爱华网在数论中，丢番图逼近探讨以实数逼近有理数的课题，逼近的程度通常以该有理数的分母衡量。
丢番图_丢番图逼近 -丢番图逼近
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数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。当α是有理数时，上式不成立
。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为
并指出,对于某些无理数,常数
是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数
不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数
是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q
只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(lnq)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式
1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数
。以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。1909年，A.图埃得到μ>1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到
。1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了
。1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数,其次数d≥2,那么对于任意的δ>0，不等式
只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。
对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,…,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,…,pn满足不等式组
进而，如果α1,…,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,…,pn/q)，适合不等式组关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,…,αn是实代数数，并且1,α1,…,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得
成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,…,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,…,qn适合
。
只有有限多组解(p1/q,…,pn/q)，以及不等式
只有有限多组整数解p,q1,…,qn。
用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。
自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。
参考书目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
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