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广东省2013届高三最新文科试题精选（21套含九大市区的二模等）分类汇编9：圆锥曲线参考答案
一、选择题 1. B 2. B
3. C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c?b?c?b?a?c?e?
2
2
2
2
2
12
又e?(0,1),所以e?(0,)
2
4. C 5. B 6. C 7. D 8. A
1
?x2?4y
9. 联立?,消去y得x2?2x?8?0,解得x1??2,x2?4.不妨设A在y轴左侧,于是A,B
?x?2y?4?0
的坐标分别为(-2,1),(4,4),
解法1:由抛物线的定义可得:|AF|?1?(?1)?2,|BF|?4?(?1)?
5,
AF?BF?AB
2AF?BF
2
2
2
|AB|??由余弦定理cos?AFB???
45
.故选D.
解法2:由抛物线的定义可得:|AF|?1?(?1)?2,|BF|?4?(?1)?5,
uuruur
可求AB?AF?5,BF?2,∵FA?(?2,0),FB?(4,3) uuruuruuruuur
∴FA?FB?|FA|?|FB|cos?AFB??8,∴cos?AFB?
?82?2?5
??
45
10. C 11. A
12. 【解析】抛物线的准线方程为x?-2,,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y?2px(p?0)?
2
其准线方程为x??
13. D 14. B 二、填空题
pp
? ∴???2?解得p?4? ∴抛物线的标准方程为y2?8x.故选B. 22
15. (x?5)?y?9 16. 8 三、解答题
17.解:(Ⅰ)设椭圆方程为
22
xa
22
?
yb
22
?1.
由已知,b?
5,e?
ca
?
6 .6ba
22
e?
2
ca
22
?
a?ba
2
22
?1?
, ?1?
5a
2
?
16
. 解得a2?6
∴所求椭圆方程为
x
2
6
?
y
2
5
?1
---------zxxk
(Ⅱ)令M(x1,y1), , 则 S?MFF?
1
2
12
|F1F2|?|y1|?
12
?2?|y1|
∵?
5?y1?
5,故|y1|的最大值为5
∴当y1??5时,S?MFF的最大值为
12
(Ⅲ)假设存在一点P, 使PF1?PF2?0,?PF1?0,PF2?0,∴PF1?PF2, ∴⊿PF1F2为直角三角形,∴PF1
2
?PF2
2
?F1F2
2
?4 ① -zxxk
又∵PF1?PF2?2a?26 ② ∴②-①,得 2PF1?PF2?20,∴
1
2
1
2
2
12
PF1?PF2?5,
--------------13分
即S?PFF=5,但由(1)得S?PFF最大值为∴不存在一点P, 使PF1?PF2?0
,故矛盾,
18. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求
解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)
解:(1)方法1:设动圆圆心为?x,y?,依题意得
2
2
?y?1
整理,得x?4y.所以轨迹M的方程为x?4y
方法2:设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F?0,1?的距离和点P到定直线y??1的距离相等, 根据
且其中定点F?0,1?为焦点,定直线y??1为准线. 所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x?4y (2)由(1)得x?4y,即y?
2
2
14
x,则y??
2
12
x.
??
设点D?x0,x02?,由导数的几何意义知,直线的斜率为kBC?x0
24??
11
y
C
由题意知点A??x0,
?
?1
12?12???2?
x0?.设点C?x1,x1?,B?x2,x2?, 444?????
A
D
B O
l
x
1
则kBC?x1?
2
1
x1?x2
x2
2
?
x1?x2
4
?
12
x0,
即x1?x2?2x0
1
2
因为kAC?x1?
1
x1?x0
x0
2
1
?x1?x0
4
,kAB?x2?
2
1
x2?x0
x0
2
?
x2?x0
4
由于kAC?kAB?
x1?x0
4
?
x2?x0
4
?
?x1?x2??2x0
4
?0,即kAC??kAB
所以?BAD??CAD
(3)方法1:由点D到AB
,可知?BAD?45
14
?
不妨设点C在AD上方(如图),即x2?x1,直线AB的方程为:y?
12?
