爱华网高三二轮专题复习：平面向量
【高考要求】
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
【热点分析】
对本章内容的考查主要分以下三类：
1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3、向量在空间中的应用（在B类教材中）。在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
【典型例题】
例1. 已知=（2,1）, =（－1,3）,若存在向量使得：·=4, ·=－9，试求向量的坐标、
【解析】设=（x,y）,则由·=4可得：
2x+y=4；又由·=－9可得：－x+3y=－9
于是有：
由（1）+2（2）得7y=－14,∴y=－2,将它代入（1）可得：x=3
∴=（3,－2）、
例2. 已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求及点D的坐标。
【解析】设点D的坐标为（x,y）
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴∥
又=（x－2,y－1）, =（－6,－3）
=（x－3,y－2）
∴
解方程组，得x=,y=
∴点D的坐标为（，），的坐标为（－，）
例3. 设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=（1，0），求，、
【解析】∵｜｜＝｜｜=1，
∴可设=（cosα,sinα）, =（cosβ,sinβ）、
∵+=（cosα+cosβ,sinα+sinβ）=（1,0），
由（1）得：cosα=1－cosβ……（3）
由（2）得：sinα=－sinβ……（4）
∴cosα=1－cosβ=
∴sinα=±,sinβ=
或
例4. 对于向量的集合A={=（x,y）｜x2+y2≤1}中的任意两个向量、与两个非负实数α、β；求证：向量α+β的大小不超过α+β。
【证明】设=（x1,y1），=（x2,y2）
根据已知条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1
又因为｜α+β｜=
=
其中x1x2+y1y2≤≤1
所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β
例5. 已知A（0，a）,B（0,b）,（0＜a＜b＝，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出其最大值。
【解析】设C（x,0）（x＞0）
则=（－x,a）, =（－x,b）
则·=x2+ab、
cos∠ACB==
令t=x2+ab
故cos∠ACB=
当=即t=2ab时，cos∠ACB的最大值为；
当C的坐标为（,0）时，∠ACB的最大值为arccos。
例6. 已知
①求；
②当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？
【解析】①= （1,0） + 3（2,1） = （ 7,3） , ∴= =.
②k= k（1,0）－（2,1）=（k－2,－1）.
设k=λ（）,即（k－2,－1）= λ（7,3）,
∴ .
故k= 时, 它们反向平行.
例7. 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
【解析】如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，
满足，，，两两不共线，有
（+）·（+）
=（+++）·（++）
=（2++）·（2+）
=（2－）·（2+）
= 42－2=0
有（+）与（+）垂直，
同理可证其他情况，从而，，，满足题意，故存在这样的4个平面向量。
例8. 已知向量满足条件，，求证：是正三角形
【解析】令O为坐标原点，可设
由，即
①
②
两式平方和为，，
由此可知的最小正角为120°，即与的夹角为120°，
同理可得与的夹角为120°，与的夹角为120°，
这说明三点均匀分布在一个单位圆上，
所以为正（等腰）三角形.
例9. 求的最值
【解析】原函数可变为，
所以只须求的最值即可，
构造，
那么.
故.
例10. 三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），求：（1）BC边上的中线
AM的长；（2）∠CAB的平分线AD的长；（3）cosABC的值.
【解析】 （1）点M的坐标为xM=
D点分的比为2.
∴xD=
（3）∠ABC是与的夹角，而=（6，8），=（2，－5）.
例11. 设函数f （x）＝，其中向量＝（2cosx , 1）, ＝（cosx,sin2x）, x∈R.（1）若f（x）＝1－且x∈[－，]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量＝（m , n） （﹤）平移后得到函数y＝f（x）的图象，求实数m、n的值.
【解析】 （1）依题设，f（x）＝（2cosx，1）·（cosx,sin2x）＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin（2x＋）
由1＋2sin（2x＋）=1－，得sin（2x＋）＝－.
∵－≤x≤, ∴－≤2x＋≤, ∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2（x－m）+n的图象，即函数y＝f（x）的图象.
由（1）得f （x）＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.
例12. 设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A（0，2），B（0，－2）且（λ∈R）.（Ⅰ）求点C（x，y）的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点（2，0）作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
【解析】（I）由已知得, 又，∴
∵CH=HA ∴即
（II）设直线L的方程为y=k（x-2），代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12（k2-1）=0
设N （x1，y1），M （x2，y2），则x1 +x2=，x1 x2=
∵，∴ 四边形OMPN是平行四边形.
