爱华网高中数学必修2知识点总结
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：(x?a)
2
?(y?b)2?r2
2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(x0,y0)与圆(x?a)（1）(x0（3）(x0
?(y?b)2?r2的关系的判断方法：
?a)2?(y0?b)2>r2，点在圆外 （2）(x0?a)2?(y0?b)2=r2，点在圆上 ?a)2?(y0?b)2<r2，点在圆内
2
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：x
?y2?Dx?Ey?F?0
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l：ax?by?c?0，圆C：x
2
?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?
DE
,?)到直线的距离22
为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d
（2）当d?r时，直线l与圆C相切； ?r时，直线l与圆C相离；
（3）当d?r时，直线l与圆C相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l?r1（3）当|r1
（2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2外切； ?r2时，圆C1与圆C2相离；
?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l?|r1（5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内含； ?r2|时，圆C1与圆C2内切；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、上的坐标
2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点
y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖
一、知识概述 1、圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2．
由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．
2、圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以程就叫做圆的一般方程．
为圆心、为半径的圆．此时方
(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．
圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆． 3、圆的参数方程
（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点
为圆心的圆的参数方程为.
（2）θ的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角. 4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程． 三、典型例题剖析
例1、(1)已知圆心在直线5x－3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；
(2)圆心在y=－2x上且与直线y=1－x相切于(2，－1)，求圆的方程．
分析：(1)圆心在5x－3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=－x上，这样就能求出圆心及半径；
(2)圆心在y=－2x上，与y=1－x相切于(2，－1)，知圆心在过(2，－1)且垂直于y=1－x的直线上；
解：(1)设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2=r2， 圆心在5x－3y=8上，又与坐标轴相切，
解得或
∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)，半径为r=|x0|=4或r=|x0|=1． ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2=16，或(x－1)2＋(y＋1)2=1． (2)设圆心为(a，－2a)，由题意，圆与y=1－x相切于点(2，－1)，则
． 解得a=1，所求圆心为(1，－2)，半径r=．
所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2．
例2、已知曲线C：x2＋y2－2x－4y＋m=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x＋2y－4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．分析：要考虑圆的一般方程成立的前提条件．
解：（1）由D2＋E2－4F=4＋16－4m=20－4m>0，得m<5． （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM⊥ON得x1x2＋y1y2=0．
联立方程组消去y得5x2－8x＋4m－16=0．
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