小学数学典型应用题 小学数学应用题分类解题大全

求平均数应用题是在“把一个数平均分成几份,求一份是多少”的简单应用题的基础上发展而成的。它的特征是已知几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等。最后所求的相等数,就叫做这几个数的平均数。

解答这类问题的关键,在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。

计算方法:

总数量÷总份数=平均数

平均数×总份数=总数量

总数量÷平均数=总份数

例1:东方小学六年级同学分两个组修补图书。第一组28人,平均每人修补图书15本;第二组22人,一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本?

要求全班平均每人修补图书多少本,需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数。

(15×28+280)÷(28+22)=14本

例2:有水果糖5千克,每千克2.4元;奶糖4千克,每千克3.2元;软糖11千克,每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元?

要求什锦糖每千克多少元,要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数,即每千克什锦糖的价钱。

(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元

例3、要挖一条长1455米的水渠,已经挖了3天,平均每天挖285米,余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米?

已知水渠的总长度,平均每天挖多少米,就要先求出一共挖了多少天。

1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米

例4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前,他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后,他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分?

解法一:先求出四门功课的总分,再求出一门功课的的总分,然后求得外语成绩。

(90–2)×5–90×4=80分

例5、甲乙丙三人在银行存款,丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍,甲乙两人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元?

要求甲乙丙三人平均每人存款多少元,先要求得三人存款的总数。

(2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元

例6、甲种酒每千克30元,乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出,当剩余1千克时正好获得成本,每千克混合酒售价多少元?

要求每千克混合酒售价多少元,要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数。因为当剩余1千克时正好获得成本,所以在总千克数中要减去1千克。

(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元

例7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时,甲要22本,乙要23本,丙要30本。因此,丙还给甲13.5元,丙还要还给乙多少元?

先求买来图书如果平均分,每人应得多少本,甲少得了多少本,从而求得每本图书多少元。

1.            平均分,每人应得多少本

(22+23+30)÷3=25本

2.            甲少得了多少本

25–22=3本

3.            乙少得了多少本

25–23=2本

4.            每本图书多少元

13.5÷3=4.5元

5.            丙应还给乙多少元

4.5×2=9元

13.5÷[(22+23+30)÷3–22]×[(22+23+30)÷3–23]=9元

例8、小荣家住山南,小方家住山北。山南的山路长269米,山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家,上坡时每分钟走16米,下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。

在同样的路程中,由于是下坡的不同,去时的上坡,返回时变成了下坡;去时的下坡,回来时成了上坡,因此,所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度,需要先求得往返的总路程和总时间。

1、往返的总路程

(260+370)×2=1260米

2、往返的总时间

(260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分

3、往返平均速度

1260÷65.625=19.2米

(260+370)×2÷[(260+370) ÷16+(260+370)÷24]=19.2米

例9、草帽厂有两个草帽生产车间,上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人,平均每人生产203顶;第二车间平均每人生产草帽170顶,第二车间有多少人?

解法一:

可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。

第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶?203–185=18顶;第一车间有25人,共比按两车间平均生产数计算多多少顶?18×25=450。将这450顶补给第二车间,使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。

6.            第一车间平均每人生产数比两个车间平均顶数多几顶?

203–185=18顶

7.            第一车间共比按两车间平均数逆运算,多生产多少顶?

18×25=450顶

8.            第二车间平均每人生产数比两个车间平均顶数少几顶?

185–170=15顶

9.            第二车间有多少人、

450÷15=30人

(203–185) ×25÷(185–170) =30人

例10、一辆汽车从甲地开往乙地,去时每小时行45千米,返回时每小时行60千米。往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度。(得数保留一位小数)

解法一:

要求往返的平均速度,要先求得往返的距离和往返的时间。

去时每小时行45千米,1千米要 小时;返回时每小时行60千米,1千米要 小时。往返1千米要( + )小时,进而求得甲乙两地的距离。

1、            甲乙两地的距离

3.5÷( + )=90千米

2、            往返平均速度

90×2÷3.5≈52.4千米

3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米

解法二:

把甲乙两地的距离看作“1”。往返距离为2个“1”,即1×2=2。去时每千米需 小时,返回时需 小时,最后求得往返的平均速度。

1÷( + )≈51.4千米

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在解答某一类应用题时,先求出一份是多少(归一),然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题,这类应用题叫做归一应用题。

归一,指的是解题思路。

归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上,再求出几份是多产,这类应用题叫做正归一应用题;在求出一份是多少的基础上,再求出有这样的几份,这类应用题叫做反归一应用题。

根据“求一份是多少”的步骤的多少,归一应用题也可分为一次归一应用题,用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题;两次归一应用题,用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。

解答这类应用题的关键是求出一份的数量,它的计算方法:

总数÷份数=一份的数

例1、          24辆卡车一次能运货物192吨,现在增加同样的卡车6辆,一次能运货物多少吨?

先求1辆卡车一次能运货物多少吨,再求增加6辆后,能运货物多少吨。

这是一道正归一应用题。192÷24×(24+6)=240吨

例2、          张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个,照这样计算,这批零件还要几天加工完?

这是一道反归一应用题。

例3、          3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算,5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克?

这是一道两次正归一应用题。

例4、          一个机械厂和4台机床4.5小时可以生产零件720个。照这样计算,再增加4台同样的机床生产1600个零件,需要多少小时?

这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个,再求需要多少小时。

1600÷[720÷4÷4.5×(4+4)]=5小时

例5、          一个修路队计划修路126米,原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务,并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定,需要增加多少工人才如期完工?

先求每人每天的工作量,再求现在要修路多少米,然后求要5天完工需要工人多少人,最后求要增加多少人。

(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人

例6、          用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时,后用大水泵抽8小时,共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米?

解法一:

根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”,可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。

1、            大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量?

5÷2=2.5小时

2、            大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量

2.5×8=20小时

3、            小水泵1小时能抽水多少立方米?

642÷(6+20)=24立方米

4、            大水泵1小时能抽水多少立方米?

24×2.5=60立方米

解法二:

1、            小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

2÷5=0.4小时

2、            小水泵6小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

0.4×6=2.4小时

3、            大水泵1小时能抽水多少立方米?

624÷(8+2.4)=60立方米

4、            小水泵1小时能抽水多少立方米?

60×0.4=24立方米

例7、          东方小学买了一批粉笔,原计划29个班可用40天,实际用了10天后,有10个班外出,剩下的粉笔,够有校的班级用多少天?

先求这批粉笔够一个班用多少天,剩下的粉笔够一个班用多少天,然后求够在校班用多少天。

1、            这批粉笔够一个班用多少天

40×20=800天

2、            剩下的粉笔够一个班用多少天

800–10×20=600天

3、            剩下几个班

20–10=10个

4、            剩下的粉笔够10个班用多少天

600÷10=60天

(40×20–10×20) ÷(20–10) =60天

例8、          甲乙两个工人加工一批零件,甲4.5小时可加工18个,乙1.6小时可加工8个,两个人同时工作了27小时,只完成任务的一半,这批零件有多少个?

先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间,再求出工作了27小时,甲乙两工人各加工了零件多少个,然后求出一半任务的零件个数,最后求出这批零件的个数。

[27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)]×2=486个

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在解答某一类应用题时,先求出总数是多少(归总),然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题。

归总,指的是解题思路。

归总应用题的特点是先总数,再根据应用题的要求,求出每份是多少,或有这样的几份。

例1、      一个工程队修一条公路,原计划每天修450米。80天完成。现在要求提前20天完成,平均每天应修多少米?

450×80÷(80–20)=600米

例2、      家具厂生产一批小农具,原计划每天生产120件,28天完成任务;实际每天多生产了20件,可以几天完成任务?