若四边形OMPN是矩形，则
∴x1 x2+y1 y2=0 ∴得
∴直线L为：
例13. 已知椭圆方程，过B（－1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分的比为λ1、λ2. 求证：λ1＋λ2＝0
【解析】设l的方程为y＝k（x＋1），代入椭圆方程整理得
（4k2＋1）x2＋8k2x＋4（k2－1）＝0.
设C（x1,y2）,D（x2,y2），则x1＋x2＝－.
由得
所以.同理，设E
得
其中
.
例14. 已知点G是△ABC的重心，A（0, －1），B（0, 1），在x轴上有一点M，满足||=||，（∈R）. ⑴求点C的轨迹方程；
⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P，Q，且满足||=||，试求k的取值范围.
【解析】 ⑴设C（x, y），则G（,）. ∵（∈R），∴GM//AB,
又M是x轴上一点，则M（, 0）. 又||=||，
∴，整理得，即为曲线C的方程.
⑵①当k=0时，l和椭圆C有两不同交点P，Q，根据椭圆对称性有||=||.
②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，
联立方程组 消去y，整理得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3（m2－1）=0（*）
∵直线l和椭圆C交于不同两点，
∴△=（6km）2－4（1＋3k2）×（ m2－1）＞0，即1＋3k2－m2＞0. （1）
设P（x1, y1），Q（x2, y2），则x1, x2是方程（*）的两相异实根，∴x1＋x2=－
则PQ的中点N（x0, y0）的坐标是x0==－，y0= k x0＋m=，
即N（－, ），
又||=||，∴⊥，∴k·kAN=k·=－1，∴m=.
将m=代入（1）式,得 1＋3k2－（）2＞0（k≠0），
即k2＜1，∴k∈（－1, 0）∪（0, 1）.
综合①②得，k的取值范围是（－1, 1）.
【模拟试题】
1. 已知向量（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则m的值为 （ ）
A. B. C. D. 4
3. 已知向量=（2，0）,向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）
A. ［0，］ B. ［，］ C. ［，］ D. ［，］
4. 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（ ）
A. B. C. 3 D. －3
5. 已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（ ）
A. ⊥ B. ⊥（－）
C. ⊥（－） D. （＋）⊥（－）
6. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7. △ABC中，若a4+b4+c4=2c2（a2+b2），则∠C的度数是：
A. 60° B. 45°或135° C. 120° D. 30°
8. 已知向量a=（），向量b=（），则|2a－b|的最大值是
9. 把函数y=2x2－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且a⊥b，c=（1,－1），b·c=4，则b=
10. 在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____.
11. 已知向量a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ），－＜θ＜.
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值.
12. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设DMGA＝a（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数
（2）求y＝的最大值与最小值
13. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且.（1）求动点N的轨迹方程；
（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围.
14. 已知两点M（－1，0）， N（1 , 0），且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为（x0、y0），记θ为与的夹角，求tanθ.
【试题答案】
1. C 提示：设，则，又
，所以，得，，
2. D 提示：设交点M（x,y），，代入直线方程可得.
3. D 提示：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半径的圆.
4. B 提示：设A（x1,y1），B（x2,y2），·＝x1x2+y1y2＝，将直线方程y=k（x－0.5）代入抛物线方程消去x可得y1y2.
5. C 提示：由|－t|≥|－|得|－t|2≥|－|2，展开并整理得,得,即.
6. D 提示：由.
即， 则
所以P为的垂心.
7. B 提示：由a4+b4+c4=2c2（a2+b2）得：a4+b4+c4－2a2c2-2b2c2+2a2b2=2a2b2,即（a2+b2-c2）2=2a2b2
a2+b2-c2=ab，
8. 4
9. （3, －1）
10. －2 提示：
，当时取等号.
即的最小值为:-2.
11. 解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，由此得 tanθ＝－1（－＜θ＜＝，所以 θ=-；
（Ⅱ）由a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ）得｜a＋b｜＝
＝＝，
当sin（θ＋）＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1.
12. 解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝，DMAG＝，
由正弦定理，得
则S1＝GM·GA·sina＝ 同理可求得S2＝
（2）y＝＝
＝72（3＋cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240
当a＝时，y取得最小值ymin＝216
13. 略解 （1）y2＝4x （x＞0） （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为
y＝kx＋b（k≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）.联立直线与抛物线方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由，得.
又 故 而
解得直线l的斜率的取值范围是
14. 略解（Ⅰ）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，
由题意，可得点P的轨迹方程是
故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆.
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，，可得cosθ＝，
又x0,∴即,
于是sinθ＝＝＝＝，
