD＝CD
∴CD＝2ED，∴CE＝DE
（2）解：∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90° ∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30° ∵AB＝6，∴OA＝OC＝3
333
∴OD＝OC2sin30°＝2，CD＝OC2cos30°＝2
∴S阴影＝S扇形AOC－S△DOC
＝
60×π×31333
－×
360222
2
3π93＝2－8
84．（湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙M与x轴相切于原点O，点P（t，0）是x轴上一动点，PA与⊙M相切于点A，过A作弦AB∥x轴交⊙M于B，连接OA、OB，设P（t，0）．
（1）求证：△PAO∽△OAB；
（2）当点P在x轴的正半轴上运动时，若四边形ABOP是菱形，求t的值； （3）当直线AP与BO的交点在x轴的下方时，求t的取值范围； （4）连接BP交⊙M于点C，当t为何值时，四边形ABOC是梯形？
（1）证明：∵PA是⊙M的切线，OA是弦，∴∠PAO＝∠ABO
∵AB∥PO，∴∠BAO＝∠AOP ∴△PAO∽△OAB
（2）∵四边形ABOP是菱形，∴OB∥PA，∠BOA＝∠POA
∵△PAO∽△OAB，∴∠BOA＝∠OPA ∴∠BOA＝∠POA＝∠OPA
∵OB∥PA，∴∠BOA＋∠OPA＝180°
∴∠POA＝∠OPA＝60°，∴△AOP是等边三角形 ∴△AOB是等边三角形
∵⊙M的半径为1，即MO＝1
3
∴OP＝AO＝2MO2cos30°＝2×2＝3
∴t＝3
（3）由（2）知，当点P在x轴的正半轴上运动时 当t＝3时，四边形ABOP是菱形，此时AP∥BO 连接MP
∵PA、PO是⊙M切线，∴MP平分∠OPA，MP⊥OA 又∵MO⊥OP，∴∠MOA＝∠OPM
当t＞3时，则∠OPA＜60°，∴∠OPM＜30°
∴∠MOA＜30°，∴∠AOP＞60°，∴∠AOP＞∠OPA ∵AB∥x轴，∴OM垂直平分AB，∴OA＝OB ∴∠BOM＝∠AOM，∴∠1＝∠AOP ∴∠1＞∠OPA
∴直线AP与BO的交点在x轴的上方
同理可证：当t＜3时，直线AP与BO的交点在x轴的下方 同理，当点P在x轴的负半轴上运动时
当t＞－3时，直线AP与BO的交点在x轴的下方
∴当－3＜t＜3时，直线AP与BO的交点在x轴的下方
（4）显然OC与AB不平行，所以当AC∥BO时，四边形ABOC是梯形 延长AC交OP于D
∵PA是⊙M的切线，AC是弦，∴∠PAD＝∠ABC ∵AB∥x轴，∴∠ABC＝∠CPD，∴∠PAD＝∠CPD 又∵∠ADP＝∠PDC，∴△
ADP∽△PDC
PDCD2
∴AD＝PD，∴PD ＝AD2CD
∵OD是⊙M的切线，OC是弦，∴∠COD＝∠OAD 又∵∠ODC＝∠ADO，∴△OCD∽△AOD ODCD22∴AD＝OD，∴OD ＝AD2CD＝PD
|t|
∴OD＝PD＝2
连接PM交OA于N，则MP垂直平分OA OMPM
易证△OMN∽△PMO，得 ON＝OP
1即 ON＝
1＋t
，∴ON＝|t|
|t|
1＋t
，∴OA＝
2|t|
1＋t
4|t|OPOAOA
由△PAO∽△OAB，得 OA＝AB，∴AB＝OP＝1＋t
2
∵AB∥OD，AC∥BO，∴四边形ABOD是平行四边形
4|t||t|
∴AB＝OD，∴＝2 1＋t
∵|t|≠0，∴
4
1＋t
1
＝2，∴t＝7
∴当t＝7时，四边形ABOC是梯形
85．（辽宁大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长．
解：（1）猜想：ED与⊙O相切
证明：连接OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD＝∠ODA ∴OD∥AE，∴∠AED＋∠ODE＝180° ∵DE⊥AE，即∠AED＝90° ∴∠ODE＝90°，即OD⊥ED ∴ED与⊙O相切 （2）连接BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ADB＝∠
BDF
B
B
ADBD
∴△DAB∽△DBFBD＝FD
即
5
6－5
＝
6－511