要求可以提前几天,先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天,要先求这批小农具一共有多少件。

28–120×28÷(120+20)=4天

例3、      装运一批粮食,原计划用每辆装24袋的汽车9辆,15次可以运完;现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运,几次可以运完?

24×9×15÷30÷6=18次

例4、      修整一条水渠,原计划由8人修,每天工作7.5小时,6天完成任务,由于急需灌水,增加了2人,要求4天完成,每天要工作几小时?

一个工人一小时的工作量,叫做一个“工时”。

要求每天要工作几小时,先要求修整条水渠的工时总量。

1、            修整条水渠的总工时是多少?

7.5×8×6=360工时

2、            参加修整条水渠的有多少人

8+2=10人

3、            要求 4天完成 ,每天要工作几小时

4、            360÷4÷10=9小时

7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小时

例5、      一项工程,预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后,又增加3人。每人工作效率相同,这样可以提前几天完成任务?

一个工人工作一天,叫做一个“工作日”。

要求可以提前几天完成,先要求得这项工程的总工作量,即总工作日。

1、            这项工程的总工作量是多少?

15×30=450工作日

2、            4天完成了多少个工作日?

4×30=120工作日

3、            剩下多少个工作日?

450–120=330工作日

4、            剩下的要工作多少天?

330÷(30+3)=10天

5、            可以提前几天完成?

15–(4+10)=1天

15–[(15×30–4×30) ÷(30+3)+4]=1天

例6、      一个农场计划28天完成收割任务,由于每天多收割7公顷,结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷?

要求实际每天收割多少公顷,要先求原计划每天收割多少公顷。要求原计划每天收割多少公顷,要先求18天多收割了多少公顷。18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。

1、            18天多收割了多少公顷

7×18=126公顷

2、            原计划每天收割多少公顷

126÷(28–18)=12.6公顷

3、            实际每天收割多少公顷

12.6+7=19.6公顷

7×18÷(28–18) +7=19.6公顷

例7、      休养准备了120人30天的粮食。5天后又新来30人。余下的粮食还够用多少天?

先要求出准备的粮食1人能吃多少天,再求5天后还余下多少粮食,最后求还够用多少天。

1、            准备的粮食1人能吃多少天

300×120=3600天

2、            5天后还余下的粮食够1人吃多少天

3600–5×120=3000天

3、            现在有多少人

120+30=150人

4、            还够用多少天

3000÷150=20天

(300×120–5×120) ÷(120+30) =20天

例8、      一项工程原计划8个人,每天工作6小时,10天可以完成。现在为了加快工程进度,增加22人,每天工作时间增加2小时,这样,可以提前几天完成这项工程?

要求可以几天完成,要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程多少天,要先求这项工程的总工时数是多少。

10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天

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已知两个数以及它们之间的倍数关系,要求这两个数各是多少的应用题,叫做和倍应用题。

解答方法是:

和÷(倍数+1)=1份的数

1份的数×倍数=几倍的数

例1、          有甲乙两个仓库,共存放大米360吨,甲仓库的大米数是乙仓库的3倍。甲乙两个仓库各存放大米多少吨?

例2、          一个畜牧场有绵羊和山羊共148只,绵羊的只数比山羊只数的2倍多4只。两种羊各有多少只?

 山羊的只数:(148-4)÷(2+1)=48只

绵羊的只数:48×2+4=100只

例3、          一个饲养场养鸡和鸭共3559只,如果鸡减少60只,鸭增加100只,那么,鸡的只数比鸭的只数的2倍少1只。原来鸡和鸭各有多少只?

鸡减少60只,鸭增加00只后,鸡和鸭的总数是3559-60+100=3599只,从而可求出现在鸭的只数,原来鸭的只数。

1、            现在鸡和鸭的总只数

3559-60+100=3599只

2、            现在鸭的只数

(3599-1)÷(2+1)=1200只

3、            原来鸭的只数

1200-100=1100只

4、            原来鸡的只数

3599-1100=2459只

例4、          甲乙丙三人共同生产零件1156个,甲生产的零件个数比乙生产的2倍还多15个;乙生产的零件个数比丙生产的2倍还多21个。甲乙丙三人各生产零件多少个?

以丙生产的零件个数为标准(1份的数),乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个;甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。

丙生产零件多少个?

(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154个

乙:

154×2+21=329个

甲:

329×2+15=673个

例5、          甲瓶有酒精470毫升,乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升,才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍?

要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍,乙瓶 是1份,甲瓶是2份,要先求出一份是多少,再求还要倒入多少毫升。

1、            一份是多少

(470+100)÷(2+1)=190毫升

2、            还要倒入多少毫升

190-100=90毫升

例6、          甲乙两个数的和是7106,甲数的百位和十位上的数字都是8,乙数百位和十位上的数字都是2。用0代替这两个数里的这些8和2,那么,所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少?

把甲数中的两个数位上的8都用0代替,那么这个数就减少了880;把乙数中的两个数位上的2都用0代替,那么这个数就减少了220。这样,原来两个数的和就一共减少了(880+220)

[7106-(880+220)]÷(5+1)+220=1221……乙数

7106-1221=5885……甲数

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已知两个数的差以及它们之间的倍数关系,要求这两个数各是多少的应用题,叫做差倍应用题。

解答方法是:

差÷(倍数-1)=1份的数

1份的数×倍数=几倍的数

例1、            甲仓库的粮食比乙仓多144吨,甲仓库的粮食吨数是乙仓库的4倍,甲乙两仓各存有粮食多少吨?

以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数),那么,144吨就是乙仓的(4-1)份,从而求得一份是多少。

114÷(4-1)=48吨……乙仓

例2、 参加科技小组的人数,今年比去年多41人,今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加?

由“今年的人数比去年的3倍少35人”,可以把去年的参加人数作为标准,即一份的数。今年参加人数如果再多35人,今年的人数就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

去年:(41+35)÷(3-1)=38人

例3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍,如果两人各再生产20个,那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件多少个?

如果徒弟再生产20个,师傅再生产20×6=120个,那么,现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。

(20×6-20)÷(6-4)-20=30个……徒弟原来生产的个数

30×6=180个师傅原来生产个数

例4、 第一车队比第二车队的客车多128辆,再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务,这时,第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆。原来两车队各有客车多少辆?

要求“原来两车队各有客车多少辆”,需要求“现在两车队各有客车多少辆”;要求“现在两车队各有客车多少辆”,要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。

1、            现在第一车队比第二车队的客车多多少辆

128-11×2=106辆

2、            现在第二车队有客车多少辆?

(106-22)÷(3-1)=42辆

3、            第二车队原有客车多少辆?

42-11=31辆

4、            第一车队原有客车多少辆?

31+128=159辆

例5、 小华今年12岁,他父亲46岁,几年以后,父亲的年龄是儿子年龄的3倍?

父亲的年龄与小华年龄的差不变。

要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁,再求还要多少年。

(46-12)÷(3-1)-12=5年

例6、 甲仓存水泥64吨,乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨,乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍?

现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨,要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍,每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨。

(64×2-114)÷(18-2×8)=7天

例7、 甲乙两根电线,甲电线长63米,乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度,结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍。各剪去多少米?

要求“各剪去多少米”,要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变,甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。

1、            乙电线所剩的长度

(63-29)÷(3-1)=17米

2、            剪去长度

29-17=12米

例8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱,两箱的只数相等;如果从乙箱取15只放入甲箱,甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只?