?y?x0???x?x0?,由? 4?x2?4y.?
x0???x?x0?.
2
解得点B的坐标为?x0?4,
?
?14
?
?x0?4??
2
?
所以
AB?
0?4???
?x0???2.
?
由(2)知?CAD??BAD?45,
同理可得AC??2
所以△ABC
的面积S?解得x0??3
12
??2??2?4x0?4?20,
2
当x0?3时,点B的坐标为??1,
?
?
31?k?,, ?BC
24?
直线BC的方程为y?
14
?
32
?x?1?,即6x?4y?7?0
广东省2013届高三最新文科试题精选（21套含九大市区的二模等）分类汇编9：圆锥曲
线
一、选择题
1 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD版））已知椭圆
x
2
16
?
y
2
9
?1及以下3
个函数:①f(x)?x②f(x)?sinx③f(x)?cosx;其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有 A, 1个
B．,2个 C, 3个 D,0个
xa
22
2 （．广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD版））设双曲线?
yb
22
?1(a?0,b?0)
的虚轴长为2 ,
焦距为则双曲线的渐近线方程为
12
（ ）
A．y??x, B
．y?x, C
．y?, D．y??2x
3 ．（广东省汕头市潮阳黄图盛中学2013届高三4月练习数学(文)试题）已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满
??????????
足MF1?MF2?0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
1
（ ）
A．(0,1) B．(0,]
2
C
．(0,
2
D
．2
2
,1)
x
2
4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题）若抛物线y?ax的焦点与双曲线
12
?
y
2
4
?1的
右焦点重合,则a的值为 A．4
B．8
C．16
D
．
（ ）
5 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（文）试题）已知F1、F2为双曲线
的左、右焦点,点P在曲线C上,∠F1PF2=60,则P到x轴的距离为
（ ）
A
B
C
D
x
2
6 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）已知方程2?k
?
y
2
2k?1
?1
表示焦点（ ）
在
y
轴上的椭圆,则实数k的取值范围是
?1?
?,1?D．?2?
?1??,2?2? A．?
B．(1,??) C．(1,2)
7 ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（文）试题）已知m是两个正数2和8的等比中项,则圆
x?
2
y
2
锥曲线
m
=1的离心率是
（ ）
A
．2
或2 B
．2
C
D
．2
x
2
8 ．（广东省韶关市2013届高三年级第一次调研测试数学文试题）若方程
1?k
?
y
2
1?k
?1表示双曲线,则k的
取值范围是 A．?1?k?1
B．k?0
C．k?0
D．k?1或k??1
2
（ ）
9 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（文）试题）已知抛物线C:x?4y的焦点为F,
直线x?2y?4?0与C交于A,B两点.则cos?AFB的值为 A．
45
（ ） D．?
45
B．
35
C．?
5
3
10．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）已知有公共焦点的椭圆与双
曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是
?1?
A．?0,?
?3?
?11B．?,
?32
?? ?
?12C．?,
?35
?? ?
?2?D．?,1?
?5?
（ ）
11．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）过点F(1,0)且与直线x??1
相切的动圆圆心P的轨迹方程为 A．y?4x
2
（ ）
C．y?2x
2
B．y??4x
2
D．x?4y
2
12．（广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）设抛物线的顶点在原点,准线方程为x??2,
则抛物线的方程是 A．y??8x
2
（ ）
B．y?8x
2
C．y??4x
2
D．y?4x
2
13．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文）试题）已知双曲线的顶点与焦点分别
是椭圆的
ya
22
?
xb
22
?1(a?b?0)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰
为正方形,则椭圆的离心率为13
B．
12
C
．
3
D
．
2
14．（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）若双曲线
xa
22
?
yb
22
?1的渐近线与圆
(x?2)?y
22
?1相切,则此双曲线的离心率为 （ ）
23
2二、填空题
A．
3
B．3 C．2
D．3
15．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学文试题）以双曲线
x
2
16
?
y
2
9
?1的右焦点为圆心,并
与其渐近线相切的圆的标准方程为____________________________________.