，∴FD＝FD5
1114
∴AF＝AD－FD＝5－5＝5
86．（湖北模拟）如图，点O′ 是x轴负半轴上一点，⊙O′ 与x轴交于A、B两点，与y
︵︵
′轴交于C、E两点，点D是⊙O 上一点，且DC＝AC，已知A（2，0），C（0，－4）．
（1）求圆心O′ 的坐标；
（2）连接AC、BC，在BC上取点M，使CM＝AC，连接DM并延长线交⊙O′ 于N，求证：
2
DM＝5MN；
︵︵︵
（3）P是劣弧BC上一动点，Q为劣弧PC的中点，连接AP、EQ交于点F．当点P在劣弧BC
上运动时（不包括B、C两点），线段AF的长度是否发生变化？若变化，请指出变化范围，
备用图
（1）解：由题意，AB是⊙O′ 的直径，∴∠ACB＝90°
又∵∠AOC＝90°，∴△OCA∽△OBC OAOC24
∴OC＝OB4＝OB，∴OB＝8
∴AB＝OA＋OB＝2＋8＝10，∴O′A＝5 ∴OO′＝O′A－OA＝5－2＝3
∵点O′ 是x轴负半轴上一点，∴O′（－3，0） （2）证明：连接AD、BD、AN、BN ︵︵
∵DC＝AC，∴CD＝AC 又∵CM＝AC，∴CD＝CM ∴∠CDM＝∠CMD ︵︵
∵DC＝AC，∴∠DBC＝∠ABC＝∠ADC
∵∠CDM＝∠ADC＋∠ADN，∠CMD＝∠DBC＋∠BDN ∴∠ADN＝∠BDN，∴AN＝BN ∴△ABN是等腰直角三角形
∴BN＝AB2cos45°＝2
∵OA＝2，OB＝8，OC＝4，∴CD＝AC＝25，BC＝5 ∴CM＝CD＝25，∴BM＝5
∵∠DCM＝∠BNMN，∠DMC＝∠BMN
DMCD
∴△DMC∽△BMN，得MN＝BN＝52，BM＝BN
∴
DM25
＝，∴DM＝22 552
2
∴DM＝5MN
（3）不变，AF＝2
连接AC、AE、AQ、PE，则AC＝AE ∴∠ACE＝∠AEC
︵
∵Q为劣弧PC的中点，∴∠CEQ＝∠PEQ
又∵∠P＝∠ACE，∴∠AEC＋∠CEQ＝∠P＋∠PEQ 即∠AEF=∠AFE，∴AF＝AE＝AC＝5
87．（江苏模拟）如图，矩形ABCD表示一本书，AB＝12π，AD＝2，当把书卷成半圆状时，
︵︵
每张纸都是以O为圆心的同心圆的弧，如第一张纸AB对应为AB，最后一张纸DC对应为DC，︵
且DC为半圆．
（1）求钝角∠AOB的大小；
︵
（2）如果该书共有100张纸，那么第40张纸对应的弧超出半圆部分的FG的长是多少？
A B
D C
C
E F
︵12π
解：（1）∵DC为半圆，∴OD＝π＝12
∴OA＝OD－AD＝12－2＝10
12π180
∴钝角∠AOB＝360°－10×π＝144°
4054
（2）∵OF＝OE＋EF＝10＋100×2＝5
︵546π∴FG＝12π－5π＝5
88．（江苏模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径作⊙M，
过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F．已知AE＝5，CE＝3，求BF和求DF的长．
解：∵AE＝5，CE＝3，∴AC＝8 ∴AO＝OC＝4，∴OE＝1
连接MN，设⊙M的半径为r，则MN＝r，DM＝
∵DN是⊙M的切线，∴∠DNM＝90°＝∠DOE
又∠MDN＝∠EDO，∴△DMN
∽△DEO DEDM3r
∴OE＝MN＝r＝3，∴DE＝3OE＝3
C
∴OD ＝DE －OE ＝8，AD＝OA ＋OD ＝26 ∵AD∥BC，∴△CFE∽△ADE
222
CFEFCE3339∴AD＝DE＝AE＝5，∴CF＝5AD，EF＝5DE＝5
246924
∴BF＝5AD＝5，DF＝DE＋EF＝3＋5＝5
89．（陕西模拟）如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A（2－3，0）、B（2＋3，0）
︵︵1︵
两点，D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD．
（1）求⊙M的半径；
（2）P是⊙M上一个动点．若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数．
解：（1）如图1，作ME⊥x轴于E，连接MD ∵A（2－3，0）、点B（2＋3，0）
∴E（2，0），AB＝23，∴AE＝BE＝3
