钓鱼岛面积是多少 花瓣面积是多少

如图1，正方形ABCD的边长为a，分别以正方形ABCD的四条边为直径作半圆，你能求出四个半圆围成的花瓣的面积吗？或许你会认为这个问题比较简单，观察图形不难发现：四个半圆围成的花瓣的面积等于四个半圆的面积减去正方形ABCD的面积，即两个圆的面积减去正方形ABCD的面积，等于=．

                                                                              图1

上面的问题相对简单，难不住你，下面的问题可就没有那么简单啰：

如图2，正方形ABCD的边长为a，分别以A，B，C，D为圆心，边长a为半径画弧，四条弧两两相交于E，F，G，H，求四条弧围成的花瓣的面积．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

图2中的花瓣一共有两朵花瓣组成，每朵花瓣的面积仍然不难求出．不过由于这两朵花瓣有重叠部分，无疑增加了求解难度．到底应该怎样求四条弧围成的花瓣的面积呢？

分析：与围成的花瓣面积为=，同理与围成的花瓣面积也为．所以四条弧围成的花瓣的面积=-曲四边形EFGH的面积，所以关键是求出曲四边形EFGH的面积．

     　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

解：如图3，连结EG、FH交于点O，延长GE交CD于点M．由正方形的对称性易知CM=OM=，△COG≌△COF．在Rt△CMG中，GM==，CM=，∴∠CGM=30°．∴∠GCO=∠COM-∠CGM=45°-30°=15°．∴∠GCF=2∠GCO=30°．∴S扇形GCF==．

又S△COG=S△CMG-S△CMO=-=，

∴S扇形GCF-S△COG-S△COF===S曲四边形EFGH．

∴S曲四边形EFGH==．

∴四条弧围成的花瓣的面积=-=．

上述解法的思路是根据“两朵花瓣的面积减去曲四边形EFGH的面积”求解，实际上，我们也可以通过列方程组求解．如图4，设各部分的面积分别为x，y，z，根据“正方形的面积为a2”可得方程4x+4y+z=a2．根据“扇形ABC的面积为”可得方程2x+3y+z=．列第三个方程有一定困难．注意到△ABE是一个等边三角形，S拱形AFE= S拱形BHE，于是x+2y+z-S扇形BAE=S扇形BAE-S△ABE，即．

        　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4

解方程组，得

∴4y+z==．

即四条弧围成的花瓣的面积．

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