16．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学文试题（WORD版））若抛物线
y?2px(p?0)
2
的焦
三、解答题
17．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知点(0,?5)是中心在原点,长轴在x轴
上的椭圆的一个顶点, 离心率为
66
,椭圆的左右焦点分别为F1和F2 .
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)点M在椭圆上,求⊿MF1F2面积的最大值;
(Ⅲ)试探究椭圆上是否存在一点P,使PF1?PF2?0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
18．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学文试题（WORD版））经过点F?0,1?且与直线y??1相
切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程; (2)证明:?BAD??CAD; (3)若点D到直线AB
的距离等于
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
19．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）已知椭圆C1和抛物线C2有
公共焦点F?1,0?, C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,直线过点M(4,0). (1)写出抛物线C2的标准方程;
(2)若坐标原点O关于直线的对称点P在抛物线C2上,直线与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
20．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD版））已知椭圆C:
xa
22
?
yb
22
?1(a>b>0),
12
一条直线?x?y?2??0(??R).所经过的定点恰好是椭圆的一个定点,且椭圆的离心率为(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 已知圆O:x2?y2?r2(b<r<a),若另一条直线与椭圆C只有一个公共点M,且直线与圆O相切于点N,求MN的最大值. (3)
21．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学文试题）已知椭圆
xa
22
?
y
2
2
a?1
?1 (a?１)的左右焦
点为F1,F2,抛物线C:y2?2px以F2为焦点. (1)求抛物线C的标准方程;
(2)设A、B是抛物线C上两动点,过点M(1,2)的直线MA,MB与y轴交于点P、Q. ?MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.
22．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题）如图,椭圆E:
e?
2
xa
22
?
yb
22
?1 (a?b?0)
的离心率
经过椭圆E的下顶点A和右焦点F的直线l与圆C:x2?(y?2b)2?
274
相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若动点P、Q分别在圆C与椭圆E上运动,求PQ取得最大值时点Q的坐标.
（第20题图）
23．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学文试题（WORD版））已知三角形ABC的三个顶点的
坐标分别为A(3,2),B(1,3),C(2,5),l为BC边上的高所在直线. (1)求直线l的方程;
该椭圆的方程.
24．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（文）试题）
设F1,F2分别是椭圆C:
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0)的左右焦点.
(1)设椭圆C
上的点到F1,F
2两点距离之和等于,写出椭圆C的方程; (2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A,B,求?ABF1的面积;
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于M,N两点,当直线PM ,PN的斜率都存在,并记为kPN,kPN试探究kPN?kPN的值是否与点P及直线有关,并证明你的结论.
25．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（文）试题）曲线C1,C2都是以原点O为对称中
心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M的坐标是(0,1),线段MN是曲线C1的短轴,并且是曲线C2的长轴 . 直线l:y?m(0?m?1)与曲线C1交于A,D两点(A在D的左侧),与曲线C2交于B,C两点(B在C的左侧
).
(1)当m
=
2
,AC?
54
时,求椭圆C1,C2的方程;
(2)若OC?AN,求m的值.
26．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）已知椭圆C:
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0)的
右顶点A为抛物线y2?8x的焦点,上顶点为B,
离心率为(1)求椭圆C的方程;
2
(2)
过点且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ
的中点横坐标是?求直线l的方程.
27．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（文）
5
,
左、右焦点分别为F1、F2 ,右顶点为A ,离心率e?
12
(1)设抛物线C2:y2=4x的准线与x轴交于F1,求椭圆的方程; (2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,b是双曲线C3在第一象限上任意—点,问是否存在常数?(??0),使
28（．广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（文）试题）已知F1,F2分别是椭圆C:
恒成立?若存在,求出?的值;若不存在,请说明理由.
ya
22
?
xb
22
?1(a?b?0)
53
的上、下焦点,其中F1也是抛物线C1:x?4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|?(1)求椭圆C1的方程;
2
.
(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值.
29．（广东省韶关市2013届高三年级第一次调研测试数学文试题）椭圆C:
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0)的离心率为
35
,两焦点分别为F1,F2,点M是椭圆C上一点,?F1F2M的周长为16,设线段MO(O为坐标原点)与圆
154
222
O:x?y?r交于点N,且线段MN长度的最小值为
.