要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”,先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。

已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”,要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只,“从乙箱取15只放入甲箱”,又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只。

(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只……乙箱

40+10×2=60只……甲箱

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已知两个数的和与它们的差,要求这,叫做和差应用题。

解答方法是:

(和+差)÷2=大数

(和-差)÷2=小数

 

例1、             果园里有苹果树和梨树共308棵,苹果树比梨树多48棵。苹果树和梨树各有多少棵?

例2、             甲乙两仓共存货物1630吨。如果从甲仓调出6吨放入乙仓,甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨。甲乙两仓原来各有货物多少吨?

从甲仓调出6吨放入乙仓,甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨,可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨,由此,可根据两仓货物的和与差,求得两仓原有货物的吨数。

例3、 某公司甲班和乙班共有工作人员94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时,乙班比甲班少12人,原来甲班和乙班各有工作人员多少人?

总人数不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人。现在两班人数相差12人。

要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人,先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人?

1、            现在甲班有工作人员多少人

(94+12)÷2=53人

2、            现在乙班有工作人员多少人

(94-12)÷2=41人

3、            原来甲班有工作人员多少人

53-46=7人

4、            原来乙班有工作人员多少人

41+46=87人

例4、 甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。甲比乙多装订42本,乙比丙多装订26本。他们三人各装订多少本?

先确定一个人的装订本数为标准。如果我们选定乙的装订本数为标准,从总数508中减去甲比乙多装订4的2本,加上丙比乙少装订的26本,得到的就是乙装订本数的3倍。由此,可求得乙装订的本数。

乙:

(508-42+26)÷3=164本

甲丙略

例5、 三辆汽车共运砖9800块,第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块,第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块?

根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”,可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块。

根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。

1、            第一辆:

(9800-1400)÷2=4200块

2、            第二辆和第三辆共运砖块数:

9800-4200=5600块

3、            第二辆:

(5600+200)÷2=2900块

4、            第三辆:

5600-2900=2700块

例6、 甲乙丙三人合做零件230个。已知甲乙两人做的总数比丙多38个;甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个?

先把跽两人做的零件总数看成一个数,从而求出丙做零件的个数,再把甲丙两人做的零件总数看作一个数,从而求出乙做零件的个数。

丙:(230-38)÷2=96个

乙:(230-38)÷2=78个

甲略

例7、 一列客车长280米,一列货车长200米,在平行的轨道上相向而行,两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒;两列车在平行轨道上同向而行,货车在前,客车在后,从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少?

由相向而行从相遇到相离经过15秒,可求得两列车的速度和(280+200)÷15;由同向而行从相遇到相离经过2分钟,可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度。

例8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班,两班人数相等;如果把2班的1名学生调到3班,3班还比2班少3人。三个班原来各有学生多少人?

由“如果把1班的3名学生调到2班,两班人数相等”,可知,1班学生人数比2班多3×2=6人;由“如果把2班的1名学生调到3班,3班还比2班少3人”可知,2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为标准,由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人,2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数。

(148-3×2+1×2+3)÷3=49人……2班

甲丙班略

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已知两人的年龄,求他们之间的某种数量关系;或已知两人年龄之间的数量关系,求他们的年龄等,这类问题叫做年龄应用题问题。

年龄问题的主要特点是:大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量,随时间的变化,倍数关系也会发生变化。

这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用题的综合应用。

 

例1、                小方今年11岁,他爸爸今年43岁,几年以后,爸爸的年龄是小方年龄的3倍?

因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变。以几年后小方的年龄为1份数,爸爸的年龄就是3份的数。根据差倍应用题的解法,可求出小方几年后的年龄。

(43-11)÷(3-1)=16岁

16-11=5年

例2、                妈妈今年比儿子大24岁,4年后妈妈年龄是儿子的5倍。今年儿子几岁?

“妈妈今年比儿子大24岁“,4年后也同样大24岁,根据差倍应用题的解法,可求得4年后儿子的年龄,进而求得今年儿子的年龄。

24÷(5-1)-4=2岁

例3、                今年甲乙两人年龄和为50岁,再过5年,甲的年龄是乙的4倍。今年甲乙两人各几岁?

今年甲乙两人年龄和为50岁,再过5年,两人的年龄和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄,从而求得今年乙的年龄和甲的年龄。

例4、                小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄。小高4年后与小王3年前的年龄和是35岁。今年两人各是多少岁?

由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知,小高比小王大5+7岁;他们俩今年年龄的和为:35+3-4=30岁,根据和差应用题的解法,可求得今年两人各是多少岁。

由第一个条件可知,小高比小王在5+7=12岁。由第二个条件可知,他们的年龄和为35+3-4=34岁。文档顶端

“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法。“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如:总量之差与单位量之差;时间之差与速度之差或距离之差等等。解题时可以找出题目中的两个差,再根据两个这间的相应关系使总量得到解决。

例1、   百货商场上午卖出洗衣机8台,下午卖出同样的洗衣机12台,下午比上午多收售货款6600元,每台洗衣机售价多少元?

6600÷(12-8)=1650元

例2、   一辆汽车上午行驶120千米,下午行驶210千米。下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米?

(210-120)÷1.5=60千米

例3、   新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米。已知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地,图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块?

由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”;由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”,可求得“”。从而求得各用砖多少块。

例4、   甲乙两人同时从东村出发去西村,甲每分钟行76米,乙每分钟行68米。到达西村时,乙比甲多用了4分钟。东西两村间的路程是多少米?

甲乙两人同时从东村出发,当甲到达西村时,乙距西村还有4分钟的路程。乙每分钟行68米,4分钟能行68×4=272米。也就是说,在相同的时间内,甲比乙多行272米。这是路程这差。每分钟甲比惭多行76-68=8米,这是速度这差。根据这两个差,可以求出甲走完全程所用的时间,从而求得两村之间的路程。

76×[68×4÷(76-68)]=2584米

例5、   冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台,改进工艺后,实际每天比原计划多生产5台这样,提前2天完成了这批生产任务外,还比原计划多生产了35台。实际生产电冰箱多少台?

要求“实际生产电冰箱多少台”,需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。

如果实际上再生产 2 天后话,还能生产(40+5)×2=90台,双知比原计划还多生产35台,实际上比原计划多生产了90+35=125台,这是一个总量之差。又知实际每天比原计划多生产5台,这是生产效率之差。根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数

40×{[(40+5)×2+35]÷5}+35=1035台

例6、   食品厂运来一批煤,原计划每天生产480千克,烧了预定的时间后,还剩下1680千克;改进烧煤方法后,实际每天烧400千克,烧了同样的时间后,还剩下4080千克。这批煤共有多少千克?

要求这批煤共有多少千克,先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克,实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克,这是剩下总量之差,实际每天烧400千克,计划每天烧480千克,可求得每天烧煤量之差。根据这两个差,可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克,这批煤共有多少千克。

400×[(4080-1680)÷(480-400)]+4080=16080千克

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有关栽树以及与栽树相似的一类应用题,叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树,另一种是在封闭的线路上植树。

1、            不封闭线路上植树

如果在一条不封闭的线路上可不可能,而且两端都植树,那么,植树的棵数比段数多。其数量关系如下:

棵数=总长÷株距+1

总长=株距×(棵数-1)

株距=总长÷(棵数-1)

2、            在封闭的线路上植树,那么植树的棵数与段数相等。其数量关系如下:

棵数=总长÷株距

总长=株距×棵数

株距=总长÷棵数

例1、 有一条公路全长500米,从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵?

500÷5 +1=101棵

例2、 从校门口到街口,一共插有30面红旗,相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米?

6×(30-1)=174米

例3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树,起点和终点都栽,一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米?

150÷(102÷2-1)=3米

例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树,每隔10米栽一棵杨树,在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵?