即点M的横坐标为2 ∵⊙M与y轴相切于点C ∴MC＝2，即⊙M的半径为2 （2）连接MA、MB，则MA＝MB＝2
∴在Rt△MAE中，∴∠AME＝60° ∴∠AMB＝120°
︵︵1︵
∵D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD
∴∠AMD＝40°
若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形 ①当PD∥BA时，如图2
则ME⊥DP，∠DMP＝2∠DME
∵∠AME＝60°，∠AMD＝40° ∴∠DME＝20°，∴∠DMP＝40° ∴∠PAD＝20°
②当PA∥BD时，如图3
则∠PAD＋∠ADB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠ADB＝120°
∴∠PAD＝60° ③当PB∥AD时，如图4 则∠PAD＋∠APB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠APB＝60° ∴∠PAD＝120°
综上所述，∠PAD的度数为20°或60°或120°
90．（四川模拟）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝23，BC＝1．以AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD，连接BD，交⊙O于点E，连接AE，求BD和AE的长．
D
解：过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F
∵△ACD是等边三角形
∴AD＝CD＝AC＝23，∠ACD＝60° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°
1
∴∠DCF＝30°，∴DF＝2CD3，CF3DF＝3
D
∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4 ∴BD＝BF ＋DF ＝
16＋319
∵AC＝23，BC＝1，∴AB＝AC ＋BC ＝13
∵BE＋DE＝BDAB －AE ＋AD －AE ＝BD
即13－AE ＋12－AE ＝19
∴13－AE ＝19－12－AE
两边平方得：13－AE ＝19＋12－AE －219(12－AE )
719(12－AE )＝9，解得AE＝1957
22
︵
91．（四川模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为△ABC外接圆⊙O上 AC的
中点．
︵
（1）如图1，P为 ABC的中点，求证：PA＋PC＝3PD；
︵
（2）如图2，P为 ABC上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
P
图
1 图2
（1）证明：连接AD
︵︵
∵D为AC的中点，P为 ABC的中点 ∴PD为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°
∵∠B＝60°，∴∠APC＝60°
︵
∵D为AC的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30°
3
∴PA＝PD2cos30°＝2PD
︵
∵P为 ABC的中点，∴PA＝PC
P
∴PA＋PC＝3PD （2）成立 理由如下：
延长PA到E，使EA＝PC，连接DE、AD、DC 则∠EAD＋∠PAD＝180° ∵∠PCD＋∠PAD＝180°
∴∠EAD＝∠PCD
︵︵︵∵D为AC的中点，∴AD＝CD ∴AD＝CD
∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD 过D作DH⊥PE于H 由（1）知，∠APD＝30°
3
∴PH＝PD2cos30°＝2PD，PE＝2PH＝3PD
∵PA＋EA＝PE，∴PA＋PC3PD
︵
92．（四川模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E在劣弧BC上，连接AE交BC于点D，