(1)求椭圆C以及圆O的方程;
(2)当点M(x0,y0)(x0?0)在椭圆C上运动时,判断直线l:x0x?y0y?1与圆O的位置关系.
30．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（文）试题）如图(5),设点F1(?c,0)、F2(c,0)分
别是椭圆C:
x
22
a
(1)求椭圆C的方程;
uuuruuur
?y?1(a?1)的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且PF1?PF2最小值为0.
2
(2)设直线l1:y?kx?m,l2:y?kx?n,若l1、l2均与椭圆C相切,证明:m?n?0;
(3)在(2)的条件下,试探究在x轴上是否存在定点B,点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点
B坐标;若不存在,请说明理由.
y
x
F1
o
F2
图（5）
2
31．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）设椭圆x?
yb
22
?1(0?b?1)
的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B,过F、B、C三点做?P.
(1) 若FC是?P的直径,求椭圆的离心率;
(2) 若?P的圆心在直线x?y?0上,求椭圆的方程.
32．（广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上
,一
个顶点为B(0,?1),且其右焦点到直线x?y??0的距离为3. (1)求椭圆方程;
(2)设直线l过定点Q(0,),与椭圆交于两个不同的点M、N,且满足BM?BN.
2
3
求直线l的方程.
33．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（文）试题）已知椭圆C1的中心在坐标
原点,两个焦点分别为F1(?2,0),F2?2,0?,点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线
C2:x?4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2, 且l1与l2交于点P.2
(1) 求椭圆C1的方程;
(2) 是否存在满足PF1?PF2?AF1?AF2的点P? 若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点
P的坐标); 若不存在,说明理由.
34．（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）已知F1(?2, 0), F2(2, 0),点P满足
|PF1|?|PF2|?2,记点P的轨迹为E.
(Ⅰ)求轨迹E的方程;
(Ⅱ)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
?????????
l(i)设点M(m, 0),问:是否存在实数m,使得直线绕点F2无论怎样转动,都有MP?MQ?0成立?若
存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. (ii)过P、Q作直线x?范围.
12
的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记??
|PA|?|QB|
|AB|
,求?的取值
当x0??3时,点B的坐标为??7,
?
?
349?
,, k???BC
24?
直线BC的方程为y?
494
??
32
?x?7?,即6x?4y?7?0
,可知?BAD?45
?
方法2:由点D到AB
由(2)知?CAD??BAD?45?,所以?CAB?90?,即AC?AB. 由(2)知kAC?所以kACkAB?
x1?x04
x1?x0
4
,kAB?
?
x2?x0
4
.
x2?x0
4
??1.
即?x1?x0??x2?x0???16. ① 由(2)知x1?x2?2x0. ②
?x1?x0?4,
不妨设点C在AD上方(如图),即x2?x1,由①、②解得?
x?x?4.0?2
因为
AB?
??2,
同理AC??2 以下同方法1.
19. ⑴由题意,抛物线C2的焦点F?1,0?,则
p2
?1,p?2
所以方程为:y2?4x ⑵解法1、
设P(m,n),则OP中点为(
mn
,), 22
因为O、P两点关于直线
m?n?k(?4)??22
(每方程y?k(x?4)对称,所以?
?n?k??1??m
1分)
2
?8km??2
?km?n?8k?1?k即?,解之得?,
m?nk?08k??n??
2
?1?k?
将其代入抛物线方程,得:(?
8k1?k
2
)?4?
2
8k
22
1?k
,所以k2?1(列式计算各1分)
?y?k(x?4)?
联立 ?x2y2,消去y,得:(b2?a2)x2?8a2x?16a2?a2b2?0
?2?2?1
b?a
由??(?8a2)2?4(b2?a2)(16a2?a2b2)?0,得a2?b2?16, 注意到b2?a2?1,即2a2?17,
所以a?因此,椭圆C
1解法2、
?m2?