根据“棵数=总长÷株距”,可以求出杨树的棵数

在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段,栽柳树4-1=4棵。由此,可以求得柳树的棵数。

杨树:600÷10=60棵

柳树:(10÷2-1)×60=240棵

例5、 一条马路一侧,原有木电线杆97根,每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆,每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根?

1、         这条路全长多少米

40×(97-1)=3840米

2、         需要大型水泥电线杆多少根

3840÷60+1=65根

例6、 一座大桥长200米,计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案,每块图案长2米,靠近桥两端的图案离桥端10.5米。相邻两图案之间的距离是多少米?

在桥两侧共装32块图案,即每侧装16块,图案之间的间隔有16-1=15个。用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。

[200-2×(32÷2)-10.5×2]÷(32÷2-1)

文档顶端                                                                                          相向运动问题                                                                              同向运动问题(追及问题)                                                                              背向运动问题(相离问题)

在行车、行船、行走时,按照速度、时间和距离之间的相依关系,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题,叫做行程应用题。也叫行程问题。

行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系:

距离=速度×时间

速度=距离÷时间

时间=距离÷速度

按运动方向,行程问题可以分成三类:

1、            相向运动问题(相遇问题)

2、            同向运动问题(追及问题)

3、            背向运动问题(相离问题)

十、行程应用题

相向运动问题(相遇问题),是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。

解答相遇问题的关键,是求出两个运动物体的速度之和。

基本公式有:

两地距离=速度和×相遇时间

相遇时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相遇时间

例1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行,经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米,货车每小时行多少千米?

例2、 两城市相距138千米,甲乙两人骑自行车分别从两城出发,相向而行。甲每小时行13千米,乙每小时行12千米,乙在行进中因修车候车耽误1小时,然后继续行进,与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时?

因为乙在行进中耽误1小时。而甲没有停止,继续行进。也可以说,甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去,余下的路程就是跽两人共同行进的。

(138-13)÷(13+12)+1=6小时

例3、 计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工,甲队每天挖2.5米,乙队每天挖进1.5米。35天后,甲队调往其他工地,剩下的由乙队单独开凿,还要多少天才能打通隧道?

要求剩下的乙队开凿的天数,需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。

要求剩下的工作量,要先求两队的挖进速度的和,35天挖进的总米数,然后求得剩下的工作量。

[158-(2.5+1.5)×35]÷1.5=12天

例4、 一列客车每小时行95千米,一列货车每小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出,1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米?

已知1.5小时后两车还相距46.5千米,要求甲乙两城之间的铁路长,需要知道1.5小时两车行了多少千米?要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度。

(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米

例5、 客车从甲地到乙地需8小时,货车从乙地到甲地需10小时,两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶,货车从出发到相遇共用多少小时?

假设客车一出发即发生故障,且停开2小时后才出发,这时货车已行了全程的 ×2= ,剩下全程的1- = ,由两车共同行驶。

(1- ×2)÷( - )+2= 小时

例6、 甲乙两地相距504千米,一辆货车和一辆客车分别从两地相对开出。货车每小时行72千米,客车每小时行56千米。如果要使两车在甲乙两地中间相遇,客车需要提前几小时出发?

要求“如果要使两车在甲乙两地中间相遇,客车需要提前几小时出发”要先求出货车和客车行一半路程各需要多少小时。

1、            货车行至两地中间需要多少小时。

504÷2÷72=3.5小时

2、            客车行至两地中间需要多少小时。

504÷2÷56=4.5小时

3、            客车要提前几小时出发?

4.5-3.5=1小时

例7、 甲乙两人分别以均匀速度从东西两村同时相向而行,在离东村36千米处相遇。后继续前进,到达西村后及时返回,又在离东村54千米处相遇,东西两村相距多少千米?

                                                                                                                                  

  36千米

    54千米

两人第一次相遇,合走了一个全程,第二次相遇,2合走了3个全程。

两人合走了3个全程时,甲走了两个全程少54千米。

(36×3+54)÷2=81千米

例8、 甲从A地到B地需5小时,乙从B地到A地,速度是甲的 。现在甲乙两人分别从AB两地同时出发,相向而行,在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他们在途中又一次相遇。两次相遇点相距72千米。AB两地相距多少千米?

要求AB两地相距多少千米,关键是找出两次相遇点的距离占全程的几分之几

1、甲每小时行全程的几分之几

1÷5=

2、            乙每小时行全程的几分之几

× =

3、            第一次相遇用了多少小时

1÷( + )=

4、            两人合行了2个全程,甲行了全程的几分之几

× ×2=

5、            两人合行了2个全程,乙行了全程的几分之几

× ×2=

6、            两次相遇点的距离占全程的几分之几十、行程应用题

两个运动物体同向而行,一快一慢,慢在前快在后,经过一定时间快的追上慢的,称为追及。

解答追及问题的关键,是求出两个运动物体的速度之差。基本公式有:

追及距离=速度差×追及时间

追及时间=追及距离÷速度差

速度差=追及距离÷追及时间

 

例1、            甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发,同向而行。甲步行每小时行4千米,乙骑车在后面,每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲?

12÷(4×3-4)=1.5小时

例2、            一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米,摩托车每小时行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米?

要求距离差,需要知道速度差和追及时间。

距离差=速度差×追及时间

(60-48)×2=24千米

例3、            一个人从甲村步行去乙村 ,每分钟行80米。他出发以后25分钟,另一个人骑自行车追他,10分钟追上。骑自行车的人每分钟行多少米?

要求“骑自行车的人每分钟行多少米”,需要知道“两人的速度差”;要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间

80×25÷10+80=280米

例4、            甲乙两人从学校步行到少年宫。甲要走20分钟,乙要走30分钟。如果乙先走5分钟,甲需要几分钟才能追上乙?

×5÷( - )-10分钟

例5、            甲乙两人骑自行车同时从学校出发,同方向前进,甲每小时行15千米,乙每小时行10千米。出发半小时后,甲因事又返回学校,到学校后又耽搁1小时,然后动身追乙。几小时后可追上乙?

先要求得甲先后共耽搁了多少小时,甲开始追时,两人相距多少千米

10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小时

例6、            甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发,甲每小时行5千米,乙每小时行4千米。丙上午八点才从甲地出发,傍晚六点,甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙?

要求“两追上乙的时间”,需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”。

要先求丙每小时行多少千米,再求丙追上乙要多少时间

1、            丙行了多少小时

18-8=10小时

2、            丙每小时比甲多行多少千米

5×2÷10=1千米

3、            丙每小时行多少千米

5+1=6千米

4、            丙追上乙要用多少小时

4×2÷(6-4)=4小时

例7、            快中慢三辆车同时从同一地点出发,沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米,中车每小时行20千米,那么慢车每小时行多少千米?

快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同,根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度,进而求慢车每小时行多少千米。

单位换算略。6分钟= 小时  10分钟= 小时  12分钟= 小时

1、            快车 小时行多少千米

24× =2.4千米

2、            中车 小时行多少千米

20× = 千米

3、            骑车人每小时行多少千米

( -2.4)÷( - )=14千米

4、            慢车每小时行多少千米

(20-14)× ÷ +14=19千米

例8、            甲乙两人步行速度的经是7:5,甲乙两人分别由AB两地同时出发,如果相向而行,0.5小时相遇;如果他们同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?