经过B、C两点的圆弧交AE于点I．已知BE ＝AE2DE，BI平分∠ABC
（1）求证：BE＝EI；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝8
，∠BDE＝45°．
︵
①求BIC的半径和AD的长；②求sin∠ABC和
tan∠ABI的值．
2
A
AEBE2
（1）证明：∵BE ＝AE2DE，∴BE＝DE
又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴∠BAE＝∠EBC ∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠DBI
∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠EBI＝∠EBC＋∠DBI ∴∠BIE＝∠EBI，∴EB＝EI
（2）①连接OC、OE，设OE交BC于F ∵∠BAE＝∠EBC，∠EBC＝∠EAC
︵︵
∴∠BAE＝∠EAC，∴BE＝CE，∴EB＝EI＝EC
︵
∴点E是BIC的圆心 ︵︵1
∵BE＝CE，∴OE垂直平分BC，∴BF＝CF＝2BC＝4
A
在Rt△OFC中，OC＝5，FC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2 在Rt△BEF中，由勾股定理得BE＝25 ︵
∴BIC的半径为25
∵∠BDE＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形
∴DF＝EF＝2，DE＝2EF＝22
22
∵AE2DE＝BE ，∴(AD＋22)×2＝(25) ∴AD＝2
②∵∠BDE＝45°，∴∠ADG＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝3 ∵BF＝4，DF＝2，∴BD＝6
∴BG＝BD＋DG＝9，∴AB＝AG ＋BG ＝10
AG310
∴sin∠ABC＝AB＝＝10
10
过I作IH⊥AB于H，IK⊥BC于K ∵BI平分∠ABC，∴IH＝IK
S△ABI11AI
∵S△ABI＝2AB2IH，S△DBI＝2BD2IK，＝DI
S△DBI
A
AIAB32－DI310∴DI＝BD，∴DI＝6，∴DI＝2(5－2)
∴DK＝IK＝DI2cos45°10－2，∴BK＝BD＋DK＝4＋10
IK10－2
∴tan∠ABI＝tan∠IBC＝BK＝10－3
4＋10
3
93．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4x＋6与x轴交于点A，与y轴交
于点B，点C在线段AB上，以CA为直径的⊙D交x轴于另一点E
（1）设DA＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式； （2）当⊙D与直线BE相切时，求点D的坐标；
（3）当△ABE是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
2
解：（1）连接DE，过D作DH⊥OA于H
3
∵直线y＝－4x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B
∴A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6
OA84∴AB＝OA ＋OB ＝10，∴cos∠BAO＝AB＝10＝5
4
在Rt△DHA中，HA＝DA2cos∠BAO＝5x
88
∴EA＝2HA＝5x，OE＝OA－EA＝8－5x
在Rt△BOE中
826421282222
BE＝OB＋OE＝6＋(8－5x)＝25x－5x＋100
642128
即y＝25x－5x＋100（0≤x≤10）
（2）连接CE
∵CA为⊙D的直径，∴∠AEC＝90°，即CE⊥x轴 当⊙D与直线BE相切时，∠BED＝90°
∴∠OBE＝∠DEA＝∠DAE，∴△OBE∽△OAB OB99
得OE＝OA＝2，∴点C的横坐标为2
2
9321把x＝2代入y＝－4x＋6，得y＝8
921∴C（2，8）
∵D是AC的中点
9
2＋82521
∴点D的横坐标为2＝4 16
2521∴D（416）
397515
