爱华网复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法
二. 本周教学重、难点：
1. 形如（）的数叫做复数，其中是虚数单位，。把复数的形式叫做复数的代数形式。记作（）。当且仅当时，为实数；当且仅当时，；当时，叫做虚数；当，且时，叫纯虚数；与分别叫做复数的实部和虚部。
2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等这两个复数相等。即如果，那么，
3. ，，则有：
4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设，（）
加减法：
乘法：
除法：
5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律，实数的正整数指数幂也能推广到复数集中，即
，
（）
6.（1）
其中
（2）常用的性质解题。
；；，，则
（），（）
【典型例题】
[例1] 实数分别取什么数值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应点在轴上方？（5）对应点在直线上。
解：
（1）由，得知或时，为实数
（2）由，得知且时，为虚数
（3）由得知时，为纯虚数
（4）由，得知或时，的对应点在轴上方
（5）由，得知或
的对应点在直线上。
[例2] 已知关于的方程组
有实数解，求实数的值。
解：由（1）得解得
代入方程（2），得
∵ ∴ 解得
[例3] 已知复数（）满足或，求的值（或范围）。
解：∵ 或 ∴ 为纯虚数
由纯虚数概念知 解得
∴ 满足条件的的值为2
[例4] 设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1） （2）
解：
（1）复数的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。
（2）不等式，可化为不等式组不等式的集合是圆内部的所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心，以2与4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界。
[例5] 若，且，求的最小值。
解法一：∵ 即的几何图形是以C（）为圆心，以1为半径的圆。是圆C上的一点P到点A（2，2）的距离，如下图所示，连接AC交圆右侧于P
则的距离最小
∴ 最小值是3
解法二：代数法，设（）
∴
即
又 ∵
而，即
∴ 在时，取最小值3
[例6] 已知关于的方程（）有实数根
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，求为何值时，有最小值，并写出的值。
解：
（1）∵ 是方程（）的实根
∴
故 解得
（2）设，由，得
即 ∴ Z点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
如下图所示，当Z点在的连线上时，有最大值或最小值
∵ ，半径
∴ 当时，最小值
[例7] 设复数，若，求的值。
解：设
由，得
∴ ∴ 或
∴
∵ ∴
即
∴
[例8] 复数满足，求。
解：设，则
整理得
解 得
∴
[例9] 设，，当时，求的取值范围。
解：
∴
又 ∵
∴
由二次函数的性质知
[例10] 设复数满足，且，求与。
解：由题意有，得
又，故可得
所以的实部等于的实部等于
又，故的虚部为，
于是
所以或
所以或
【模拟试题】
一. 选择题
1. 方程的根是（ ）
A. B. C. 或 D. 以上都不对
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 在复数集C内分解因式等于（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 的值为（ ）
A. 0 B. 1024 C. D.
7. 等于（ ）
A. B. C. D. 2
8. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
二. 解答题
1. （1）计算；（2）求的展开式中所有奇数项的和。
2. 已知，，，且为纯虚数，求。
3. 复数且，对应的点在第一象限，若复数0，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值。
【试题答案】
一. 选择题
1. C 解析：， ∴ 或
2. A
3. B 解析：
4. D
5. B
6. A 解析：
7. D 解析：
8. C 解析：可设转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。
法一：设，则原方程变为，即
∴ Z点的轨迹是以（0，1）为圆心，以5为半径的圆
法二：原方程即为
由复数几何意义知，它表示（0，1）为圆心，5为半径的圆，故选C。
二. 解答题
1.
思路点拔：按复数乘法与除法的法则展开运算，这种基本运算要熟练掌握，同时注意一些运算技巧。
解：（1）原式
（2）∵
∴ 的展开式中奇数项之和为复数的实部
又
∴ 的展开式中各奇数项的和为
2.
解：设，由，得①
∵ 为纯虚数
∴ ②
由①②得或
∴ 或
3.
解：
由，得①
∵ 复数0，对应的点构成正三角形 ∴
把代入化简并结合①得，得②
又∵ 点在第一象限 ∴ ，
由①②得，故所求值为，