设具体数解题。

设甲乙两人步行的速度分别为每小时7千米和5千米。

由相向而行,可求得AB两地韹距离,进而由速度差,求得追及时间。

1、            AB之间的路程是多少千米

(7+5)×0.5=6千米

2、            甲追上乙要多少小时

6÷(7-5)=3小时

十、行程应用题

背向运动问题(相离问题),是指地点相同或不同,方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。

解答背向运动问题的关键,是求出两个运动物体共同走的距离(速度和)。基本公式有:

两地距离=速度和×相离时间

相离时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相离时间

 

例1、          甲乙两车同时同地相反方向开出,甲车每小时行40千米,乙车乙车每小时快5.5千米。4小时后,两车相距多少千米?

例2、             甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶,到达A地后又以原来的速度立即返回,甲车到达A地时,乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶,到达B地后也立即返回,又用了7.5小时回到中点,这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后,每小时行多少千米?

乙车在7.5小时内行驶了(40×7.5+40+20)千米的路程,这样可以求得乙车加快后的速度。

(40×7.5+40+20)÷7.5=48(千米)

例3、             甲乙两车同时同地同向而行,3小时后甲车在乙车前方15千米处;如果两车同时同地背向而行,2小时后相距150千米。甲乙两车每小时各行多少千米?

根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”,可求得两车的速度差;根据“两车同时同地背向而行,2小时后相距150千米”,可求得两车的速度和。从而求得甲乙两车的速度(和差问题)

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流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度:

静水速度,船本身的速度,即船在静水中航行的速度。

水流速度,水流动的速度,即没有外力的作用水中漂浮的速度。

顺水速度,当船航行方向与水流方向一致时的速度。

逆水速度,当船航行方向与水流方向相反时的速度。

它们的关系如下:

顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度–水流速度

例1、两码头相距108千米,一艘客轮顺水行完全程需要10小时,逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。

1、                        顺水速度:108÷10=10.8千米

2、                        逆水速度:108÷12=9千米

3、                        静水速度:(10.8–9)÷2=9.9千米

例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时,水流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米?这一客轮逆水行完全程,需要用几小时?

要求逆水速度,需要知道顺水速度和水流速度;知道了逆水速度,就可求得行完全程所需时间。

1、            顺水速度:320÷8=40千米

2、            逆水速度:40-15×2=10千米

3、            逆水行完全程,需用几小时:320÷10=32小时

例3、某往返于甲乙两港,顺水航行每小时行15千米;逆水航行每小时行12千米,已知顺水行完全程比逆水少用2小时,求甲乙两港的距离。

顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说,逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米。顺水每小时比逆水快15-12=3千米,由此,求得顺水行完全程所需时间,进而求得两港的距离。

15×[12×2÷(15–12)]=120千米

例4、        甲船逆水航行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水航行同样一段距离需15小时,返回原地需多少小时?

由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间,可以求得甲船速度与水速的和及差,从而可以求出水速。

由乙船逆水航行的距离和时间,可以求得乙船在逆水中的速度;由乙船逆水速度水速可以求得乙船顺水速度,从而求得乙船返回原地需要的时间。

1、            甲船的顺水速度

360÷10=36千米

2、            甲船的逆水速度

360÷18=20千米

3、            水流速度

(36-20)÷2=8千米

4、            乙船逆水速度

360÷15=24千米

5、            乙船顺水速度

24+8×2=40千米

6、            乙船返回原地时间

360÷40=9小时

例5、        AB两港相距120千米,甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行,甲船比乙船多行48千米,水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。

要求甲乙两船的静水速度,只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速度的差。

1、            甲船顺水速度与乙船逆水速度的和

120÷6=20千米

2、            甲乙两船静水速度的和

甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米

3、            甲船顺水速度与乙船逆水速度的差

48÷6=8千米

4、            甲乙两船静水速度的差

甲顺速-乙逆速=(甲静速+1.5)-(乙静速-1.5)=甲静速-乙静速+1.5×2=8

甲静速-乙静速、8-1.5×2=5千米

5、            甲船的静水速度。

(20+5)÷2=12.5千米

6、            乙船的静水速度

(20-5)÷2=7.5千米

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把一定数量的东西平均分配,如果多分,东西不足;少分,东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况,这类问题叫做盈亏问题。

解答盈亏问题有下列几个公式:

1、            一盈一亏类

(盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数

2、            一盈一尽类

盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

3、            一亏一尽类

亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

4、            两盈类

(大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

 

例1、            同学们去划船。如果每条船坐5人,有14人没有座位;如果每条船坐7人,多4个空位。问有多少条船?学生多少人?

比较一下两次安排,第一次有14人没有座位,第二次又多4个座位,一盈一亏。两次相差14+4=18人。

这18人是由于第二次安排时每条船比第一次多坐7-5=2人,多出18人有几条船呢?

(14+4)÷(7-5)=9条

5×9+14=59人

或7×9-4=49人

例2、            学校分配宿舍,每个房间住3人,则多出20人;每个房间住5人,刚好安排好。部有房间多少个?学生多少人?

比较一下两次安排,第一次多出20人,第二次刚好,两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时,每个房间比第一次多住5-3=2人

例3、            学校买来一批新书。如果每人借5本则少150本;如果每人借3本则少70本。借书的学生有多少人?买来新书多少本?

(150-70)÷(5-3)=40人

5×40-150=50本

例4、            猴子分桃子。每只小猴分5个还多23个;每只小猴分9个还多3个。这堆桃子有多少个?小猴有多少只?

(23-3)÷(9-5)=5只

9×5+3=48个

例5、            一列火车装运一批货物,原计划每节车皮装46吨,结果有100吨货物没有装上去;后来改进装车方法,使每节车皮多装4吨,结果把这批货物全部装完,而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮?这批货物有多少吨?

[100+(46+4)×2]÷4=50节……车皮

46×50+100=2400吨……货物

例6、            把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人,每人分给3只,其余小朋友每人分给3只,还余9只;如果其中2人分给3只,其余小朋友每人分给5只,恰好分尽。问橘子有多少只?小朋友有多少人?

将第一种分配方案转述为:每人分3只,还多(4-3)×3+9=12只;将第二种分配方案转述为:每人分5只,还少5-3=2只。

1、            每人分3只,还多多少只?

(4-3)×3+9=12只

2、            每人分5只,还少多少只?

5-3=2只

3、            小朋友有多少人

(12+2)÷(5-3)=7人

4、            橘子有多少只

4×3+3×(7-3)+9=33只

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已知大小不相等的两部分,移多补少使两部分同样多的应用题,叫做差额平分问题。

通常的解答方法是:先求出两部分数量的差(差额),再将其差平均分成两份,取其中一份,使两部分相等。

 

例1、 有甲乙两个书架。甲书架上有书940本,乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等,应从乙书架取多少本书放入甲书架?

先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。

(1280-940)÷2=170

例2、 一班有学生52人,调6人到二班,两个班的学生人数相等。二班原来有学生多少人?

由“调6人到二班,两个班的学生人数相等”,可知,原来一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人数。

52-6×2=40人

例3、 甲仓有大米1584袋,乙仓有大米858袋,每天从甲仓运33袋到乙仓,几天后两仓的大米袋数相等?

要求“要运多少天”,先要求甲仓总共要运多少大米到乙仓,再求每天运33袋,要运多少天>

(1584-858)÷2÷33=11天

例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时,甲组要22本,乙组要23本,丙组要30本。因此,丙组还给甲组13.5元,丙组还要还给乙组多少元?

先要求平均时,各组应分得多少本,甲组少分了多少本,乙组少分了多少本。每本多少元,然后再求丙组还要给乙组多少元。

1、            平均分时,各组应得多少本

(22+23+30)÷3=25本

2、            甲少分了多少本

25-22=3本

3、            乙少分了多少本

25-23=2本

4、            每本多少元

13.5÷3=4.5元

5、            丙组还应给乙组多少元

4.5×2=9元

例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时,甲校比乙丙两校多分60棵,因此,甲校还给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元?

