2012高考复习专题限时集训：解三角形

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[第6讲　解三角形] 

(时间：10分钟＋35分钟)

1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，|→(AC)|＝2|→(AB)|＝2|→(AD)|＝4，则|→(BD)|＝(　　)

A.  B．2  C.  D．3

2．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是(　　)

A.16(3)  B.14(3)

C.16(3)  D.14(3)

3．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)

A．(1，)  B．(，)

C．(，2)  D．(1,2)

4．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．

1．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1，则sinAsinBsinC＝(　　)

A.4(1)  B.2(3)  C.4(3)  D.2(1)

2．在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

3．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)

A.3(4)  B．4－3

C．1  D.3(2)

4．如图6－1，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)

图6－1

A.3(3)  B.6(3)

C.3(6)  D.6(6)

5．2011年11号台风“南玛都”于8月31日凌晨减弱为热带低压后登陆晋江，如图6－2，位于港口O正东方向20海里B处的渔船回港避风时出现故障，位于港口南偏西30°，距港口10海里C处的油轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则油轮到达B处需要________小时．

图6－2

6．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

7.如图6－3，港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？

图6－3

8．如图6－4，在△ABC中，sin2(∠ABC)＝3(3)，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝3(3).

(1)求BC的长；

(2)求△DBC的面积．

图6－4

专题限时集训(六)

【基础演练】

1．C　【解析】 如图，设BD＝x，然后在△ABD，△ACD中分别使用余弦定理，利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0建立关于x的方程．

设BD＝DC＝x，根据余弦定理，得4＝4＋x2－4xcos∠ADB，16＝4＋x2－4xcos∠ADC，两个方程相加得20＝8＋2x2，解得x＝.

2．D　【解析】 根据余弦定理得b＝＝7，根据正弦定理sinA(3)＝sin60°(7)，解得sinA＝14(3).

3．C　【解析】 由三角形有两解的充要条件得asin60°<<a，解得<a<2.故选C.

4.　【解析】 由三角形内角和定理得∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理得sin∠ACB(AB)＝sin∠ABC(AC)，代入数据得sin45°(2)＝sin60°(AC)，解得AC＝.

【提升训练】

1．D　【解析】 根据三角形面积公式和正弦定理S＝2(1)absinC＝2(1)2RsinA·2RsinB·sinC＝2R2sinAsinBsinC，代入数据得sinAsinBsinC＝2(1).

2．C　【解析】 由于A为锐角，故2(π)－A也为锐角，而cosA>sinB即sin－A(π)>sinB，由正弦函数的单调性得2(π)－A>B，即A＋B<2(π)，从而C>2(π)，故△ABC为钝角三角形．

3．A　【解析】 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①

由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，②

将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝3(4).故选A.

4．D　【解析】 设BD＝2，则AB＝AD＝，BC＝4，由余弦定理得

cos∠ADB＝2×AD×BD(AD2＋BD2－AB2)＝×2(3＋4－3)＝3(3)，

∴sin∠BDC＝＝3(1)＝3(6).

由正弦定理得sin∠BDC(4)＝sinC(2)，

即sinC＝2(1)sin∠BDC＝2(1)×3(6)＝6(6).

5.3(7)　【解析】 在△OBC中，OC＝10，OB＝20，∠BOC＝120°，根据余弦定理得BC＝2(1)＝10，故需要的时间是30(7)＝3(7)(小时)．

6．2　【解析】 因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，

所以A＋C＝120°，

由正弦定理，有 

sinC(AB)＝sinA(BC)＝sinB(AC)＝sin60°(3)＝2，

所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.

所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(1200－A)＋4sinA.

＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA

＝cosA＋5sinA

＝2sin(A＋φ)，7(5)

所以AB＋2BC的最大值为2.

7．【解答】 在△BDC中，由余弦定理知cos∠CDB＝2BD·CD(BD2＋CD2－BC2)＝－7(1)，

sin∠CDB＝7(3).

∴sin∠ACD＝sin3(π)＝sin∠CDBcos3(π)－cos∠CDBsin3(π)＝14(3)，

在△ACD中，由正弦定理知

sin∠ACD(AD)＝sinA(CD)?AD＝15，

∴轮船距港口A还有15海里．

8．【解答】 (1)因为sin2(∠ABC)＝3(3)，

所以cos∠ABC＝1－2×3(1)＝3(1).

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，

则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－3(4)a，　①

在△ABC和△DBC中，由余弦定理可得

cos∠ ADB＝3()，

cos∠BDC＝3().

因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，

所以有3()＝－3()，所以3b2－a2＝－6.

由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.

(2)由(1)得△ABC的面积为2(1)×2×3×3(2)＝2， 

所以△DBC的面积为3(2).

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