,m? ,因为O、P两点关于直线对称,则OM?MP=4,
设P??4?即?4,解之得m??4
,
即2a?即P(4,?4),根据对称性,不妨设点P在第四象限,且直线与抛物线交于A,B 如图.则kAB??于是直线方程为y?x?4(讨论、斜率与方程各1分)
?y?x?4?
联立 ?x2y2,消去y,得:(b2?a2)x2?8a2x?16a2?a2b2?0
?2?2?1
b?a
1kOP
?1,
由??(?8a2)2?4(b2?a2)(16a2?a2b2)?0,得a2?b2?16, 注意到b2?a2?1,即2a2?17,
所以a?因此,椭圆C
1
,
即2a?
20.
21.解:(1)由椭圆方程得半焦距c＝a2
?(a2
?1)?1
所以椭圆焦点为F1(?1，0) F（21，0） 又抛物线C的焦点为(p2
,0) ?
p2
?1 , p?2,?C：y2
?4x
(2)直线AB的斜率为定值—1.
?y2
1?4x证明如下:设A(x,y2
?12
1,y1),B(x22),?M(1,2),A、B在抛物线y?4x上,??y2?4x2
?2
?2?4?1
由①-③得,k1?2MA?
yx?
41?1y1?2④
由②-③得,ky2?24MB?
x?④
2?1
y2?2
因为?MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以kMA??kMB
①②③
由kMA
4?y1?2???x?1y2?2?1
化简整理, ??kMB得?
y?24?2
??
?y1?2?x2?1
?y1y2?2y2?2y1?4??4x1?4⑥
得? ?y1y2?2y1?2y2?4??4x2?4⑦
由⑥-⑦得:4(y1?y2)??4(x1?x2)
?k?
y1?y2x1?x2
??44
??1为定值
解法二:设A(
y1
2
4
,y1),B(
y2
2
4
,y2)
则kAM?
y1?2y1
2
?
4y1?2
,kBM?
4y2?2
4
?1
因为?MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以kMA??kMB 即
4y1?2
?
4y2?2
?0
所以
y1?y2?4(y1?2)(y2?2)
?0
所以,由y1?y2?4?0得 y1?y2??4 所以,kAB?
y2?y1y2
2
4
?
y1
2
?
4(y2?y1)y2?y1
2
2
?
4y1?y2
?
4?4
??1.
4
所以,直线AB的斜率为定值,这个定值为?1.
22.
kBC?2
23.解:(1),因为
第17页，共32页
(2)过C作CF⊥DE,依题意,知F为DE中点,直线CF可求得为:2x-y+1=0 联立两直线方程可求得:F(1,3),
由椭圆方程与直线CD联立方程组,可得:(a?4b)y?28by?49b?ab?0 y1?y2?
28b
2
22
2
2
2
2
2
2
2
a?4b
?6b?
2
32
a
2
,即:
,又
,所以
2
2
a?
2
49b?ab
2
353
所以,
(y2?y1)?4y1y2
2
=4,即36-4
y
2
a?4b
22
,b?
2
352,
=4,解得:
x
2
35
?
352
?1
所以,所求方程为:3
?22??????24.解:(1)
由于点在椭圆上,
所以???1 22b?a?
?2a?2??a?2解得?,
2??b?1
故椭圆C的方程为
x
2
2
?y?1
2
(2)由(1)知椭圆C的左右焦点坐标分别为F1(?1,0),F2(1,0),|F1F2|?2 所以, 过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y?x?1 将其代入
x
2
2
?y?1,整理得3x?4x?0,解得x1?0,x2?
22
43
当x1?0时,y1??1,当x2?所以?ABF1的面积:
S?ABF1?S?AF1F2?S?BF1F2?
43
时,y2?
13
12
x
|F1F2|?y1?
2
2
12
|F1F2|?y2?
12
?2?1?
12
?2?
13
?
43
(3)过原点的直线L与椭圆
2
?y?1相交的两点M,N关于坐标原点对称,设M(x0,y0),
x02
2
N(?x0,?y0),P(x,y),M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程,得
第18页，共32页
?y?1,
2
x
2
2
?y?1
2
两式相减得
y?y0x?x0
y?y0x?x0
2
22
2
??