1、            乙丙两校各少分了多少棵

60÷3=20棵

2、            每棵树苗多少元

160÷20=8元

例6、 甲仓有粮食100吨,乙仓有粮食20吨。从甲仓调多少吨粮食到乙仓,乙仓的粮食是甲仓的2倍?

要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓,乙仓的粮食是甲仓的2倍”,需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。

两仓一共有存粮多少吨,乙仓是甲仓的2倍,根据和倍应用题的解答方法,可求得调粮后甲仓有粮多少吨?再求要调出粮食多少吨。

1、            两仓共有粮食多少吨

100+20=120吨

2、            调粮后甲仓有粮多少吨

120÷(2+1)=40吨

3、            甲仓要调出多少吨到乙仓

100-40=60吨

100-(100+20) ÷(2+1) =60吨

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糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度;盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质),把溶解这些 物质的液体,如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体,如糖水、盐水等叫做溶液。

一些与浓度的有关的应用题,叫做浓度问题。

浓度问题有下面关系式:

浓度=溶质质量÷溶液质量

溶质质量=溶液质量×浓度

溶液质量=溶质质量÷浓度

溶液质量=溶质质量+溶剂质量

溶剂质量=溶液重量×(1–浓度)

例1、                浓度为25%的盐水120千克,要稀释成浓度为10%的盐水,应该怎样做?

加水稀释后,含盐量不变。所以要先求出含盐量,再根据含盐量求得稀释后盐水的重量,进而求得应加水多少克。

120×25%÷10%-120=180克

例2、                浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%酒精溶液300克,混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少?

要求混合后的溶液浓度,需要知道混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量。

(500×70%+300×50%)÷(500+300)=62.5%

例3、                有含盐8%的盐水40千克,要配制含盐20%的盐水100千克需加水和盐各多少千克?

根据“要配制含盐20%的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量。

加盐多少千克:100×20%-40×8%=16.8千克

 

例4、                从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后,再倒入清水将倒满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再倒入清水将杯倒满。这样重复三次后,杯中盐水的浓度是多少?

最后杯中盐水的的重量仍为100克,因此只需要求出最后盐水中含有多少盐,就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐,需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐,每次倒出的盐水虽然都是40克,但是由于浓度不同,所以含盐量不相同。

1、            原来杯中盐水含盐多少克?

100×80%=80克

2、            第一次倒出的盐水中含盐多少克?

40×80%=32克

3、            加满清水后,盐水浓度为多少?

(80-32)÷100=48%

4、            第二次倒出的盐水中含盐多少克?

40×48%=19.2克

5、            加满清水后,盐水浓度为多少?

(80-32-19.2)÷100=28.8%

6、            第三次倒出的盐水中含盐多少克?

40×28.8%=11.52克

7、            加满清水后,盐水浓度为多少?

(80-32-19.2-11.52)÷100=17.28%

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应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题,叫做公约数与人数公倍数问题。

解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数,然后按题意解答要求的问题。

 

例1、                有三根铁丝,一佷长18米,一根长24米,一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可以截成多少段?

截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个数的最大公约数,再求一共可以截成多少段。

(18、24、30)=6

(18+24+30)÷6=12段

例2、 一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,要把它截成同样大小的长方形,并使它们的面积尽可能大,截完后又正好没有剩余,正方形的边长可以是多少厘米?能截多少正方形?

要使截成的正方形面积尽可能大,也就是说,正方形的边长要尽可能大,截完后又正好没有剩余,这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

(36、60)=12

(60÷12)×(36÷12)=15个

例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,最多可以做多少个花束?每个花束里至少要有几朵花?

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束,每束花里的红白花朵数同样多,那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数,又要求花束的个数要最多,所以花束的个数应是96和72的最大公约数>

1、            最多可以做多少个花束

(96、72)=24

2、            每个花束里有几朵红玫瑰花

96÷24=4朵

3、            每个花束里有几朵白玫瑰花

72÷24=3朵

4、            每个花束里最少有几朵花

4+3=7朵

例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后,最少过多少分钟再同时发车?

这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数,也就是说是5、10和6的公倍数,“最少多少时间”,那么,一定是5、10、6的最小公倍数。

[5、10、6]=30

例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个;第二道工序每个工人每小时可完12个;第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产,各道工序每小时至少安适几个工人最合理?

安排每道工序人力时,应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数,一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

1、            在相同的时间内,每道工序完成相等的零件个数至少是多少?

[3、12、5]=60

2、            第一道工序应安排多少人

60÷3=20人

3、            第二道工序应安排多少人

60÷12=5人

4、            第三道工序应安排多少人

60÷5=12人

例6、 有一批机器零件。每12个放一盒,就多出11个;每18个放一盒,就少1个;每15个放一盒,就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个?

每12个放一盒,就多出11个,就是说,这批零件的个数被12除少1个;每18个放一盒,就少1个,就是说,这批零件的个数被18除少1;每15个放一盒,就有7盒各多2个,多了2×7=14个,应是少1个。也就是说,这批零件的个数被15除也少1个。

如果这批零件的个数增加1,恰好是12、18和15的公倍数。

1、            刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个

[12、18、15]=180

2、            在300至400之间的180的倍数是多少

180×2=360

3、            这批零件共有多少个

360-1=359个

例7、 一个数除193余4,除1089余9。这个数最大是多少?

这个数除(193-4),没有余数,这个数除(1089-9)没有余数。这个数一定是(193-4)和(1089-9)的公约数。要求这个数最大,那么一定是这两个数的最大公约数。

193-4=189

1089-9=1080

(189、1080)=27

例8、 公路上一排电线杆,共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米,现在要改成60米,可以有几根不需要移动?

不需要移动的电线杆,一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长,再求可以有几根不需要移动。

1、            从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动?

[45、60]=180

2、            全路长多少米?

45×(25-1)=1080米

3、            可以有几根不需要移动?

1080÷180+1=7米

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顺次差1 的几个整数叫做连续数。

顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。

顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。

已知几个连续数的和,求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连续数问题。

连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项,最后面的项叫末项,转眼间的项叫中项。各个项数的和叫总和。

它的计算方法是:

{和–[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最小项(首项)

{和+[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最大项(末项)

总和÷项数=中间项(中项)

(首项+末项)×项数÷2=总和

例1、            7个连续自然数的和是84,这7个数各是多少?

可以先求最大数,也可以先求最小数,还可以先求中间数。

解法一:先求最大数:

(84+1+2+3+4+5+6)÷7=15

连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15。

解法二:(84-1-2-3-4-5-6)÷7=9

连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15

解法三:当连续数的个数是奇数时,一般可以先求中间数。

84÷7=12

连续的各数是:9、10、11、12、13、14、15

例2、            6个连续偶数的和是150,这6个偶数各是多少?

解法一:先求最大数:(150+2+4+6+8+10)÷6=30

6个连续偶数是:20、22、24、26、28、30。

解法二:先求最小数(150-2-4-6-8-10)=20

6个连续偶数是:20、22、24、26、28、30。

例3、            有七个连续奇数,第七个数是第二个数的3倍。求各数。

第七个数比第二个数大2×(7-2)=10,第七个数是第二个数的3倍,根据“差倍应用题”的计算方法,就可先求得第二个数。

[2×(7-2)]÷[3-1]=5

七个连续奇数是:3、5、7、9、11、13、15。

例4、            有七张电影票,座号是连续的单号。其座号的和是49,这些票各是多少号?

