复数能不能比较大小 证明复数不能比较大小 复数为什么不能比较大小

复数集不是有序域（即不能在复数集上建立大小关系）

但是，问题在于上述这种相当自然的大小关系与复数运算之间的联系已经出现不够和谐的现象．即已不可能维持所谓的单调性．这是很容易指出的．比如，按照这里的规定，对于i与O应有

0<i．

于是，如果关于乘法具有单调性的话，那么就有

这与已经规定好的-l<O相矛盾．这就说明，上面规定的复数之间的相当自然的大小关系不能保持关于乘法的单调性．

其实，我们可以一般地证明，复数集上的任何一种大小关系(当然是满足顺序律的大小关系)都必须放弃对单调性的要求．换句话说，在复数集上不存在满足以下四个条件的大小关系：

1)对任意两个复数与与 ，下列三个关系有且只有一个成立：

2)若α<β, β<γ，则α<γ．

3)若α<β，γ为任意复数

4) 若α<β，γ>O

事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系“<”，它同时满足以上四个条件． 我们考查O与i这两个复数．由条件1)，必有

O<i 或者 i<0．

于是，如果0<i，那么由条件4)，则有

O·i<i·i，即0<-1．

再由条件4)，可得

0·(-1)<(-1)·(-1), 即0<1.

从而，由条件3) ，又得

0+1<(-1)+1, 即0<1.

这样导致0<1与1<0同时成立．当然，这是条件1)所不容许的．

故而i<0也是不可能的．

总之，在复数集上确实没有能使上述四个条件都被满足的大小关系．

概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问题，结论是：有满足条件1)与2)的大小比较方法；没有使上述1)到4)这四个条件同时具备的大小关系．

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