12
又∵kPN?,kPN?
y?y0x?x0
,∴kPN?kPN?
y?y0x?x0
?
y?y0x?x0
?
y?y0x?x
2
22
20
??
12
故:kPN?kPN的值与点P的位置无关,同时与直线无关.
xa
22
2
25. (1)解:设曲线C1的方程为?y?1,C2的方程为
xb
22
?y?1(a?1,0?b?1)
2
∵C1 ,C2的离心率相同, ∴a?1a
22
2
?1?b,∴ab?
1,
Q
m?
2
,?令y?
2
代入曲线方程,
则
xa
22
?
34
?1,?xA??
12
a.
xb
22
?
34
?1,?xC?
12
b.
?当m
=
2
时
,A(?
54
12
a2
12
2
,C(54
12a
2
又∵AC?,?b?a?.
5??a?2
a?b???由?2,且a?1,0?b?1,解得?1
b??ab?1?
??2
x
2
2
2
2
∴C1 ,C2的方程分别为
4
?y?1,4x?y?1
(2)令y?m代入曲线方程,
xa
22
?y?1,得xA??a?m,
22
xb
22
?y?1,得xC?b?m
22
由于ab?1,
所以A
(-C
(
,m)
第19页，共32页
由于MN是曲线C1的短轴,所以N(0,?1). ????????
∵OC⊥AN,?OC?AN?0(?)
????
????
∵OCAN=(2
代入(?)并整理得2m+m-1=0,
∴m?
12
或m??1(舍负) ,∴m?
12
. 14分
2
26.解:(1)抛物线y?8x的焦点为A(2,0),依题意可知a?2
因为离心率e?
ca
?
2
,
所以c?故b2?a2?c2?1
x
2
所以椭圆C的方程为:
4
?y?1
2
(2)
设直线l:y?kx?
由?
22
消去y
可得(4k?1)x??4?0
??y?kx?
2
2
,
??x?4y?4
因为直线l与椭圆C相交于P,Q两点, 所以??128k?16(4k?1)?0 解得|k|?
12
2
2
?4k?1
2
又
x1?x2?,x1x2?
44k?1
2
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y
0)
第20页，共32页
因为线段PQ
的中点横坐标是?
5
所以xx1?x2
?0?
2
?4k2
?1
??
5
解得k?1或k?14
因为|k|?
12
,所以k?1
因此所求直线l:y?x?
27.
第21页，共32页
28.
第22页，共32页
第23页，共32页
29.解:(1)设椭圆C的半焦距为c,则
ca
?
35
,即c?
35
a ①
又|MF1|?|MF2|?|F1F2|?2a?2c?16 联立①②,解得a?5,c?3,
所以b?所以椭圆C的方程为
x
2
②
?4.
25
?
y
2
16
?1
而椭圆C上点M(x0,y0)与椭圆中心O的距离为
|MO|?
??
?4,等号在x0?0时成立 ,
14
而|MN|?|MO|?r,则|MN|的最小值为4?r,从而r?
x0
2
,则圆O的方程为x?y?
1625
22
116
(2)因为点M(x0,y0)在椭圆C上运动,所以
25
?
y0
2
16
?1.即y0?16?
2
x0.
2
圆心O到直线l:x0x?y0y?
1的距离d?
?
当x0?
0,d?
?
14
?r,则直线l与圆O相交
30.解:(1)设P(x,y),则有F1P?(x?c,y),F2P?(x?c,y)
2
2
2
PF1?PF2?x?y?c?
a?1a
2
2
x?1?c,x???a,a?
2
2
第24页，共32页
uuuruuur
由PF1?PF2最小值为0得1?c2?0?c?1?a2?2,
x
2
2
∴椭圆C的方程为
2
?y?1
(2)把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k2)x2?4mkx?2m2?2?0 ∵直线l1与椭圆C相切,∴??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0,化简得
m?1?2k
2
2
同理可得:n2?1?2k2
∴m2?n2,若m?n,则l1,l2重合,不合题意,
∴m??n,即m?n?0------------------------------- (3)设在x轴上存在点B(t,0),点B到直线l1,l2的距离之积为1,则
2222
?1,即|kt?m|?k?1,-------------------------- 把1?2k2?m2代入并去绝对值整理, k(t?3)?2或者k(t?1)?0
2
2
2
2
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k?R恒成立
2
则t?1?0,解得t??1;
综上所述,满足题意的定点B存在,其坐标为(?1,0)或(1,0)
31.
