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强性逼近
strong approximation
一种特殊的函数逼近方式。强性逼近的概念起源于数项级数的强性求和。设有级数[534-07]，记其前+1项之和为 [534-08] 如果存在正数以及常数适合[534-9][534-09],则说[534-07]关于指数强性可和,和是。如果0，级数[534-07]关于指数强性可和，则它关于指数 也强性可和。假设()是有周期2 的连续函数，(, )为其傅里叶级数之前+1项之和,则对于任何给定的正数，都有[534-11],这里[534-12]。这是早期的结论。20世纪60年代初，G.亚历克西茨首先提出趋于无穷时，量
[534-13]的阶与函数()的构造性态之间的关系问题，这就是所谓强性逼近问题。强性逼近的许多有趣的结果，常常表现出一些逼近定理都有可能强化。例如，对于[kg2][kg2]Lip(即满足条件：[534-14])的()的全体，L.费耶尔和的逼近定理就可强化为
[534-15]，而瓦莱-普桑和的逼近定理则可强化为
[534-10]，式中是仅与有关的正数，()为阶不超过的三角多项式对的最佳逼近值。对于反问题,则成立如下的不等式：
≥1时，
[535-01]，
0 [535-02]
[535-03]，特别，若是非负整数，0>(+)，则
[535-04]等价于[535-00][kg2][kg2]Lip。
强性逼近的另一问题是对于正数序列{}，研究级数[535-06]的收敛性所蕴涵着的 的构造性态。简单的结论是：当＞1时，
[535-07]， ()蕴函[535-08],但=1时不成立。当0≤1时,记[535-09]，为正整数,0≤)蕴涵[535-00][kg2][kg2]Lip，＝0时,()蕴涵[535-0]为亚光滑函数,即有常数>0，使得[535-10]对一切与都成立。
谢庭藩
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