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一般空间微分几何学
differential geometries of generalized spaces
在19世纪中，已经出现了黎曼几何。它是以定义空间两邻点间的距离平方的二次微分形式为基础而建立起来的。20世纪以来，因受到广义相对论的影响，黎曼几何发展很快，从此产生了以更一般的曲线长度积分为基础的芬斯勒空间，以超曲面的面积积分为基础的嘉当空间,以二阶微分方程组为基础的道路空间和展空间等等，而这些通称一般空间。
芬斯勒空间 设是参考于一系坐标(=1,2,…,)的维集合，并且它的曲线=()的“弧长”是按照积分
[795-05]定义起来的（其中，[795-06]>0)。这时，称为芬斯勒空间。特别是，当
[795-07]时，得到黎曼空间。P.芬斯勒(1918)在其学位论文中曾经把黎曼空间的一些结果拓广到这个空间来，但是它的微分几何到.嘉当(1934)才逐渐趋于完整。例如，这个空间仿射联络的确定，曲率论的建立等研究，都是以后才发展起来的。仅仅要指出，芬斯勒空间的测地线（即上列积分的极值曲线）的微分方程具有如下的形式：
[795-08]式中[795-09]是由(,)确定的某种函数组。
近年来，无限维的芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。
嘉当空间 在维空间里，以(-1)维超曲面领域的表面积概念为基础而构成的几何，称[kg2][kg2]维嘉当空间几何。设()=( ,,…，)表示空间一点的坐标,()=(,,…，)[kg1]表示该点切空间的(-1)维子空间的齐次坐标，(，)称为点()[kg1]的超平面素。以表示超平面素所成的一个区域，采用一个在是正则的而且取正值的函数（,），这里关于是正齐一次的，(,)=(,)，(>0)，并约定,在超平面素(,)的(-1)维表面积元素为
[795-10]
为了改写d,设[795-11]是光滑超曲面的正则参数表示从(-1)×矩阵[795-12]删去第行,而且用(-1)表示这样得出的(-1)阶行列式。那么,从上列的约定便导出一个在有向超曲面的区域上的(-1)重积分
[795-13]它表示了这个区域的“(-1)维表面积”。
从基本函数 （，）作 [795-14] 且令＝det||，嘉当的测度张量可表成
[795-15]这样，这种空间微分几何便有了发展的基础，特别重要的是研究面积积分的第一和第二变分，以及极值离差理论，即能保持极值超曲面的无穷小变形的方程。
展空间 设在 维空间里给定了一组 维流形，使得组中有一个且仅有一个流形通过一般位置下的任何+1个邻近点，或者和任何一个已知的维元素（按照一点和其衔接的维平坦流形组成的元素）相切。这些维流形简称展,[kg2]具有这种结构的维空间称展空间特别是，当=1时，就是道路空间。
设(;=1,2,…,)是的一点的坐标,那么每个展可表成[kg2][795-16]或简写为[795-17],式中各函数是变数和参数的解析函数（或充分光滑的函数）。从定义易知
[795-18]如果由展的表达式消去参数,便获得仿射展空间的偏微分方程组
[795-19]式中函数[795-20]是的齐二次函数。
根据J.道格拉斯导进一个仿射联络到仿射 展空间：
[795-21] 从而把上列偏微分方程组改写成
[795-22]。从这个仿射联络[796-01]不但可以导出仿射曲率张量[796-02],还可作出射影联络以及有关的偏微分方程组的可积分条件，还可证明；嘉当的“平面公理”的成立与空间为射影平坦是等价的。
参考书目
苏步青著：《一般空间的微分几何学》，科学出版社，北京，1958。
苏步青
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