(2)解:∵?P过点F,B,C三点,∴圆心P即在FC的垂直平分线,也在BC的垂直平分线上.FC的
垂直平分线方程为x?
1?c2
…………①
1b
∵BC的中点为(,),kBC??b.
22
b2
1b
12
∴BC的垂直平分线方程为y?
2
?(x?)……②
由①②得:x?
1?c2
,y?
b?c2b1?cb?c
,即圆心P(,)
22b
b?c2b
2
2
∵P在直线x?y?0上,∴
1?c2
??0?(1?b)(b?c)?0
2
∵1?b?0,∴b?c,由b2?1?c2,得b?
12
∴椭圆的方程为x2?2y2?1
xa
22
32.解 (1)设椭圆方程为?
yb
22
?1(a?b?0), 则b?1
令右焦点F(c,0)(c?0),
则由条件得3?
2
得c?那么a?b?c?3,∴椭圆方程为
222
x
2
3
?y?1
(2)若直线l斜率不存在时,直线l即为y轴,此时M,N为椭圆的上下顶点, BN?0,BM?2,不满足条件;
32
2
故可设直线l:y?kx?消去y得: ?1?3k
2
2
(k?0),与椭圆
154
x
2
3
?y?1联立,
2
?x
?9kx?
2
?0
2
由???9k??4?1?3k??
1549k
?0,得k?
512
由韦达定理得x1?x2??
1?3k
2
9k
22
而y1?y2?k(x1?x2)?3??
1?3k
?3
设M(x1,y1),N(x2,y2)的中点P(x0,y0),则x0?由BN?BM,则有BP?MN.
y1?y2
kBP?
y0?1x0
?
22
9k
2
x1?x2
2
,y0?
y1?y2
2
?1
?
?
x1?x2
?5211?3k
??
9kk?21?3k
可求得k2?检验k?
2
23
512
,??)
23
?(
所以直线方程为y?
3
x?
32
或y??
3
?
32
33. (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的
数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法1:设椭圆C1的方程为
xa
22
?
yb
22
?1?a?b?0?,
2
?2232
??2?2?1,?a?16,
依题意: ?a解得: ? b2
??b?12.?a2?b2?4.
?
2
2
∴ 椭圆C1的方程为
x
16
?
y
12xa
22
?1.
解法2:设椭圆C1的方程为
?
yb
22
?1?a?b?0?,
根据椭圆的定义得2a?AF1?AF2?8,即a?4,
222
∵c?2, ∴b?a?c?12
∴ 椭圆C1的方程为
x
2
16
14
?
y
2
12
2
?1
14
2
(2)解法1:设点B(x1,
BA?(2?x1,3?
14
2
x1),C(x2,x2),则BC?(x2?x1,
14
(x2?x1)),
22
x1),
∵A,B,C三点共线,
????????∴BC//BA
∴?x2?x1??3?
?
?1
12?
x1??44?
?x
22
?x1
2
??2?x1?,
化简得:2(x1?x2)?x1x2?12. ① 由x2?4y,即y?
14
x,得y??
2
12
x
∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?
x12
14
14
x1?
2
x12
(x?x1),
即y?x?
x1. ②
x22
2
2
同理,抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 y?
x12
14
x22
14
x?
14
x2. ③
2
设点P(x,y),由②③得:
12
x?
x1?
2
x?
x2,
而x1?x2,则 x?代入②得 y?
14
(x1?x2)
x1x2,
则2x?x1?x2,4y?x1x2代入 ① 得 4x?4y?12,即点P的轨迹方程为
y?x?3
若PF1?PF2?AF1?AF2 ,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y?x?3上,
∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0), ∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点
∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个 解法2:设点B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),
2
由x?4y,即y?