解法一:先求最大号:

(49+2+4+6+8+10+12)÷7=13

七个连续的单号是:1、3、5、7、9、11、13。

解法二:先求最小号

解法三先求中间号:(略)

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我们知道,求两个数的和,只要直接相加就可得到结果。但是在有的情况下,却不能直接相加,它关系到重叠部分的数量关系的问题,我们把这类问题称为“重叠问题”。

解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算一个问题时,可以把总量分成几个分量来计算,先把每个分量加起来,然后再减去重叠计算的部分。

 

例1、  同学们去采集标本。采集昆虫标本的有32人,采集花草标本的有25人,两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人?

要求去采集标本的总人数,不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人,在25人中也包含有16人。重复包含的16人加了两次。所以,还要减去重复计算的16人。

32+25-16=41人

例2、             某班36个同学在一次数学测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都对的有15人。问有几个同学两题都不对?

要求有几个同学两题都不对,先要求做对其中一题的有几人。

1、            做对其中一题的有几人

25+23-15=33人

2、            有几人两题都不对

36-33=3人

例3、             一个班有学生45人,参加体育队的有32人,参加文艺队的有27人,每人至少参加一个队。 问这个班两队都参加的有多少人?

32+27=59人,总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队。所以只要在总数中减去全班的人数,就是两队都参加的人数

32+27-45=14人

例4、             某班数学、英语期中考试的成绩如下:英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人。这个班有学生多少人?

26人

3人

10人

12人

全班?人

 

 

 

 

 

 

 


从图中可以明显地看出,两门功课都得100分的有3人,在10人中计算了一次,在12人中又计算了一次。

26+(10+12-3)=45人

例5、             某班共有学生50人,其中35人会游泳,38人会骑自行车,40人会溜冰,46人会打乒乓球。问四项活动都会的人数至少有多少人?

要求四项活动都会的人数至少有多少人,首先要求出有一个项目不会的至多有多少人,然后从总人数中减去它。

1、            不会游泳的有多少人?

50-35=15人

2、            不会骑自行车的有多少人?

50-38=12人

3、            不会溜冰的有多少人?

50-40=10人

4、            不会打乒乓球的有多少人?

50-46=4人

5、            有一个项目不会的至多有多少人?

15+12+10+4=41人

6、            四个项目都会的至少有多少人?

50-41=9人

例6、             有三个面积都是60平方厘米的圆,两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。三个圆相交部分的面积为5平方厘米。总体图形盖住的面积是多少平方厘米?

先求得三个圆面积的和,再减去两两相交的重叠部分。这样三个圆相交部分的面积多减了一次,要加上它。

6×3-9-13-15+5=148平方厘米

 

                                       

例7、             在26名同学中会打乒乓球的有13人,会打网球的有12人,会打羽毛球的有9人,既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人,既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打,也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打网球?

设既会打乒乓球又会打网球的有X人。

由图可知,只会打乒乓球的有(11-X)人;只会打网球的有(9-X)人;只会打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。

11-X+9-X+4+X+2+3=26

X=3

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以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题,叫做时钟问题。

时钟问题可以理解为分针追时针的追及问题。解答这类问题的关键就是求“速度差”。

分针走60格的同时,时针只走了5格。也就是分针走一格,时针走 = 格。分针每分钟比时针多走1– = 格。这个速度差是固定不变的。

例1、   现在是下午4时正,5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分?

这是分针追及时针的问题。4时正,分针在时针后20小格,两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格。

20÷(1– )= 分

例2、   现在是下午1时,再过多少时间,时针与分针第一次成直线(反方向)?

时针与分针成直线时,两针两针之间差30格。1点钟时,分针还在时针的后面,这时两针不可能成直线。显然,分针必须在越过时针后,才能出现两针成直线的情况。也就是说,从1点起,分针必须比时针多走(5+30)=35格

(5+30)÷(1- )= 分

例3、   2点与3点之间,时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分?

两针成直角时,两针之间相差15格,2点时,分针落后时针10格,必须让分针赶上时针,并超过时针15格,才能成直角,也就是说,分针要比时针多走10+15=25格。

10+15÷(1- )= 分

例4、   时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方向为止,中间一共需要多少时间?

第一次成反方向时,分针落后(或超过)时针30格,到第二次再成反方向时,分针必须比时针多走30+30=60格

(30+30)÷(1- )=65 分=1时5分 秒

例5、   9时与10时之间,时针与分针正好成60度角,这时候的时间是多少?

60度即钟盘上10格。有两种情况:

1、                          分针与时针重合以前成60度角。9时,两针相差45格。即分针要比时针多走45-10=35格

(45-10)÷(1- )= 分

2、                          分针与时针重合以后成60度角。分针要比时针多走45+10=55格

(45+10)÷(1- )=60分

例6、   两针正好成60度角的时刻是5点40分,不需多少时间两针第一次重合?

解法一:可以考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差,直接求出所需时间。

1、                          两针的路程差。

20+30- ×20= 格

2、                          所需时间

÷(1- )= 分

综合算式

(20+30- ×20)÷(1- )= 分

解法二:

将问题转化为:先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。

1、                           从6时至两针重合所需时间。

30÷(1- )= 分

2、                           从5时40分至两针重合所需时间

20+ = 分

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工程问题是一种典型的分数应用题。这类应用题的特点是:题中不给出工作量的具体数量,而用整体“1”来表示;工作效率以单位时间内完成工作总量的几分之几来表示,而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。

基本数量关系式是:

工作量÷工作效率=工作时间

在运用上面数量关系进行解答时,要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。

例1、 甲乙两队合作某一项工程,12天可以完成;如果甲队工作2天,乙队工作3天,他们只能完成这项工程的20%。甲乙两队单独完成这项工程,各需多少天?

解法一:

把“甲队工作2天,乙队工作3天,只能完成这项工程的20%”转换成“甲乙两队合作2天,乙再工作1天”。

把这项工程看作单位“1”,甲乙合做1天可完成这项工程的 ,合做2天可完成这项工程的 ×2,从而求得乙的工作效率:

(20%- ×2)÷(3-2)=

乙单独完成这项工程的天数

1÷ =30天

甲队单独完成这项工程的天数

1÷( - )=20天

解法二:

假定甲与乙一样工作3天,完成的工作量为 ×3= ,这时工作量必定超过20%,超过部分 +20%,就是甲队一天的工作量。

甲队单独完成这项工作所需时间

1÷( ×3-20%)=20天

乙队单独完成这项工作所需时间

1÷( - )=30天

例2、 甲乙丙三个车队运输一批货物。甲乙两个车队在6天内运完 ,以后由乙丙两个车队合运2天,完成了余下货物的 ,最后甲乙丙三个车队合运5天才运完。甲队、乙队、丙队单独运输这批货物,各需多少天?

要求甲乙丙三队单独运输,各需多少天,要设法求得甲乙丙三队的工作效率。

甲乙两队的工作效率为 ÷6= ;

乙丙两队的工作效率为(1- )× ÷2= ;

三队合做的工作效率为(1- )×(1- )÷5= 。

由此,可求得甲队、乙队、丙队的工作效率。

1、            甲乙两队的工作效率

÷6=

2、            乙丙两队的工作效率

(1- )× ÷2=

3、            三队合做的工作效率

(1- )×(1- )÷5=

4、            甲队单独运完这批货物所需天数

1÷( - )=60天

5、            乙队单独运完这批货物所需天数

1÷[ -( - )]= 天

6、            丙队单独运完这批货物所需天数

1÷( - )=

例3、 一项工程,原定100人,工作90天完成;工程进行15天后,由于采用先进工具和技术,平均每人工效提高了50%。完成这项工程可提前几天?

