爱华网函数图象、函数的综合应用
二. 本周教学重、难点：
1. 掌握利用描点法和图象变换作出函数图象的一般方法；掌握函数图象变化的一般规律；能够利用函数的图象来观察分析函数的性质。
2. 掌握函数与其它数学知识，实际问题的综合，掌握数学模型的构造，函数关系式的建立。
【典型例题】
[例1] 设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
解：∵ ∴ 不是前两个图形，从后两个图形看
∴ ，故应是第3个图形 ∵ 图象过原点 ∴ ，结合
∴
[例2] 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称，现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得到的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
解：由图象求得解析式将图象向右平移2个单位，向下平移1个单位得到图象
∴ ∵ 与的图象关于对称
∴ 与互为反函数
∴
[例3] 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的值是 。
解：原方程化为。作函数及的图象如图所示。由图可知当或时，两图象恰有三个交点，即原方程有三个实数解。
[例4] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200，且生产吨的成本为R=50000+200元。问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）
解：设生产吨产品，利润为元
，
当每月生产200吨时利润最大，最大利润为3150000元。
[例5] 已知（），设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的正整数，不等式
恒成立。
解：由，得
∴
∴
∴
∴
要使对于一切大于1的正整数使原不等式恒成立，只需不等式
成立即可。
设，则
于是，解得
从而
解得且
∴ 实数的取值范围为且
[例6] 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道该厂生产这种仪器次品率P与日产量（件）之间大体满足关系：
（其中为小于96的正常数）
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品。其余为合格品。
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合格的日产量。
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解析：
（1）当时，P，所以每天的盈利额
当时，，所以每日生产的合格仪器约有件，次品约有件，故每天的盈利额
综上，日盈利额T（元）与日产量（件）的函数关系为
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0
当时，
令，则
故
当且仅当，即（即）时等号成立。
所以①当时，（当且仅当时等号成立）
② 当时，由，得，易证函数
在（12，95）上单调递增（证明过程略）
所以
所以
即（当且仅当时等号成立）
综上，若，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润。
[例7] 已知平面ABC，，垂足D在BC的延长线上，且BC=CD=DA=1，设PD=，，求的最大值。
解：设，，则
由面ABC，，易知（三垂线定理）
易求得，
∴ （）
由可先求得
故当，即时，取得最大值
[例8] 定义在R上的函数满足：如果对任意，都有
，则称是R上的凹函数。
已知二次函数（，且）
（1）求证：当时，函数为凹函数；
（2）如果时，，试求的取值范围。
解：
（1）证明：任取，则
∵ ∴
∴ 时，为凹函数
（2）（*）
当时，
当时，（*）式
当时，的最大值为的最小值为0
∴ 但 ∴
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2. 函数对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为（ ）
A. 6 B. 9 C. 4 D. 3
3. 函数的图象是（ ）
4. 函数的图象大致是（ ）
5. 在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由沿边运动，设点P的运动路程为，的面积为，如果函数的图象如图（2）所示，则的面积为（ ）
A. 10 B. 16 C. 18 D. 32
6. 由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机9年后的价格为（ ）
A. 300元 B. 900元 C. 2400元 D. 3600元
7. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则获得的最大利润为（ ）
A. 45.606 B. 45.6 C. 45.56 D. 45.51
8. 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A. 人可在7米内追上汽车
B. 人可在10米内追上汽车
C. 人追不上汽车，他们之间距离最近为5米
D. 人追不上汽车，他们之间距离最近为7米
二. 解答题：
1. 已知二次函数的图象与轴交于A、B两点且，它在轴上截距为，对任意的实数都有成立。
（1）求二次函数解析式；
（2）若二次函数图象与直线：只有一个公共点，求的值。
2. 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过点P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。
3. 某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，，并且技术改造投入比率：，其中是常数，且。
（1）设，求的表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应的的值。
【试题答案】
一.
1. A
解析：由图象平移知识，可知可由向右平移3个单位产生，再将向下平移1个单位即得的图象。
2. D
解析：由，可知的图象关于直线对称，因而它的图象与轴的交点也关于直线对称，设这三根从小到大依次为，则，，∴ 三根之和为3。
3. A
解析：首先作出的图象，再作轴下方的图象关于轴的对称图象，再将轴下方图象去掉。
4. D
解析：讨论去掉绝对值：时，；
时，
观察图象知选D。
5. B
解析：由图象知，BC=4，CD=9－4=5，AD=14－9=5
故
故
6. C
解析：9年后即计算机价格连续三次降价，故9年后的价格为元
7. B
解析：设甲地销售辆，则乙地销售辆，总利润
对称轴，当时，取最大值
8. D
解析：若经秒人刚好追上汽车，则
由，得
此方程无解，即人不可能追上汽车
考虑距离差
故当时，有最小值7，即人与汽车最少相距7米，故选D。
二.
1. 解析：
（1）∵
又为二次函数 ∴ 可设
又当时， ∴ ∴
令，得 ∴
又 ∴ ，即
（2）由条件知，即
∴ ，即
2. 解析：将代入，得
整理，得
设，由题意得
解之，得
设AB的中点M为（）
由题意知
即M（）
易求得直线的方程为
故
令，易知
∴ ，即截距的取值范围为
3. 解析：
（1）由题意，设，又时，，故
解得
由，解得
故，定义域为（0，
（2），令，得，即在上为增函数
① 当，即，时，取得最大值
② 当，即，时，取得最大值