14
x,得y??
2
12
x
∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?
x12
14
x12
(x?x1),
即y?
x?y1?
12
x1 x12
2
∵y1?x1, ∴y?
2
x?y1 .
x12
∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?
x22
x0?y1. ①
同理, y0?x0?y2. ②
x2
x0?y
综合①、②得,点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线L的方程为y0?
x2
x0?y,
∵点A(2,3)在直线L上, ∴y0?x0?3 ∴点P的轨迹方程为y?x?3
若PF1?PF2?AF1?AF2 ,则点P在椭圆C1上,又在直线y?x?3上, ∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),
∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个
解法3:显然直线L的斜率存在,设直线L的方程为y?k?x?2??3,
??y?k?x?2??3,2由?消去y,得x?4kx?8k?12?0
2??x?4y,
设B?x1,y1?,C?x2,y2?,则x1?x2?4k,x1x2?8k?12
2
由x?4y,即y?
14
x,得y??
2
12
x
∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?
x12
(x?x1),
第29页，共32页
即y?
x12
14
x?y1?
12
2
x1
∵y1?x1, ∴y?
2
x12
x?
14
x1.
x22
14
2
同理,得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为y?
x?
x2
2
??x1?x2x112y?x?x,x??2k,??1
??242
由?解得?
xxx12??y?12?2k?3.y?2x?x2,
???4?24
∴P?2k,2k?3?
∵PF1?PF2?AF1?AF2,
x
2
∴点P在椭圆C1:
16
2
?
y
2
12
?1上
∴
?2k?
16
2
?
2
?2k?3?12
?1.
化简得7k?12k?3?0.(*)
由Δ?122?4?7???3??228?0,
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个
34.解:(Ⅰ)由|PF1|?|PF2|?2?|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由
c?2,2a?2,∴b?3,故轨迹E的方程为x?
22
y
2
3
?1(x?1).
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l方程为y?k(x?2),与双曲线方程联立消y得
(k
2
?3)x?4kx?4k
222
?3?0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
?k2?3?0
?
???0
2?24k∴?x?x?, 解得k?3 ?0122
k?3?
2?4k?3
?x1?x2?2?0
k?3?
第30页，共32页
?????????
(i)∵MP?MQ?(x1?m)(x2?m)?y1y2 ?(x1?m)(x2?m)?k(x1?2)(x2?2)?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?m?4k?
(k?1)(4k?3)
k?3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
4k(2k?m)
k?3
2
2
22
?m?4k
2
?
3?(4m?5)k
k?3
2
2
?m
?????????
假设存在实数m,使得MP?MQ?0,
故得3(1?m2)?k2(m2?4m?5)?0对任意的k2?3恒成立,
2
??1?m?0∴?,解得m??1.
2??m?4m?5?0
?????????
∴当m??1时,MP?MQ?0.
当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立,
?????????
综上,存在m??1,使得MP?MQ?0.
(ii)∵a?1,c?2,∴直线x?由双曲线定义得:|PA|?
|PQ|2|AB|
12
是双曲线的右准线,
12
|PF2|,|QB|?
1e
|PF2|?
12
|QF2|,
方法一:∴???
x2?x1|2|y2?y1|
?
x2?x1|2|k(x2?
x1)|
?
2|k|
?
2
∵k?3,∴0?
1k
2
?
13
,∴
12
???
3
12
注意到直线的斜率不存在时,|PQ|?|AB|,此时??
?1
3?
?. 3??
,
综上,???,
?2
方法二:设直线PQ的倾斜角为?,由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点,∴
?
3???
2?3
,过Q
第31页，共32页
作QC?PA,垂足为C,则?PQC?|∴??
|PQ|2|AB|
?|PQ|2|CQ|
?
12cos(
?
2
??|,
?
???)
12sin?
2
由
?
3
???
2?3
,
得
2
?sin??1,
故
:????1,?
? ?23??
第32页，共32页
百度搜索“爱华网”,专业资料,生活学习,尽在爱华网
