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代数理论
algebraic -theory
产生于20世纪60年代初期、在近20年得到蓬勃发展的一个新的代数学分支。人们最初企图推广线性代数中的某些部分，例如将维数理论推广到一般环的模上，而发展出由环范畴到阿贝尔群范畴的一系列函子，这些函子以记号,,…来表示，研究这些函子的理论，就称为代数 理论。
和拓扑 理论一样，代数 理论也起源于A.格罗腾迪克在1957年给出的广义黎曼-罗赫定理的工作,在其定理的证明中第一次出现了在一个概型 X上的向量丛的格罗腾迪克群()。如果取=Spec(A)（A的谱）是仿射的，这里A是可换环，那么上的向量丛范畴等价于有限生成投射A模的范畴(A)。由此,对任意环A（指含有单位元的结合环，不一定可换）,可定义范畴(A)的格罗腾迪克群，以(A)表示。
环的格罗腾迪克群() 它是一个阿贝尔群，它的生成元集合是[kg1]{[]|(A)}，定义关系是[116-1][116-2],若[116-3]在范畴(A)中是正合序列。例如,环A=是一个域时,()，这里是整数加法群。又如，环A是数域的代数整数环，[116-4]其中(A)表示 A 的皮卡群，这里它同构于A的理想类群(A)。对任意交换环A的皮卡群，是指由rank1的有限生成投射A模的同构类相对张量积运算形成的群。
如果[116-5]是域上的多项式环,那么任一有限生成投射A 模是自由的，这就是著名的塞尔猜想。在解决这一著名猜想过程中，启发和派生出很多代数 理论的工作。
怀特海群() 它是H.巴斯于1964年给出的,H.巴斯和他的合作者对 和 进行了广泛的研究。最初，(A)只是作为群 GL（A）的换位子商群GL(A)／[GL(A)，GL(A)]给出的,其中[116-6]令[116-7]这里 (A)是由 GL(A)中初等矩阵()(, A)全体生成的子群，有(A)=[GL(A),GL(A)]于是(A)＝GL(A)/(A)实际上,对任何一个阿贝尔范畴的相容子范畴都可以给出按格罗腾迪克方式定义的怀特海群，用表示，其具体构造如下：首先由 构造新范畴,Obj=｛(,)│,是的自同构｝。所谓 Hom((,),(,))，是指 [kg1][kg1]Hom(,)和使得＝。如果序列[116-8][116-9]在中是正合的,那么序列
[116-10] ()在中称为正合的是一个阿贝尔群, 生成元集合是{[,]│(,)[kg2]Obj},如果序列()在中是正合的,那么有定义关系：[,]=[,]+[″,″]；如果、都是的自同构，那么有定义关系:[,]=[,]+[,]。H.巴斯给出了如下的结果：
从(A)到(A)存在一个自然同构:(A)=GL(A)/(A)→(A)，它由([])=[A,] 给出，其中GL(A),[]GL(A)/(A)。
若环 A是交换的，令 SK(A)＝SL(A)／(A)，其中[117-01]则有[117-2]这里(A)是环A中所有可逆元全体构成的乘法群。若A是一个域或局部环，有SK(A)=0，这时(A)(A)。
关于洛朗多项式环A[，]上的群(A[,])的结构被看作“古典”代数 理论的柱石这里A是一个环， 是超越元,可与A的元素交换,A[,]由洛朗多项式[117-3]组成,其中；、[kg2][kg2]。H.巴斯等人给出:对任何环A，存在一个自然分裂的正合序列 [117-4][117-5]由此可得[117-6]其中[117-7][117-07]:A[]→A,()=1。
这一结果给出了函子和之间的深刻关系，也启发了对函子-(>0)的定义。对于>0,阿贝尔群-(A)用下面的公式给出归纳的定义： [117-8][117-9]其中余核 Coker(:A→)=/(A)。
几个例子：如果A=是一个域,[117-9b]（ 的乘法群）；(){±1}乘法群；([i]){±1,±i}乘法群，其中i=-1。
米尔诺函子() J.M.米尔诺于 1967年给出函子定义，是由施坦伯格群(A)(3)出发的,(A)由生成元和定义关系给出,生成元的集合是{()|,1，，A},定义关系是[117-9y][117-10]；[117-120],;[117-12],,由群(A)到群GL(A)的同态[117-13],由 [117-14] 给出。Ker定义为 (，A),即[117-15][117-16]。令→[8h]，得到同态[117-0]:(A)→GL(A)，从而得到正合序列0→Ker[117-0]→St(A)→GL(A)→(A)→0。定义(A)为[117-0]的核，即 (A)=Ker[117-0]。米尔诺指出,(A)就是St(A)的中
心，所以是阿贝尔群。
D.G.奎伦于1970年给出高次 群（指3）的定义，并提供了第一个计算高次 群的有效工具。他精确地计算了群()（是元有限域），
[117-17]
[117-18]
对不同类型的环A，群(A)在数学的许多领域中有重要的应用。例如:在拓扑 理论中,当取A=()是紧空间上的连续复值函数环时,(())与的复的 理论有关。在代数几何学中，当取A是仿射代数簇上多项式函数环时,A 的代数 理论与上的代数向量丛和相交理论有关。在数论中，当取A是数域 的代数整数环时,群(A)和()与数论有深刻的联系。在几何拓扑学中，当取A= 是群的整数群环时,群()与几何拓扑的障碍群有密切关系。
参考书目
H. Bass, Alebraic K-Theory, Benjamin,New York, 1968.
J. Milnor, Introduction to Alebraic K-Theory, Annalsof Mathematics Studies， PrincetonUniv.Press，Princeton,1971.
H. Bass,Algebraic K-Theory:A Historical Survey,Proceedins of the International Conress of Mathematicians, Vancouver, 1974.
J. R. Silvester, Introduction to Alebraic K-Theory,Chapman and Hall, London, 1981.
刘木兰
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