要求完成这项工程,可以提前几天,先要求出实际所用的天数;要求实际所用的天数,先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成,那么,平均每人每天要完成全工程的 ;100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的(1- ×100×15)。采用先进技术后,每人工作效率是:[ ×(1+50%)],进而求得余下的工程所用的天数。

1、            100人工作15天后,还余下全工程的几分之几?

1- ×100×15=

2、            改进技术后,100人1天可以完成这项工程的几分之几?

×(1+50%)×100=

3、            余下的工程要用多少天?

÷ =50天

4、            可提前多少天?

90-15-50=25天

综合算式:

90-15-(1- ×100×15)÷[ ×(1+50%)×100]=25天

例4、 有一水池,装有甲乙两个注水管,下面装有丙管排水。空池时,单开甲管5分钟可注满;单开乙管10分钟可注满。水池注满水后,单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时,将甲乙丙三管齐开,2分钟后关闭乙管,还要几分钟可以注满水池?

分析与解:

先求出甲乙丙三管齐开2分钟后,注满了水池的几分之几,还余下几分之几。再求余下的要几分钟。

1、            三管齐开2分钟,注满了水池的几分之几?

( + - )×2=

 

2、            还余下几分之几?

1- =

3、            余下的还要几分钟?

÷( - )=4分钟

例5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地,到下午,他们对半分开,一半仍留在大麦地上,到傍晚时正好把大麦地的麦割完;另一半到小麦地去割,到傍晚时还剩下一小块,这一小块第二天由1人去割,正好1天割完。这个割麦队共有多少人?

分析与解:

把大的一块麦地算作单位“1”,小的一块麦地为 。根据题意,一半成员半天割了 ,一天割了 ,全队成员一天可割 ×2= 。

1、            全队成员一天可割几分之几?

×2=

2、            所剩的一小块面积是几分之几?

-( -1)=

3、            全队有多少人?

(1+ - )÷ =8人

例6、 一项工程,甲工程队每天工作8小时,3天可以完成;乙工程队每天工作9小时,8天可以完成。如果两工程队合作,每天工作6小时,几天可以完成?

分析与解:

要求两队合做,几天可以完成,先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几,乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几。

1、            甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

1÷(8×3)=

2、            乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

1÷(9×8)=

3、            两队合作几天可以完成

1÷( + )÷6=3天

综合算式:

1÷[1÷(8×3)+1÷(9×8)]÷6=3天

例7、 一件工作,3个男工和4个女工一天能完成 ;3个女工和4个男工一天能完成 。如果由1个女工独做,几天可以完成?

分析与解:

要求由1个女工独做,几天可以完成,先要求得1个女工的工作效率;要求1个女工的工作量,先要求1个男工和2个女工一天的工作量。

“3个男工和4个女工一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成;“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + 。”

1、            7个男工和7个女工一天的工作量。

+ =

2、            一个男工和一个女工一天的工作量。

÷7=

3、            一个女工一天的工作量

- ×3=

4、            一个女工独做需要多少天

1÷ =18天

例8、 一项工程,甲独做10天完成,乙独做12天可以完成,丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天,结果6天完成任务。甲休息了几天?

如果甲没有休息,那么甲乙丙都工作了6天,完成了工程量的几分之几,超过了几分之几,然后求得甲休息了几天。

1、            三人合做6天,完成了工程量的几分之几?

( + + )×6=

2、            超额完成了工程的几分之几?

-1=

3、            甲休息了几天?

÷ =5天

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牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的,所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加,解答时,要抓住这个关键问题,也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。

牧场上长满牧草,每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天?

牧草的总量不定,它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长,草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。

10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多,多出部分相当于10天新长出的草量。

设法求出一天新长出的草量和原有草量。

1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天?

10×20=200头、

2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天

15×10=150头

3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天?

50÷10=5头

4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天?

50÷10=5头

5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天?

5×20=100头    或5×10=50头

6、原有的草可供多少头牛吃一天?

200–100=100头  或150–50=100头

7、每天25头牛中,如果有5头牛去吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,可吃几天?

100÷(25–5)=5天

例2、有一水井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水,36分钟可以抽完;如果用5台抽水机抽水,20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水,需要抽水机多少台?

随着时间的增长涌出的泉水也不断增多,但原来水量和每分钟涌出的水量不变。

1、            3台抽水机的抽水量。

3×36=108台分

2、            5台抽水机的抽水量。

5×20=100台分

3、            使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟?

36–20=16分

4、            使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。

108–100=8台分

5、            泉水每分钟涌出的水量,算出需要抽水机多少台?

8÷16= 台

6、            水井分钟涌出的水量。

×36=18台分

7、            水井原有的水量。

108–18=90台分

8、            水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

×12=6台分

9、            水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

90+6、12台分

10、        需要抽水机多少台?

96÷12=8台

例3、一片青草,每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天,或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量,那么10头牛与60只羊一起吃,可以吃多少天?

先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此,题目可以转换成:这片青草可供(4×10)只羊吃20天,或供60只羊吃10天,问(4×10+60)只羊吃多少天?

1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天?

4×10×20=800只天

2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天?

60×10=600只天

3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天?

800–600=200只

4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天?

200÷10=20只

5、         20天新长出的草可供多少只羊吃一天?

20×20=400只

6、         原有草可供多少只羊吃一天?

800–400=400只

7、         可吃多少天?

400÷(4×10+60–20)=5天

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汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合,他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后,报告一下特各次的余数,便可知道出操公倍数和缺额。

这个问题及其解法,大世界数学史上颇负盛名,中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

这类问题的解题依据是:

1、         如果被除数增加(或减少)除数的若干倍,除数不变,那么余数不变。例如:

20÷3=6……2

(20-3×5)÷3=21……2

(20+3×15)÷3=1……2

2、         如果被除数扩大(缩小)若干倍,除数不变,那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如:

20÷9=2……2

(20×3)÷9=6……6

(20÷2)÷9=1……1

例1、 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求适合这些条件的最小的数。

1、            求出能被5和7整除,而被3除余1的数,并把这个数乘以2。

70×2=140

2、            求出能被3和7整除,而被5除余1的数,并把这个数乘以3。

21×3=63

3、            求出能被5和3整除,而被7除余1的数,并把这个数乘以2。

15×2=30

4、            求得上面三个数的和

140+63+30=233

5、            求3、57的最小公倍数

[3、5、7]=105

6、            如果和大于最小公倍数,要从和里减去最小公倍数的若干倍

233–105×2=23

例2、 一个数除以3余2,除以5余2,除以7余4,求适合这些条件的最小的数。

解法一:

70×2+21×2+15×4=242

[3、5、7]=105

242–105×2=32

解法二、

35+21×2+15×4=137

[3、5、7]=105

137–105=32

例3、 一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合这些条件的最小的数。

1、        因为[6、7]=42,而42÷5余2,根据第二个依据,42×4÷5应余8(2×4),实际余3,所以取42×4=168

2、        因为[7、5]=35,而35÷6余5,则取35×2=70

3、        [5、6]=30,30÷7余2,则取30×4=120

4、        [5、6、7、]=210

5、        168+70+120–210=148

例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题:卫兵一队列成五行纵队,末行一人;列成六行纵队末行五人;列成七行纵队,末行四人;列成十一行纵队,末行十人。求兵数。

1、[6、7、11]=462

462÷5余2

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462×3÷5余1

取462×3=1386

2、[7、11、5]=385

385÷6余5

385×5÷6余5

取385×5=1925

3、[11、5、6]=330

330÷7余1

220×4÷7余4

取330×4=1320

4、[5、6、7]=210

210÷11余1

210×10÷11余10

取210×10=2100

5、求四个数的和

1386+1925+1320+2100=6731

6、[5、6、7、11]=2310

7、6731–2310×2=2111

  

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