（3）D1832），D2（3，4，D1（0，6）
94．（湖北某校自主招生）
在直角坐标系中，已知点A（－4，0），点B（2，0），以OA为直径作⊙M，直线BC切⊙M于C，P是半径MC上一点，连接PB交OC于Q．
（1）若S△PCQ＝S△BOQ，求点P的坐标；
（2）若BP平分△MCO的面积，求点P的坐标； （3）若S△PCQ＝2S△BOQ，求点P的坐标．
93
解：（1）连接OP，过P作PD⊥MB于D ∵S△PCQ＝S△BOQ，∴S△PCO＝S△BOP
∴OP∥BC
∵A（－4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2
∴MC＝MO＝2，MB＝4
1
∴OP是△MBC的中位线，∴PM＝2MC＝1
∵BC是⊙M的切线，∴∠MCB＝90° PM1
∴∠MPO＝90°，∴cos∠PMO＝MO＝2
∴∠PMO＝60°
13
∴MD＝PM2cos60°＝2，PD＝PM2sin60°＝2
33
∴P（－2，2
（2）过P作PD⊥MO于D，过Q作QE⊥MO于E， 设MD＝x，OE＝y，则BD＝4－x，BE＝2＋y，PD3x ∵MC＝MO＝2，∠CMO＝60° ∴△MCO是等边三角形，∴QE3y
QEBE
易证△BQE∽△BPD，∴PD＝BD
∴
3y2＋yx3x＝4－x，∴y＝2－x，QE＝2－x3x
1113
∵BP平分△MCO的面积，∴S四边形PMOQ＝2S△MCO＝222×3＝2
又S四边形PMOQ＝S△PMB－S△BOQ
113x3∴243x－2×2×2－x＝2
整理得4x－7x＋2＝0，解得x1＝
2
7＋177－17
＞1（舍去），x2＝88
∴OD＝2－
7－179＋1773－51
＝，PD＝888
9＋1773－51
∴P（－） 8，8
（3）∵S△PCQ＝2S△BOQ，∴S△MCO－S四边形PMOQ＝2S△BOQ
1113x13x∴2×23－2×4×3x＋22×2－x＝2×2×2×2－x
94
整理得x－3x＋1＝0，解得x1＝
2
3＋53－5
＞1（舍去），x2＝22
∴OD＝2－∴P（－
3－51＋533－15
＝，PD＝ 222
1＋533－15
） 22
95．（江苏模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，以A为圆心画弧，交⊙O于E、F两点，已知AB＝22，∠BAE＝15°．
（1）求AE的长；（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）作OH⊥AE于H，设AE交⊙O于另一点G，连接AC、OG ∵正方形ABCD，AB＝22
∴∠BAE＝45°，AC2AB＝4，∴OA＝2 ∵∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°
1
∴在Rt△AOH中，OH＝2OA＝1，AH3OH3
1
在Rt△OGH中，∵OG＝2AB2，OH＝1
∴GH＝1，∴HE＝GH＝1
∴AE＝AH＋HE＝3＋1 （2）连接AF
由对称性知∠FAO＝∠EAO＝30°，∴∠EAF＝60° ∵OH⊥AE，OH＝HE＝1，∴∠AEO＝45° ∴∠AOE＝75°，∴∠EOF＝150°
∴S阴影＝S扇形OEF－(S扇形AEF－2S△AOE)
π×(2)×150π×(3＋1)×60＝－＋(3＋1)×1 360360
2
2
π
＝6(1－23)＋3＋1
96．（安徽某校自主招生）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PCD为⊙O一条割线，过C作CF∥PA，分别交AB、AD于点E、F，求证：E是CF中点．
95
证明：作OH⊥CD于H，连接EH、OA、OB、CB 则H为CD中点
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴∠PAO＝∠PBO＝90°＝∠PHO
∴P、A、H、O、B五点都在以OP为直径的圆上 ∴∠APH＝∠ABH
∵CF∥PA，∴∠ECH＝∠APH
∴∠ABH＝∠ECH，即∠EBH＝∠ECH ∴B、C、E、H四点都在同一圆上 ∴∠CHE＝∠CBE＝∠CDA ∴EH∥AD，∴E是CF中点
96
百度搜索“爱华网”,专业资料,生活学习,尽在爱华网
