爱华网直线的方程、两条直线的位置关系
二. 教学重、难点：
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
【典型例题】
[例1] 已知点P到两个定点M（），N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。
解：设点P的坐标为（x，y）
由题设有 即
∴ ① ∵ N到PM的距离为1，
∴ ∴ PM的方程为：②
②代入①： ∴
∴ P（）或（）；或
∴ PN的方程为或
[例2] 已知的顶点A（3，4），B（6，0），C（），求的内角平分线AT所在的直线方程。
解：方法一：∵ 直线AC到AT的角等于AT到AB的角
又 ∵ ，
设AT的斜率为或，则
化简得，解之，得或（舍去）
∴ 直线AT的方程为
即所求的方程为
方法二：设直线AT上的动点P（x，y）则P点到AC、AB的距离相等
∵
∴ 直线AB的方程为，即
直线AC的方程为
即 那么
即或
结合图形分析知是的角A外角的平分线，故舍去。
∴ 所求的方程为
[例3] 的三个顶点分别为A（），B（2，1），C（），试分别求出：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线的方程。
解：（1）由题意，根据直线方程的两点式，可得BC边所在直线的方程为，即
（2）由题意，BC中点P的坐标为（0，2）又A（），可由直线方程的截距式求得中线AD所在直线的方程为，即。
（3）由题意，，其中点为（0，2），BC的垂直平分线的斜率为2，由直线方程的斜截式，求得直线方程为，即
[例4] 已知两直线，，当为何值时，与（1）相交；（2）平行；（3）重合?
解：当时， ∴
当m时，
∴ 与相交
当且时，由，得或
由，得
故（1）当，且时，与相交
（2）当或时，
（3）当时，与重合
[例5] 已知点P（2，），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。
解：（1）过P点的直线与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）且垂直于轴的直线满足条件
此时的斜率不存在，其方程为
若斜率存在，设的方程为，即
由已知，得 解之，得
此时的方程为
综上，可得直线的方程为或
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由，得
所以。由直线方程的点斜式得，即
故直线是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线
[例6] 已知函数，求的最小值，并求取得最小值时的值。
解：∵
它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在轴上求一点P（x，0）与点A（1，1），B（2，2）的距离之和的最小值。
由图可知转化为求两点和间的距离，其距离为函数的最小值
∴ 的最小值为
再由直线方程的两点式得方程为
令，得 当时，的最小值为
[例7] 已知n条直线，…
（其中），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n。
（1）求；
（2）求与轴、轴围成的图形的面积；
（3）求与及x轴、y轴围成的图形的面积。
解：（1）原点O到的距离为1，原点O到的距离为1+2，…原点O到的距离为
∵ ∴
（2）设直线交x轴于M，交y轴于N，则面积
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知，则有
∴
∴ 所求面积为
[例8] 已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是。
（1）求a的值；
（2）求到的角
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：① P是第一象限的点；② P点到的距离是P点到的距离的；③ P点到的距离与P点到的距离之比是？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由。
解：（1）即
∴ 与的距离 ∴
∴ ∵ ∴
（2）由（1），即 ∴ ，而的斜率
∴
∵ ∴
（3）设点P（），若P点满足条件②，则P点在与平行的直线：上，且 即或
∴ 或
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有
即 ∴ 或
由P在第一象限 ∴ 不可能
联立方程和
解得但不符合题意应舍去
解得
即为同时满足三个条件的点。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 曲线在点（）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若点P（2，）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么的范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 或
4. 已知平面上直线的方向向量，点O（0，0）和A（1，）在上的射影分别是和，则=，其中等于（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知过点和的直线与直线平行，则m的值为（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 10
6. 已知的顶点，B（6，4），重心H（5，2），则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是直线上两点，则A、B两点间的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知两直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二. 解析题：
1. 若点A（），B（），直线过点P（1，1），且与线段AB相交，求直线的倾斜角及斜率的取值范围。
2. 过点M（0，1）作直线，使它被两已知直线，所截得的线段恰好被M所平分，求直线的方程。
3. 已知点A、B的坐标分别是，直线的方程为，问直线是否与线段AB相交？
4. 已知直线经过点P（3，1）且被两平行直线和截得的线段长为5，求直线的方程。
【试题答案】
一.
1. B
解析：，则，即曲线在点（）处的切线的斜率为，又切点为（），∴ 所求切线方程为，即
2. A
解析：由圆的弦的性质，圆心O（1，0）与P点连线与AB垂直，由知，∴ 直线AB的方程为，即
3. C
解析：令得，令，得
∴ 三角形面积 又，即 ∴
又 ∵ 时不合题意，故选C
4. D
解析：如图所示，令过原点，与方向相反，排除A、C，验证D即可。
5. B
解析：，令，解得
6. B
解析：设点C的坐标为（6，y），由题意，知BH⊥AC，AH⊥BC，得
∴ C（6，）
7. B
8. C
解析：对于直线，令可得，斜率，直线，令，得<0，斜率，从图中可以看出，即，可得
二.
1. 解析：结合图象，知直线与线段AB有交点，只需直线从PB逆时针绕P转到直线PA，而，，在这个旋转过程中，的斜率由变化到无穷大，又由负无穷大变化到，所以斜率的范围是，倾斜角的范围是
2. 解析：设所求直线与的交点分别为M1、M2，由题意，M点是线段M1M2的中点
设，则
从而 解得
此时上有两点已知，故其方程为，即
3. 解析：设直线与直线AB相交于P（x，y），且点P分有向线段AB的比为
则 ∵ 点P在直线上 ∴
解得 ∴ 点P在BA延长线上
故直线与线段AB不相交
4. 解析：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与的交点分别为和，截得的线段长，符合题意
若直线的斜率存在，则设直线的方程为
解方程组 得
解方程组 得
由，得
解之，得，即所求的直线方程为，综上，可知所求的方程为或
