爱华网在2011年的湖南湘潭市中考试卷中有这样一道题：
如图一，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）。
图一
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
第二问求“在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。”
等腰三角形是一种特殊的几何图形，特别是当等腰三角形和函数及动点问题结合到一起，会出现答案的不唯一性，中考命题人员对此类问题往往特别的青睐，而学生解答时常会出现漏解现象。如果利用分类思想，结合直观作图的手段进行分析解答，可以有效避免因思维不严密出现漏解的现象。下面结合本题重点介绍一下利用分类思想解答此类问题的技巧。
一、以静制动，找准切入点。
此类问题中虽然所涉及的点是运动的，但总有部分已知点是不变的，抓住这些不变的点，将其作为解题的突破口，采取以静制动的策略是解答此类类型题成功所在。在这道题中，因为已知点Q是对称轴上的一个动点，所以它的位置是变化的，则△ABQ不唯一。认真分析已知可发现点Q在对称轴上，因此它的横坐标不变。且△ABQ的边AB是确定不变的，这样可从线段AB入手，以AB作解决问题的切入点，来寻找点Q的具体位置。
二、分类讨论，作图击破。
等腰三角形的边分两类：一类是腰；另一类是底。在这里已知边AB既可以为腰，又可以为底。当AB为腰时，又分两种情况：一种情况为AB=AQ，即AB为腰，且点A为顶角的顶点；另一种情况为AB=BQ，即AB为腰，且点B为顶角的顶点。这样共有三种情况出现：
第一种情况：当AB为腰，且点A为顶角的顶点时，点Ｑ在以点Ａ为圆心AB长为半径的圆上（如图二）。
第二种情况：当AB为腰，且点B为顶角的顶点时，点Ｑ在以点B为圆心AB长为半径的圆上（如图三）。
第三种情况：当AB为底时，点Q在线段AB的垂直平分线上（如图四）。
图二 图三
图四 图五
由图二可以看出，即在上又在对称轴上的点有两个，我们可以将其标记为点和（如图五）。
由图三可以看出，即在上又在对称轴上的点也有两个，我们可以将其标记为点和（如图六）。观察图像发现点在直线上，因此不能构成等腰三角形。
由图四可以看出，即在线段AB的垂直平分线上又在对称轴上的点有一个，我们可以将其标记为点（如图七）。
图六 图七
通过作图可以发现满足条件的点共有四个，可以根据已知依次求出这四个点的坐标。具体解答如下：
【答案】解：（1）略
（2）∵，
∴该抛物线的对称轴为x=1。
设点Q坐标为（1，m），
则，又。
当AB=AQ时（即第一种情况，图五），，
解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时（即第二种情况，图六），，
解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6），
又∵点（1，6）在直线上，
∴点A、B、Q在同一直线，不成立，
∴Q点坐标为（1，0）。
当AQ=BQ时（即第三种情况，图七），，
解得：，
∴Q点坐标为（1，1）。
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形。
利用分类思想，通过直观作图，可以直接做出满足条件的所有的点，避免了思考不全面而出现漏解的现象，有效的解答了动点与等腰三角形为背景的综合性问题。
练一练：
1.（2010陕西省中考试题9题）如图八，点A、B、P在⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
图八 图九
2.（根据连云港市中考试题第28题改编）如图九，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点，若△POA是等腰三角形，求点P的坐标。
2011-11-09 人教网
